第四章 三角函数、解三角形

2017年高考“最后三十天”专题透析系列二2020一轮•数学第四章三角函数、解三角形 全国卷年考情图解 高考命题规律把握 1.从高考题型、题量来看，一般有两种方式：三个小题或一个小题另加一个解答题，分值上占17分左右．2.客观题主要考查：三角函数的定义，图象与性质，同角三角函数关系，诱导公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等知识．3.难度较大的客观题，主要在知识点的交汇处命题，如向量与三角的结合、正、余弦定理与三角恒等变换的结合等，主要考查数形结合、转化与化归思想．4.解答题涉及知识点较为综合．涉及三角函数图象与性质、三角恒等变换与解三角形知识较为常见.第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(3)终边相同的角❶：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式： 角α的弧度数公式 |α|＝(l 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示弧长) 注意：(1)正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．(2)在一个式子中，采用的度量 制度 关于办公室下班关闭电源制度矿山事故隐患举报和奖励制度制度下载人事管理制度doc盘点制度下载 必须一致，不可混用 角度与弧度的换算 ①1°＝rad；②1rad＝° 弧长公式 l＝|α|r 扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2 3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线❷.(3)三角函数值在各象限内的符号,(1)终边相同的角不一定相等．(2)“锐角”不等同于“第一象限的角”，锐角的集合为{α|0°＜α＜90°}，第一象限的角的集合为{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}，小于90°的角包括锐角、负角、零角．(3)角的集合的表示形式不是唯一的，如＝.当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在．[熟记常用结论]1．象限角　2．轴线角3．若α∈，则tanα＞α＞sinα.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)小于90°的角是锐角．(　　)(2)锐角是第一象限角，反之亦然．(　　)(3)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(　　)(4)三角形的内角必是第一、二象限角．(　　) 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×二、选填题1．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　)A．2kπ＋45°(k∈Z)　　　　 B．k·360°＋π(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)解析：选C　由定义知终边相同的角中不能同时出现角度和弧度，应为＋2kπ(k∈Z)或k·360°＋45°(k∈Z)，结合选项知C正确．2.若角α＝2rad(rad为弧度制单位)，则下列说法错误的是(　　)A．角α为第二象限角 B．α＝°C．sinα＞0 D．sinα＜cosα解析：选D　对于A，∵＜α＜π，∴角α为第二象限角，故A正确；对于B，α＝2×°＝2rad，故B正确；对于C，sinα＞0，故C正确；对于D，sinα＞0，cosα＜0，故D错误．选D.3．已知角α的终边与单位圆的交点P，则tanα＝(　　)A. B．±C. D．±解析：选B　由|OP|2＝x2＋＝1，得x＝±.所以tanα＝＝±.故选B.4．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．解析：设此扇形的半径为r，由题意得r＝2π，所以r＝6，所以此扇形的面积为×2π×6＝6π.答案：6π5．在0到2π范围内，与角－终边相同的角是________．解析：与角－终边相同的角是2kπ＋，k∈Z，令k＝1，可得在0到2π范围内与角－终边相同的角是.答案：考点一象限角及终边相同的角[基础自学过关][题组练透]1．设集合M＝，N＝，那么(　　)A．M＝N　　　　　　　　 B．M⊆NC．N⊆M D．M∩N＝∅解析：选B　由于M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；而N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N.2．若角α是第二象限角，则是(　　)A．第一象限角 B．第二象限角C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角解析：选C　∵α是第二象限角，∴＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴＋kπ＜＜＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，是第一象限角；当k为奇数时，是第三象限角．∴是第一或第三象限角．3．集合中的角所表示的范围(阴影部分)是(　　)解析：选C　当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋≤α≤2nπ＋(n∈Z)，此时α的终边和≤α≤的终边一样；当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π＋≤α≤2nπ＋π＋(n∈Z)，此时α的终边和π＋≤α≤π＋的终边一样，结合选项知选C.4．与－2010°终边相同的最小正角是________．解析：因为－2010°＝(－6)×360°＋150°，所以150°与－2010°终边相同，又终边相同的两个角相差360°的整数倍，所以在0°～360°中只有150°与－2010°终边相同，故与－2010°终边相同的最小正角是150°.答案：150°5．终边在直线y＝x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为______________________．解析：如图，在平面直角坐标系中画出直线y＝x，可以发现它与x轴的夹角是，在[0,2π)内，终边在直线y＝x上的角有两个：，；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－，－，故满足条件的角α构成的集合为.答案：[名师微点]1．判断象限角的2种方法 图象法 在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角 转化法 先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角2.确定kα，(k∈N*)的终边位置3步骤(1)用终边相同角的形式表示出角α的范围；(2)再写出kα或的范围；(3)然后根据k的可能取值讨论确定kα或的终边所在的位置．3．求终边在某直线上角的4个步骤(1)数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；(2)按逆时针方向写出[0,2π]内的角；(3)再由终边相同角的表示方法写出满足条件角的集合；(4)求并集化简集合．考点二扇形的弧长及面积公式的应用[师生共研过关][典例精析]已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.(1)若α＝100°，r＝2，求扇形的面积；(2)若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．[解]　(1)因为α＝100°＝100×＝，所以S扇形＝lr＝αr2＝××4＝.(2)由题意知，l＋2r＝20，即l＝20－2r，故S扇形＝l·r＝(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，当r＝5时，S的最大值为25，此时l＝10，则α＝＝2.[解题技法]有关弧长及扇形面积问题的注意点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．[过关训练]1．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是(　　)A．2　　　　　　　　　　 B．sin2C. D．2sin1解析：选C　如图，∠AOB＝2弧度，过O点作OC⊥AB于C，并延长OC交于D.则∠AOD＝∠BOD＝1弧度，且AC＝AB＝1，在Rt△AOC中，AO＝＝，即r＝，从而的长l＝α·r＝.2．若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为(　　)A. B.C．3 D.解析：选D　如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝，作OM⊥AB，垂足为M，在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝，∴AM＝r，AB＝r，∴l＝r，由弧长公式得α＝＝＝.3．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为(　　)A．2 B．4C．6 D．8解析：选C　设扇形的半径为r(r＞0)，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝lr＝|α|r2＝×4×r2，解得r＝1，l＝|α|r＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.考点三三角函数的定义及应用[师生共研过关][典例精析](1)若sinαtanα＜0，且＜0，则角α是(　　)A．第一象限角 B．第二象限角C．第三象限角 D．第四象限角(2)(2019·广州模拟)在平面直角坐标系中，以x轴的非负半轴为角的始边，角α，β的终边分别与单位圆交于点和，则sin(α＋β)＝(　　)A．－ B.C．－ D.(3)已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，则＋＝________.[解析]　(1)由sinαtanα＜0可知sinα，tanα异号，则α为第二象限角或第三象限角．由＜0可知cosα，tanα异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．(2)因为角α，β的终边分别与单位圆交于点和，所以sinα＝，cosα＝，sinβ＝，cosβ＝－，所以sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝×＋×＝.(3)因为角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－，所以cosα＝＝－，解得x＝或x＝－(舍去)，所以P，所以sinα＝－，所以tanα＝＝，则＋＝－＋＝－.[答案]　(1)C　(2)D　(3)－[解题技法]利用三角函数定义解题的常见类型及方法(1)已知角α终边上一点P的坐标求三角函数值．先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数定义求解．(2)已知角α的终边与单位圆的交点坐标求三角函数值．可直接根据三角函数线求解．(3)已知角α的终边所在的直线方程求三角函数值．先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数定义求解相关问题，同时注意分类讨论．(4)判断三角函数值的符号问题．先判断角所在的象限，再根据各象限的符号规律判断．[过关训练]1．下列各选项中正确的是(　　)A．sin300°＞0 B．cos(－305°)＜0C．tan＞0 D．sin10＜0解析：选D　300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin300°＜0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)＞0；而－π＝－8π＋，所以－π是第二象限角，故tan＜0；因为3π＜10＜，所以10是第三象限角，故sin10＜0.2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝(　　)A．－ B．－C. D.解析：选B　设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则cosθ＝.当t＞0时，cosθ＝；当t＜0时，cosθ＝－.因此cos2θ＝2cos2θ－1＝－1＝－.3．已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sinα＝，求cosα，tanα的值．解：设P(x，y)．由题设知x＝－，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)，r＝，所以sinα＝＝＝，所以r＝＝2，即3＋m2＝8，解得m＝±.当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，所以cosα＝＝－，tanα＝－；当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，所以cosα＝＝－，tanα＝.综上，cosα＝－，tanα＝－或cosα＝－，tanα＝.一、题点全面练1．若cosθ＜0，且sin2θ＜0，则角θ的终边所在的象限是(　　)A．第一象限　　　　　　 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选B　由sin2θ＝2sinθcosθ＜0，cosθ＜0，得sinθ＞0，所以角θ的终边所在的象限为第二象限．故选B.2．已知角α＝2kπ－(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝＋＋的值为(　　)A．1 B．－1C．3 D．－3解析：选B　由α＝2kπ－(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ＜0，cosθ＞0，tanθ＜0.所以y＝－1＋1－1＝－1.3．若角α与β的终边关于x轴对称，则有(　　)A．α＋β＝90°B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈ZC．α＋β＝2k·180°，k∈ZD．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z解析：选C　因为α与β的终边关于x轴对称，所以β＝2k·180°－α，k∈Z.所以α＋β＝2k·180°，k∈Z.4．已知点P(sinx－cosx，－3)在第三象限，则x的可能区间是(　　)A. B.C. D.解析：选D　由点P(sinx－cosx，－3)在第三象限，可得sinx－cosx＜0，即sinx＜cosx，所以－＋2kπ＜x＜＋2kπ，k∈Z.当k＝0时，x所在的一个区间是.5．若α是第三象限角，则y＝＋的值为(　　)A．0 B．2C．－2 D．2或－2解析：选A　因为α是第三象限角，所以2kπ＋π＜α＜2kπ＋(k∈Z)，所以kπ＋＜＜kπ＋(k∈Z)，所以是第二象限角或第四象限角．当是第二象限角时，y＝－＝0，当是第四象限角时，y＝－＋＝0，故选A.6．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为________．解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r，R(其中r＜R)，则＝，所以r∶R＝1∶2，两个扇形的周长之比为＝1∶2.答案：1∶27．一扇形的圆心角为，则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为________．解析：设扇形的半径为R，其内切圆的半径为r.则(R－r)sin＝r，即R＝r.又S扇＝|α|R2＝××R2＝R2＝πr2，∴＝.答案：(7＋4)∶98．已知＝－，且lg(cosα)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m及sinα的值．解：(1)由＝－，得sinα＜0，由lg(cosα)有意义，可知cosα＞0，所以α是第四象限角．(2)因为|OM|＝1，所以2＋m2＝1，解得m＝±.又α为第四象限角，故m＜0，从而m＝－，sinα＝＝＝－.9.如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A点，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动．(1)若点B的横坐标为－，求tanα的值；(2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合．解：(1)设点B的纵坐标为m，则由题意m2＋2＝1，且m＞0，所以m＝，故B，根据三角函数的定义得tanα＝＝－.(2)若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝，故与角α终边相同的角β的集合为.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知α是第二象限角，P(x，)为其终边上一点，且cosα＝x，则x＝(　　)A. B．±C．－ D．－解析：选D　∵cosα＝＝x，∴x＝0或x＝或x＝－，又α是第二象限角，∴x＝－，故选D.2．已知点P(sinθ，cosθ)是角α终边上的一点，其中θ＝，则与角α终边相同的最小正角为________．解析：因为θ＝，故P，故α为第四象限角且cosα＝，所以α＝2kπ＋，k∈Z，则最小的正角为.答案：3．若角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)．(1)求sinθ＋cosθ的值；(2)试判断cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号．解：(1)因为角θ的终边过点P(－4a,3a)(a≠0)，所以x＝－4a，y＝3a，r＝5|a|，当a＞0时，r＝5a，sinθ＋cosθ＝－＝－.当a＜0时，r＝－5a，sinθ＋cosθ＝－＋＝.(2)当a＞0时，sinθ＝∈，cosθ＝－∈，则cos(sinθ)·sin(cosθ)＝cos·sin＜0；当a＜0时，sinθ＝－∈，cosθ＝∈，则cos(sinθ)·sin(cosθ)＝cos·sin＞0.综上，当a＞0时，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号为负；当a＜0时，cos(sinθ)·sin(cosθ)的符号为正．(二)素养专练——学会更学通4.[直观想象、数学运算]如图，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O为圆心、OB为半径作圆弧交OP于A点．若圆弧AB等分△POB的面积，且∠AOB＝α，则＝________.解析：设扇形的半径为r，则扇形的面积为αr2，在Rt△POB中，PB＝rtanα，则△POB的面积为r·rtanα，由题意得r·rtanα＝2×αr2，∴tanα＝2α，∴＝.答案：5．[数学建模]如图所示，动点P，Q从点A(4,0)出发沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转，点Q按顺时针方向每秒钟转，求点P，Q第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及点P，Q各自走过的弧长．解：设P，Q第一次相遇时所用的时间是t秒，则t·＋t·＝2π.所以t＝4，即第一次相遇时所用的时间为4秒．设第一次相遇时，相遇点为C，则∠COx＝·4＝，则P点走过的弧长为·4＝，Q点走过的弧长为·4＝；xC＝－cos·4＝－2，yC＝－sin·4＝－2.所以C点的坐标为(－2，－2)．第二节同角三角函数的基本关系与诱导公式1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1❶；(2)商数关系：tanα＝❷.2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sinα －sinα －sinα sinα cosα cosα 余弦 cosα －cosα cosα －cosα sinα －sinα 正切 tanα tanα －tanα －tanα — — 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变，符号看象限作用：实现同角的正弦值与余弦值之间的转化，利用该公式求值，要注意确定角的终边所在的象限，从而判断三角函数值的符号．作用：切化弦，弦切互化．[熟记常用结论]同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.(2)sinα＝tanαcosα.(3)sin2α＝＝；cos2α＝＝.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　　)(2)sin2(α－β)＋cos2(α－β)＝1.(　　)(3)若α∈R，则tanα＝恒成立．(　　)(4)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．(　　)(5)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sinα＝.(　　)答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×二、选填题1．已知sinα＝，α∈，则tanα＝(　　)A．－2　　　　　　　　　 B．2C. D．－解析：选D　因为≤α≤π，所以cosα＝－＝－＝－，所以tanα＝＝－.2．已知sin＝，那么cosα＝(　　)A．－ B．－C. D.解析：选C　∵sin＝sin＝cosα，∴cosα＝.3．sin210°cos120°的值为(　　)A. B．－C．－ D.解析：选A　sin210°cos120°＝－sin30°(－cos60°)＝－×＝.4．若sinθcosθ＝，则tanθ＋＝________.解析：tanθ＋＝＋＝＝2.答案：25．已知tanα＝2，则的值为________．解析：＝＝＝3.答案：36．化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．解析：原式＝·(－sinα)·cosα＝－sin2α.答案：－sin2α考点一同角三角函数基本关系式的应用[全析考法过关][考法全析]考法(一)　公式的直接应用[例1]　(1)已知cosα＝k，k∈R，α∈，则sinα＝(　　)A．－　　　　　　　 B.C．± D.(2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________.[解析]　(1)由cosα＝k，k∈R，α∈，可知k＜0，设角α终边上一点P(k，y)(y＞0)，|OP|＝1，所以＝1，得y＝，由三角函数定义可知sinα＝.(2)因为sin1°＝cos89°，所以sin21°＋sin289°＝cos289°＋sin289°＝1，同理sin22°＋sin288°＝1，…，sin244°＋sin246°＝1，而sin245°＝，故原式＝44＋＝44.[答案]　(1)B　(2)44考法(二)　sinα，cosα的齐次式问题[例2]　已知＝－1，求下列各式的值：(1)；(2)sin2α＋sinαcosα＋2.[解]　由已知得tanα＝.(1)＝＝－.(2)sin2α＋sinαcosα＋2＝＋2＝＋2＝＋2＝.考法(三)　“sinα±cosα，sinαcosα”之间的关系的应用[例3]　已知x∈(－π，0)，sinx＋cosx＝.(1)求sinx－cosx的值；(2)求的值．[解]　(1)由sinx＋cosx＝，平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝，整理得2sinxcosx＝－.∴(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝.由x∈(－π，0)，知sinx＜0，又sinx＋cosx＞0，∴cosx＞0，则sinx－cosx＜0，故sinx－cosx＝－.(2)＝＝＝＝－.[规律探求] 看个性 考法(一)是公式的直接应用，即已知sinα，cosα，tanα中的一个求另外两个的值．解决此类问题时，直接套用公式sin2α＋cos2α＝1及tanα＝即可，但要注意α的范围，即三角函数值的符号．考法(二)的分式中分子与分母是关于sinα，cosα的齐次式，往往转化为关于tanα的式子求解.考法(三)是考查sinα±cosα与sinαcosα的关系．对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二 找共性 (1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tanα可以实现角α的弦切互化；利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα的关系可实现和积转化．(2)注意方程思想与转化思想的应用[过关训练]1．若角α的终边落在第三象限，则＋的值为(　　)A．3 B．－3C．1 D．－1解析：选B　由角α的终边落在第三象限得sinα＜0，cosα＜0，故原式＝＋＝＋＝－1－2＝－3.2．(2019·合肥模拟)已知sinx＋cosx＝，x∈(0，π)，则tanx＝(　　)A．－ B.C. D．－解析：选D　∵sinx＋cosx＝，且x∈(0，π)，∴1＋2sinxcosx＝1－，∴2sinxcosx＝－＜0，∴x为钝角，∴sinx－cosx＝＝，结合已知解得sinx＝，cosx＝－，则tanx＝＝－.3．若3sinα＋cosα＝0，则的值为________．解析：∵3sinα＋cosα＝0⇒cosα≠0⇒tanα＝－，∴＝＝＝＝.答案：考点二诱导公式的应用[师生共研过关][典例精析](1)设f(α)＝(1＋2sinα≠0)，则f＝________.(2)已知cos＝a，则cos＋sin的值是________．[解析]　(1)因为f(α)＝＝＝＝，所以f＝＝＝＝.(2)因为cos＝cos＝－cos＝－a，sin＝sin＝cos＝a，所以cos＋sin＝0.[答案]　(1)　(2)0[解题技法]1．利用诱导公式解题的一般思路(1)化绝对值大的角为锐角．(2)角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．2．常见的互余和互补的角 互余的角 －α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等 互补的角 ＋θ与－θ；＋θ与－θ等[提醒]　对给定的式子进行化简或求值时，要注意给定的角之间存在的特定关系，充分利用给定的关系结合诱导公式将角进行转化．特别要注意每一个角所在的象限，防止符号及三角函数名出错．[过关训练]1．sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°＝________.解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin120°cos30°＋cos60°sin30°＋tan45°＝＋＋1＝2.答案：22．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，则·tan2(π－α)＝________.解析：因为方程5x2－7x－6＝0的根为x1＝2，x2＝－，由题意知sinα＝－，故cosα＝－，tanα＝，所以原式＝＝－tan2α＝－.答案：－3．(2018·大连二模)已知sin＝，则cos＝(　　)A.　　 B．－　　　C.　　　D．－解析：选B　由题意知，cos＝cos＝－sin＝－.故选B.考点三诱导公式与同角关系的综合应用[师生共研过关][典例精析]已知f(x)＝(n∈Z)．(1)化简f(x)的表达式；(2)求f＋f的值．解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，f(x)＝＝＝＝sin2x；当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，f(x)＝＝＝＝＝sin2x，综上得f(x)＝sin2x.(2)由(1)得f＋f＝sin2＋sin2＝sin2＋sin2＝sin2＋cos2＝1.[解题技法]求解诱导公式与同角关系综合问题的基本思路和化简要求 基本思路 ①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式 化简要求 ①化简过程是恒等变换；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值[过关训练]1．已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是(　　)A.　　　　　　　　　 B.C. D.解析：选C　由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0.tanα－6sinβ－1＝0，解得tanα＝3，又α为锐角，故sinα＝.2．已知tan(π－α)＝－，且α∈，则＝________.解析：由tan(π－α)＝－，得tanα＝，则＝＝＝＝－.答案：－3．已知sinα＋cosα＝－，且＜α＜π，则＋的值为________．解析：由sinα＋cosα＝－平方得sinαcosα＝－，∵＜α＜π，∴sinα－cosα＝＝，∴＋＝－＝＝＝.答案：一、题点全面练1．若＝，则tanθ＝(　　)A．1　　　　　　　　　 B．－1C．3 D．－3解析：选D　因为＝＝，所以2(sinθ＋cosθ)＝sinθ－cosθ，所以sinθ＝－3cosθ，所以tanθ＝－3.2．(2019·黄冈模拟)已知sin(π＋α)＝－，则tan的值为(　　)A．2 B．－2C. D．±2解析：选D　∵sin(π＋α)＝－，∴sinα＝，则cosα＝±，∴tan＝＝＝±2.3．(2019·惠州模拟)已知tanα＝，且α∈，则cos＝(　　)A．－ B.C. D．－解析：选A　由α∈知α为第三象限角，联立得sinα＝－，故cos＝sinα＝－，故选A.4．(2019·厦门质检)已知sin2α＝，＜α＜，则sinα－cosα的值是(　　)A. B．－C. D．－解析：选A　∵＜α＜，∴sinα＞cosα＞0，∴sinα－cosα＞0.又sin2α＝，∴(sinα－cosα)2＝sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝1－sin2α＝，则sinα－cosα＝.5．(2018·安阳二模)若＝3，则cosα－2sinα＝(　　)A．－1 B．1C．－ D．－1或－解析：选C　由已知得sinα≠0，且3sinα＝1＋cosα＞0，即cosα＝3sinα－1，则cos2α＝1－sin2α＝(3sinα－1)2，解得sinα＝，∴cosα－2sinα＝3sinα－1－2sinα＝sinα－1＝－，故选C.6．(2019·晋城一模)若|sinθ|＋|cosθ|＝，则sin4θ＋cos4θ＝(　　)A. B.C. D.解析：选B　将|sinθ|＋|cosθ|＝两边平方，得1＋|sin2θ|＝，∴|sin2θ|＝，∴sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ＝1－×2＝，故选B.7．已知＝5，则cos2α＋sin2α的值是________．解析：∵＝＝5，解得tanα＝2，∴cos2α＋sin2α＝cos2α＋sinαcosα＝＝＝＝.答案：8．已知θ∈，且＋＝35，则tanθ＝________.解析：依题意得12(sinθ＋cosθ)＝35sinθcosθ，令sinθ＋cosθ＝t，∵θ∈，∴t＞0，则原式化为12t＝35·，解得t＝，故sinθ＋cosθ＝，则sinθcosθ＝，即＝，即＝，12tan2θ－25tanθ＋12＝0，解得tanθ＝或.答案：或9．已知α为第三象限角，f(α)＝.(1)化简f(α)；(2)若cos＝，求f(α)的值．解：(1)f(α)＝＝＝－cosα.(2)∵cos＝，∴－sinα＝，从而sinα＝－.又α为第三象限角，∴cosα＝－＝－，∴f(α)＝－cosα＝.10．是否存在α∈，β∈(0，π)，使等式sin(3π－α)＝cos，cos(－α)＝－cos(π＋β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．解：假设存在角α，β满足条件．由已知条件可得由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2.∴sin2α＝，∴sinα＝±.∵α∈，∴α＝±.当α＝时，由②式知cosβ＝，又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立；当α＝－时，由②式知cosβ＝，又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．∴存在α＝，β＝满足条件．二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知sinα＋cosα＝，α∈(0，π)，则＝(　　)A．－ B.C. D．－解析：选A　因为sinα＋cosα＝，所以(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝，所以sinαcosα＝－，又因为α∈(0，π)，所以sinα＞0，cosα＜0，所以cosα－sinα＜0，因为(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝1－2×＝，所以cosα－sinα＝－，所以＝＝＝＝－.2．(2019·重庆六校联考)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝(　　)A. B．－C．－ D.解析：选B　∵θ是第四象限角，∴2kπ－＜θ＜2kπ，k∈Z，∴2kπ－＜θ＋＜2kπ＋，k∈Z，∴cos＞0，∵sin＝，∴cos＝＝，cos＝cos＝cos＝sin＝，sin＝sin＝cos＝，∴sin＝－sin＝－，∴tan＝＝－.3．已知sinα＝，则tan(α＋π)＋＝________.解析：tan(α＋π)＋＝tanα＋＝＋＝.∵sinα＝＞0，∴α为第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cosα＝＝，则原式＝＝；当α为第二象限角时，cosα＝－＝－，则原式＝＝－.答案：±(二)交汇专练——融会巧迁移4．[与集合交汇]A＝{sinα，cosα，1}，B＝{sin2α，sinα＋cosα，0}，且A＝B，则sin2019α＋cos2018α＝(　　)A．0 B．1C．－1 D．±1解析：选C　当sinα＝0时，sin2α＝0，此时集合B中不符合集合元素的互异性，故舍去；当cosα＝0时，A＝{sinα，0,1}，B＝{sin2α，sinα，0}，此时sin2α＝1，得sinα＝－1，所以sin2019α＋cos2018α＝－1.5．[与直线的倾斜角交汇]已知θ为直线y＝3x－5的倾斜角，若A(cosθ，sinθ)，B(2cosθ＋sinθ，5cosθ－sinθ)，则直线AB的斜率为(　　)A．3 B．－4C. D．－解析：选D　由题意知tanθ＝3，kAB＝＝＝－.故选D.6．[与不等式交汇]已知θ∈[0，π)，若对任意的x∈[－1,0]，不等式x2cosθ＋(x＋1)2sinθ＋x2＋x＞0恒成立，则实数θ的取值范围是(　　)A. B.C. D.解析：选A　令f(x)＝(cosθ＋sinθ＋1)x2＋(2sinθ＋1)x＋sinθ，由θ∈[0，π)知cosθ＋sinθ＋1＞0恒成立，若f(x)＞0在[－1,0]上恒成立，只需满足⇒解得θ∈.7．[与一元二次方程交汇]已知关于x的方程2x2－(＋1)x＋m＝0的两根分别是sinθ和cosθ，θ∈(0,2π)，求：(1)＋的值；(2)m的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解：(1)原式＝＋＝＋＝＝sinθ＋cosθ.由条件知sinθ＋cosθ＝，故＋＝.(2)由已知，得sinθ＋cosθ＝，sinθcos&t