4-5向量空間

基底(Bases) 定義: 若 V為一向量空間 ，{ }nxxx ,,, 21 L 為 V中一組向量，若 (1){ }nxxx ,,, 21 L 是線性獨立 (2) { } Vxxx n =,,, 21 Lspan 則稱{ }nxxx ,,, 21 L 為 V的一組基底(basis) 所以要判斷一組向量能否為 V 的一組基底，第一就是要檢驗它 們是否線性獨立，然後還必須檢驗它們所衍生出來的空間是否為 V， 也就是 V中的每一個向量都可以表成它們的線性組合。 如果 U是 V的一個子空間，若{ }kxxx ,,, 21 L 為 U中一組向量而且 滿足下面二條件 (1){ }kxxx ,,, 21 L 是線性獨立 (2) { } Uxxx k =,,, 21 Lspan 則{ }kxxx ,,, 21 L 也是 U的一組基底。 例十一：若 V= nR ， n ，且1≥ ke = 第 k個，則               0 0 1 0 0 M M → { }neee ,,, 21 L 為 V的 一組基底，此基底稱為 nR 的標準基底(standard basis)。 解：(1)若 02211 =+++ nn ererer L = ，則 = ，故         0 0 0 M         nr r r M 2 1         0 0 0 M 021 ==== nrrr L ， 因此{ }neee ,,, 21 L 為線性獨立。 (2) nR 中任意向量 均可以表成         nx x x M 2 1 nn exexex +++ L2211 ，故 { }neeespan ,,, 21 LV = 。 由(1)、(2)，{ }neee ,,, 21 L 為 nR 的一組基底。 例十二：判斷{ })1,1,0(),1,0,1(),0,1,1( 是否為 3R 的一組基底。 解：(1)若 )0,0,0()1,1,0()1,0,1()0,1,1( =++ zyx ，則 解得 x=y=z=0，故題中所給的一組向量為線性獨立。    =+ =+ =+ 0 0 0 zy zx yx (2) 3R 中的任意向量(a,b,c)可否表成(1,1,0)、(1,0,1)及(0,1,1)之線性 組合 設 )1,1,0()1,0,1()0,1,1(),,( zyxcba ++= ，如果(a,b,c)可以表成(1,1,0)、 (1,0,1)及(0,1,1)之線性組合，則上式 x,y,z必有解。 由  解得   =+ =+ =+ czy bzx ayx 2 , 2 , 2 cbazcbaycbax ++−=+−=−+= 因此有解，故 3R { })1,1,0(),1,0,1(),0,1,1(span⊆ 即 3R { })1,1,0(),1,0,1(),0,1,1(span= 註：其實判斷 3R 中一組三個相異向量能否為 3R 隻一組基底時，祇須 証明(1)、(2)其中之一即可，因為(1)、(2)互為充要條件，後面將 加以說明。 例十三：設 S= { })1,1,3,1(),1,0,1,0(),0,1,4,2(),2,4,6,2(),1,2,3,1( 54321 −=−=−=−−−=−= vvvvv spanS ， 從 S中找出 的一組基底 解：由 { }RrvrvrvrvrvrspanS i ∈++++= |5544332211 ，所以 { }54321 ,,,, vvvvvS = 是 spanS ,6,2( 的一組衍生集合，如果它們是線性獨立，則它們就是 的 一 組 基 底 ， 但 S 是 否 為 線 性 獨 立 呢 ？ 很 明 顯 地 ， spanS )1,2,3,1(2)2,4 −−=−−− 即 12 2vv −= ，因此 54321 000)2( vvvvv ++++− = ，故 S不是線性獨立，其中由於)0,0,0,0( 2v 是 1v 的(-2)倍，因此我們首先將 2v 捨去，然後再觀察剩下的集合 { }54311 ,,, vvvvS = 是否線性獨立，而 = ，1spanS spanS 1v 與 3v 很顯然是獨 立(因為不平行)，故先考慮{ }4v31 ,,vv 。 設 0431 =++ vcvbva ，解得 a=b=c=0，故{ }431 ,, vvv 為線性獨立。 最後再觀察{ }5431 ,,, vvvv 是否獨立，這可以觀察行列式 1131 1010 0142 1231 − − − − 之值而定，而行列式之值為 0，故{ }5431 ,,, vvvv 不是線性 獨立，但{ }431 ,, vvv 為線性獨立，這就表示 5v 一定是 431, vvv 及 的線性 組合，事實上我們也可以算出 5v = 431 5 2 5 1 5 3 vvv ++ 故 { }431 ,, vvvspan = { }5431 ,,, vvvvspan 而 = ， 1spanS spanS 因此 { }431 ,, vvvspan = ，這表示說spanS { }431 ,, vvv 也是 的一組衍生 集合，同時也是線性獨立，故 spanS { }431 ,, vvv 是 的一組基底。 spanS 註：上面從 S中尋找一組基底的 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 似乎非常繁複，下面有一比較快 的方法將 54321 ,,,, vvvvv 排成行而形成一個矩陣如下：  利用列運算將此矩陣化為最簡列梯形狀        −−− −− − − 11021 10142 31463 10221           − 00000 5 21000 00100 5 30021 ，觀察出現領導 1(leading 1)的行為第一行，第 三行及第四行，故取 431 , vvv 及 。 例十四，將 ( ) ( ){ }9,3,1,0,12,4,0,2 21 −−=−== vvT rr 擴大變成 4R 的一組基 底。 解： 設 { }4321 ,,, eeeeT rrrT rU=′ ，此處 ( )0,0,0,11 =er ﹐ ( )0,0,1,02 =er ﹐ ﹐ 。則利用例十三的方法，將 ( )0,1,0,0= 04 =er3er ( 1,0,0, )         − − − 1000912 010034 001010 000102 化簡成最簡列梯形狀         − −− 3 1 6 1 2 3 12 1 4 3 10000 0100 001010 0001 3121 ,,, eevv 出現在領導 1的行數為一、二、 三、五﹐故取{ }rrrr [註]此題 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 非唯一，也有其他的可能解。 定理 5（基本定理） 假設一個向量空間 V是由 n個向量所衍生而成，若在 V中有一 組 m個線性獨立的向量，則 nm ≤ 。 證明： 設V { }nvvvspan rLrr ,,, 21= 。且{ }muuu rLrr ,,, 21 nvv 是 V中的一組線性 獨立的向量，因為 V是由v rLrr ,,, 2 vava 1 u 所衍生而成，因此u 是 這些向量的線性組合。設 1 r nnva rLrrr +++= 2211 }mu 1 ，這些係數 a都是實數，因為{ uu rLrr ,,, 21 為線性獨立， 01 rr ≠u 0 ，所以這 些 不全為零，不失一般性，我們假設ia 1 ≠a 則 n n v a av a au a v rLrr    −++   −+   = 1 2 1 2 1 1 1 1 即v { nvvvuspan }rLrrrr ,,,, 3211 ∈ { }nvv rLr ,,, 21 1r ，也就是原來 V的衍生集 中的v 已經被uvr 1 r取代。而 { }nvvvuspanVu rLrrr ,,,, 321r2 =∈ ，設 nnvcvcvcubu rLrrrr ++++= 3322112 因為 02 rr ≠u （原因與 01 rr ≠u 同）且{ }21 ,uu rr 獨立，故某一個係數 { 0≠ic }不失一般性，假設 02 ≠c 則 n n v c cv c c c u c bv rLrrr    −++ − +   −= 2 3 2 3 2 1 2 1 2 1 ur  +  2 即v { nvvuuspan }rLrrr ,,,, 321 nm > r 2 ∈ 。上一個衍生集中的v 又被u 取 代。如果 ，則繼續此步驟一直到將所有的v 2 r 2 r i r被u nuu rL,2 rr ,,1 所取代為止，而且 { }nuuuspanV rLrr ,,, 21= ，因此 V∈un+1r ，u 將 為u 的線性組合，根據定理 4， 1+n r nu rL,urr ,, 21 { },n uur 1+nr2 ,1 ,uu ,Lrr 將 是線性相依與已知矛盾（{ }1, +nu21 ,,uu rLrr 為{ }mn ururu Lr ,1+ m ,,1 之子 集，應為線性獨立），因此 是不可能的，所以 。 nm > } n≤ vv Lrr ,, 21 m ≤ nvrL,,2 n ≤ urL,,2 m 定理 6（不變定理） 若{ }與{nvr, muuu rLrr ,,, 21 為一向量空間 V之兩組基底，則 。 nm = 証明： 根據定理 5， n（ { }vvspanV rr ,1= ，而{ }muuu rLrr ,,, 21 獨立） m（ { }muuspanV rr ,1= ，而{ }nvvv rLrr ,,, 21 獨立） 所以 n=