2009届高考数学快速提升成绩题型训练——放缩法

2009届高考数学快速提升成绩题型训练——放缩法 1. 设 、 、 是三角形的边长，求证 ≥3 2 设 、 、 是三角形的边长，求证 ≥ 3. 设 、 、 且 求证 ≤1 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4. 设 、 、 ≥0，且 ，求证 ≥ 5. 设 、 、 ， ，求证： ≥ 6. 设0≤ ≤ ≤ ≤1，求证： ≤1 7. 若a, b, c, d(R+，求证： 8. 当 n > 2 时，求证： 9. 求证： 10. 已知a, b, c > 0, 且a2 + b2 = c2，求证：an + bn < cn (n≥3, n(R*) 11. 设 、 、 是三角形的边长，求证 ≥ 12. 设 、 、 ≥0，且 ，求证 ≥ 13. 设 、 、 ， ，求证： ≥ 14. 设0≤ ≤ ≤ ≤1，求证： ≤1 15. 已知不等式 其中 为不大于2的整数， 表示不超过 的最大整数。设数列 的各项为正且满足 EMBED Equation.3 ，证明： ， 16. 已知数列 的前项和 满足： ， （1）写出数列 的前三项 ， ， ； （2）求数列 的通项公式； （3）证明：对任意的整数 ，有 17. 定义数列如下： 证明：（1）对于 恒有 成立。 （2）当 ，有 成立。 （3） 。 18. 已知 求证： 19. 函数f（x）= ，求证：f（1）+f（2）+…+f（n）>n+ . 20. 已知an=n ，求证： eq \o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=1)) eq \r(k) eq \f(, eq a\o(2,k) ) ＜3． 21. 已知数列 满足 求证： 22. 设 求证： 23. 求证： 24. 已知 ，证明：不等式 对任何正整数 都成立. 25. 已知i，m、n是正整数，且1＜i≤m＜n. (1)证明：niA ＜miA ；(2)证明：(1+m)n＞(1+n)m 答案： 1. 证明：由不等式的对称性，不妨设 ≥ ≥ ，则 ≤ ≤ 且 ≤0， ≥0 ∴ ≥ ∴ ≥3 2. 证明：由不等式的对称性，不防设 ≥ ≥ ，则 ≥ 左式－右式 ≥ ≥ ≥0 3. 证明：设 .且 x、y、 . 由题意得： 。 ∴ ∴ ≥0 ∴ ≥ ∴ ≥ ∴ ≤ 同理：由对称性可得 ≤ ， ≤ ∴命题得证. 4. 证明：不妨设 ≤ ≤ ，则 ≤1 。∴ 。 又∵ ≥bc，即 ≥bc，也即 ≥ 。 ∴左边 ≥ EMBED Equation.3 ≥ ∴ ≥ 5. 证明：不妨设 ≥ ≥ ＞0，于是 左边－右边 EMBED Equation.3 ≥ 如果≥0，那么 ≥0；如果 ＜0，那么 ≥0，故有 ≥0，从而原不等式得证. 6. 证明：设0≤ ≤ ≤ ≤1，于是有 ≤ ，再证明以 下简单不等式 ≤1，因为左边 ，再注意 ≤ ≤1得证. 7. 证：记m = ∵a, b, c, d(R+ ∴ ∴1 < m < 2 即原式成立 8. 证：∵n > 2 ∴ ∴ ∴n > 2时, 9. 证： ∴ 10. ∵ ，又a, b, c > 0, ∴ ∴ 11. 证明：由不等式的对称性，不防设 ≥ ≥ ，则 ≥ 左式－右式 ≥ ≥ ≥0 12. 证明：不妨设 ≤ ≤ ，则 ≤1 。∴ 。 又∵ ≥bc，即 ≥bc，也即 ≥ 。 ∴左边 ≥ EMBED Equation.3 ≥ ∴ ≥ 13. 证明：不妨设 ≥ ≥ ＞0，于是 左边－右边 EMBED Equation.3 ≥ 如果≥0，那么 ≥0；如果 ＜0，那么 ≥0，故有 ≥0，从而原不等式得证. 14. 证明：设0≤ ≤ ≤ ≤1，于是有 ≤ ，再证明以 下简单不等式 ≤1，因为左边 ，再注意 ≤ ≤1得证. 15. 分析：由条件 得： …… 以上各式两边分别相加得： = 本题由题设条件直接进行放缩，然后求和，命题即得以证明。 16. 分析：⑴由递推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2； ⑵由已知得： （n>1） 化简得： , 故数列{ }是以 为首项, 公比为 的等比数列. 故 ∴ ∴数列{ }的通项公式为： . ⑶观察要证的不等式，左边很复杂，先要设法对左边的项进行适当的放缩，使之能够求和。而左边= ，如果我们把上式中的分母中的 去掉，就可利用等比数列的前n项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知： ， ，因此，可将 保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。这里需要对 进行分类讨论，（1）当 为偶数 时， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 （2）当 是奇数 时， 为偶数， 所以对任意整数 ，有 EMBED Equation.3 。 本题的关键是并项后进行适当的放缩。 17. 证明：（1）用数学归纳法易证。 （2）由 得： … … 以上各式两边分别相乘得： ，又 （3）要证不等式 ， 可先设法求和： ，再进行适当的放缩。 EMBED Equation.3 又 原不等式得证。 本题的关键是根据题设条件裂项求和。 18. 证明： 19. 证明：由f(n)= =1- 得f（1）+f（2）+…+f（n）> 20. 证明：=＜1＋ eq \o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2)) eq \r((k－1)k(k＋1)) eq \f(1,) ＜１＋ eq \o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2)) eq \r((k－1)(k＋1)) eq \f(2,( eq \r(k＋1) ＋ eq \r(k－1) )) = =1＋ eq \o(∑,\s\up5(n),\s\do5(k=2)) (eq \r((k－1)) eq \f(1,) －eq \r((k＋1)) eq \f(1,) ) =1＋1＋ － －eq \r((n＋1)) eq \f(1,) ＜2＋ ＜3． 本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标. 21. 证明 EMBED Equation.DSMT4 本题通过对因式 放大，而得到一个容易求和的式子 ，最终得出证明. 22. 证明：∵ ∴ ∴ ， ∴ 本题利用 ，对 中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简的目的。 23. 证明： 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。 24. 证明：要证 ，只要证 . 因为 ， ， 故只要证 ， 即只要证 . 因为 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以命题得证. 本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由 放大即可. 25. 证明：(1)对于1＜i≤m，且A =m·…·(m－i+1)， ， 由于m＜n，对于整数k=1，2，…，i－1，有 ， 所以 (2)由二项式定理有： (1+m)n=1+C m+C m2+…+C mn， (1+n)m=1+C n+C n2+…+C nm， 由(1)知miA ＞niA (1＜i≤m＜n ，而C = ∴miCin＞niCim(1＜m＜n ∴m0C =n0C =1，mC =nC =m·n，m2C ＞n2C ，…， mmC ＞nmC ，mm+1C ＞0，…，mnC ＞0， ∴1+C m+C m2+…+C mn＞1+C n+C2mn2+…+C nm， 即(1+m)n＞(1+n)m成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m _1198412677.unknown _1198412754.unknown _1224496371.unknown _1224606555.unknown _1224608721.unknown _1224609784.unknown _1232374704.unknown _1232433231.unknown _1233430269.unknown _1233430959.unknown _1233432086.unknown _1233432483.unknown _1233430436.unknown _1232477131.unknown _1232477154.unknown _1232433302.unknown _1232433423.unknown _1232374911.unknown _1232374957.unknown _1232374828.unknown _1232373878.unknown _1232374223.unknown _1232374611.unknown _1232374125.unknown _1224613601.unknown _1224613885.unknown _1224613988.unknown _1224610071.unknown _1224610354.unknown _1224610373.unknown _1224610091.unknown _1224609842.unknown 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