三角形的重心
08电教2z 保红留
1、 教学分析
前面同学们已经学习了三角形的各边的中点、三角形的中线、三角形的垂线、三角形的中垂线、三角形的中点等三角形的相关知识，根据前面这些知识，我们今天要学习的是三角形的重心，掌握好三角形的重心，在我们的现实生活中也大有用处。
【教材的地位和作用】：三角形的重心是学习几何三角形的一个重要的组成部分，学好三角形的重心，可以解决许多关于立体几何里面的解题。
【教学重点】：三角形重心的性质及其应用。
【教学难点】：三角形重心的
证明
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，以及与其它“四心”的区别。
2、 教学目标
（1）知识目标：让学生了解三角形重心的概念，掌握三角形重心的证明以及三角形重心的部分性质。
（2）能力目标：培养学生认识三角形的重心并能够找出三角形重心，提高学生的解题速度和解题质量。
（3）情感目标：让学生充分利用三角形重心的原理，增加对几何的兴趣和信心，克服惧感，激发求知欲，培养学生发散思维、积极探索的精神。
3、 教学过程
（一）、新课引入
1、三角形重心在现实生活中的应用：
（1）坐公交车时，没座位，站着时，需要两脚分开一点，将重心下移，这样就会在突然停车，突然开车的过程中，不至于晃动得厉害。
（2）跳高运动员过杆的姿势有跨越式、剪式、背越式等，现在高水平的跳高运动员都采用背越式过杆，因为这样在做相同的时候，即将重心提高相同的高度时，人越过的高度最高。
（3）
（4）
思考：我们平时说站不稳其实就是重心不稳，那同学们你们了解重心吗？从上面的两幅图片中，大家得到了什么启示？请同学们按学习小组进行讨论！
（二）、新课
根据上一节课学习的线段、平行四边形的重心的知识以及方法，你们能找到三角形的重心吗？请同学们利用课前准备好的质地均匀的三角形纸板，尝试寻找它的重心。
下面是一些寻找形状不规则或质量不均匀物体重心的方法：
a、悬挂法：
只适用于薄板（不一定均匀）。首先找一根细绳，在物体上找一点，用绳悬挂，划出物体静止后的重力线，同理再找一点悬挂，两条重力线的交点就是物体重心。
b、支撑法
只适用于细棒（不一定均匀）。用一个支点支撑物体，不断变化位置，越稳定的位置，越接近重心。
一种可能的变通方式是用两个支点支撑，然后施加较小的力使两个支点靠近，因为离重心近的支点摩擦力会大，所以物体会随之移动，使另一个支点更接近重心，如此可以找到重心的近似位置。
C、针顶法 同样只适用于薄板。用一根细针顶住板子的下面，当板子能够保持平衡，那么针顶的位置接近重心。
1、 基本概念
从物理上讲三角形重心是一个物体的各部分都要受到重力的作用。从效果上看，我们可以认为各部分受到的重力作用集中于一点，这一点叫做物体的重心。
思考一：已知：如图，BE、CF是△ABC的中线，并相交于G，
求证：
=
=
证明：
（方法一）
连接E、F，
∵E、F是AB、AC的中点
∴EF是△ABC的中线
∴EF∥＝1/2AB
∴△EFG∽△BGC
∴EF/BC=1/2
∴EG/GB=GF/GC=1/2
∴即证
（方法二）
连接E、F，取BG、GC的中点分别为P、N，连接PF、PN、NE。
∵P、N为BG、CG的中点
∴PN∥=1/2BC
同理EF∥=1/2BC
∴PN∥=EF
∴四边形EFPN是平行四边形
∴PG=GE、FG=GN
∴PG=1/2BG、PN=1/2AB=EF
∴EG/GB=FG/GC=1/2
∴即证
思考二：已知：△ABC中，BD和CE是中线，BD，CE相交于点G
求证：BC边的中线经过点G。
证明：连接DE,连接AO并延长，角BC于点F，交ED于点N
则ED‖BC，DE/ BC=1/2
易证△AEN∽△ABF
∴EN＝1/2BF
△EGN∽△CGF
∴EN/FC=1/2
∴BF=CF
即AF为BC边上中线，经过点G。
归纳结论：
（1）定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做三角形的重心。
（2）重心的几条性质：
a、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。
b、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。
c、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。
d、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3。
e、重心和三角形3个顶点的连线将三角形面积平分。
证明：刚才证明三线交一时已证。
f、重心是三角形内到三边距离之积最大的点。
2、 例题分析：
例：已知：△ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点。
A
F E
O
B
D
C
3、 课堂练习：
（1）已知：△ABC中，∠C=900，G是三角形的重心，AB=8，
求：① GC的长；
② 过点G的直线MN∥AB，交AC于M，BC于N，
求MN的长。
（2）已知：△ABC中，G是三角形的重心，AG⊥GC，AG=3，GC=4，
求：BG的长。
补充：
1、其它图形的重心：
线段的重心就是线段的中点；平行四边形的重心就是其两条对角线的交点，也是两对对边中点连线的交点；平行六面体的重心就是其四条对角线的交点，也是六对对棱中点连线的交点，也是四对对面重心连线的交点；圆的重心就是圆心，球的重心就是球心；锥体的重心是定点与底面重心连线的四等分点上最接近底面的一个；四面体的重心同时也是每个定点与对面重心连线的交点，也是每条棱与对棱中点确定平面的交点。
2、 三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心，它们都是三角形的重要相关点。垂心是三角形三条高的交点 ；内心是三角形三条内角平分线的交点 即内接圆的圆心 ；重心是三角形三条中线的交点 ；外心是三角形三条边的垂直平分线的交点 即外接圆的圆心 ；旁心,是三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交点。正三角形中,中心和重心,垂心,内心,外心重合!
（三）、小结
1、三角形的性质及其应用。
2、注意点：与三角形的中心，内心，外心的区别。
（四）、课后作业（略）
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