数列型不等式放缩技巧九法

数列型不等式的放缩技巧九法 证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下九种： 一 利用重要不等式放缩 1． 均值不等式法 例1 设 求证 解析 此数列的通项为 ， ， 即 注：①应注意把握放缩的“度”：上述不等式右边放缩用的是均值不等式 ，若放成 则得 ，就放过“度”了！ ②根据所证不等式的结构特征来选取所需要的重要不等式，这里 其中， 等的各式及其变式公式均可供选用。 例2 已知函数 ，若 ，且 在[0，1]上的最小值为 ，求证： （02年全国联赛山东预赛题） 简析 例3 求证 . 简析 不等式左边 EMBED Equation.3 = ，故原结论成立. 2．利用有用结论 例4 求证 简析 本题可以利用的有用结论主要有： 法1 利用假分数的一个性质 可得 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 即 法2 利用贝努利不等式 的一个特例 (此处 )得 EMBED Equation.3 注：例4是1985年上海高考试题，以此题为主干添“枝”加“叶”而编拟成1998年全国高考文科试题；进行升维处理并加参数而成理科姊妹题。如理科题的主干是： 证明 (可考虑用贝努利不等式 的特例) 例5 已知函数 求证： 对任意 且 恒成立。（90年全国卷压轴题） 简析 本题可用数学归纳法证明，详参高考 评分 售楼处物业服务评分营养不良炎症评分法中国大学排行榜100强国家临床重点专科供应商现场质量稽核 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 ；这里给出运用柯西（ ）不等式 的简捷证法： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 而由 不等式得 EMBED Equation.3 ( 时取等号) EMBED Equation.3 （ ），得证！ 例6 已知 EMBED Equation.3 用数学归纳法证明 ； 对 对 都成立，证明 （无理数 ）（05年辽宁卷第22题） 解析 结合第 问结论及所给题设条件 （ ）的结构特征，可得放缩思路： EMBED Equation.3 。于是 ， 即 注：题目所给条件 （ ）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论 来放缩： EMBED Equation.3 ， 即 例7 已知不等式 表示不超过 的最大整数。设正数数列 满足： 求证 （05年湖北卷第（22）题） 简析 当 时 ，即 于是当 时有 EMBED Equation.3 注：①本题涉及的和式 为调和级数，是发散的，不能求和；但是可以利用所给题设结论 来进行有效地放缩； ②引入有用结论在解题中即时应用，是近年来高考创新型试题的一个显著特点，有利于培养学生的学习能力与创新意识。 例8 设 ，求证：数列 单调递增且 解析 引入一个结论：若 则 （证略） 整理上式得 （ ），以 代入（ ）式得 EMBED Equation.3 即 单调递增。 以 代入（ ）式得 此式对一切正整数 都成立，即对一切偶数有 ，又因为数列 单调递增，所以对一切正整数 有 。 注：①上述不等式可加强为 简证如下： 利用二项展开式进行部分放缩： 只取前两项有 对通项作如下放缩： 故有 ②上述数列 的极限存在，为无理数 ；同时是下述试题的背景：已知 是正整数，且 （1）证明 ；（2）证明 （01年全国卷理科第20题） 简析 对第（2）问：用 代替 得数列 是递减数列；借鉴此结论可有如下简捷证法：数列 递减，且 故 即 。当然，本题每小题的证明方法都有10多种,如使用上述例4所提供的假分数性质、贝努力不等式、甚至构造“分房问题”概率模型、构造函数等都可以给出非常漂亮的解决！详见文[1]。 二 部分放缩 例9 设 EMBED Equation.3 求证： 解析 EMBED Equation.3 又 （只将其中一个 变成 ，进行部分放缩）， ， 于是 EMBED Equation.3 例10 设数列 满足 ，当 时证明对所有 有 ； （02年全国高考题） 解析 用数学归纳法：当 时显然成立，假设当 时成立即 ，则当 时 ，成立。 利用上述部分放缩的结论 来放缩通项，可得 EMBED Equation.3 注：上述证明 用到部分放缩，当然根据不等式的性质也可以整体放缩： ；证明 就直接使用了部分放缩的结论 。 三 添减项放缩 上述例4之法2就是利用二项展开式进行减项放缩的例子。 例11 设 ，求证 . 简析 观察 的结构，注意到 ，展开得 ， 即 ，得证. 例12 设数列 满足 （Ⅰ）证明 对一切正整数 成立；（Ⅱ）令 ，判定 与 的大小，并 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 理由（04年重庆卷理科第（22）题） 简析 本题有多种放缩证明方法，这里我们对（Ⅰ）进行减项放缩，有 法1 用数学归纳法（只考虑第二步） ； 法2 EMBED Equation.3 则 四 利用单调性放缩 1． 构造数列 如对上述例1，令 则 ， 递减，有 ，故 再如例4，令 则 ，即 递增，有 ，得证！ 注：由此可得例4的加强命题 并可改造成为探索性问题：求对任意 使 恒成立的正整数 的最大值；同理可得理科姊妹题的加强命题及其探索性结论，读者不妨一试！ 2．构造函数 例13 已知函数 的最大值不大于 ，又当 时 （Ⅰ）求 的值；（Ⅱ）设 ，证明 （04年辽宁卷第21题） 解析 （Ⅰ） =1 ；（Ⅱ）由 得 且 用数学归纳法（只看第二步）： 在 是增函数，则得 例14 数列 由下列条件确定： ， EMBED Equation.3 ．（I）证明：对 总有 ；(II)证明：对 总有 （02年北京卷第（19）题） 解析 构造函数 易知 在 是增函数。 当 时 在 递增，故 对(II)有 EMBED Equation.3 ，构造函数 它在 上是增函数，故有 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 ，得证。 注：①本题有着深厚的科学背景：是计算机开平方 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 迭代程序的根据；同时有着高等数学背景—数列 单调递减有下界因而有极限： ② EMBED Equation.3 是递推数列 的母函数，研究其单调性对此数列本质属性的揭示往往具有重要的指导作用。类题有06年湖南卷理科第19题： 已知函数 ,数列{ }满足: 证明:(ⅰ) ;(ⅱ) .（证略） 五 换元放缩 例15 求证 简析 令 ，这里 则有 ，从而有 注：通过换元化为幂的形式，为成功运用二项展开式进行部分放缩起到了关键性的作用。 例16 设 ， ，求证 . 简析 令 ，则 ， ，应用二项式定理进行部分放缩有 ，注意到 ，则 （证明从略），因此 六 递推放缩 递推放缩的典型例子，可参考上述例10中利用 部分放缩所得结论 进行递推放缩来证明 ，同理例6 中所得 和 、例7中 、 例12（Ⅰ）之法2所得 都是进行递推放缩的关键式。 七 转化为加强命题放缩 如上述例10第 问所证不等式右边为常数，难以直接使用数学归纳法，我们可以通过从特值入手进行归纳探索、或运用逆向思维探索转化为证明其加强命题： 再用数学归纳法证明此加强命题，就容易多了（略）。 例17 设 ，定义 ，求证：对一切正整数 有 解析 用数学归纳法推 时的结论 ，仅用归纳假设 及递推式 是难以证出的，因为 出现在分母上！可以逆向考虑： 故将原问题转化为证明其加强命题： 对一切正整数 有 （证明从略） 例18 数列 满足 证明 （01年中国西部数学奥林匹克试题） 简析 将问题一般化：先证明其加强命题 用数学归纳法，只考虑第二步： 因此对一切 有 例19 已知数列｛an｝满足：a1＝ ，且an＝ （1）求数列｛an｝的通项公式；（2）证明：对一切正整数n有a1(a2(……an(2(n！（06年江西卷理科第22题） 解析：（1）将条件变为：1－ ＝ ，因此｛1－ ｝为一个等比数列，其首项为1－ ＝ ，公比 ，从而1－ ＝ ，据此得an＝ （n(1）……1( （2）证：据1(得，a1(a2(…an＝ ，为证a1(a2(……an(2(n！， 只要证n(N(时有 ( ……2( 显然，左端每个因式都是正数，先证明一个加强不等式： 对每个n(N(，有 (1－（ ）……3( （用数学归纳法，证略）利用3(得， (1－（ ）＝1－ ＝1－ ( 。 故2(式成立，从而结论成立。 八 分项讨论 例20 已知数列 的前 项和 满足 （Ⅰ）写出数列 的前3项 ；（Ⅱ）求数列 的通项公式；（Ⅲ）证明：对任意的整数 ，有 （04年全国卷Ⅲ） 简析 （Ⅰ）略，（Ⅱ） ； （Ⅲ）由于通项中含有 ，很难直接放缩，考虑分项讨论： 当 且 为奇数时 （减项放缩），于是 ①当 且 为偶数时 EMBED Equation.3 ②当 且 为奇数时 EMBED Equation.3 （添项放缩）由①知 由① = 2 \* GB3 ②得证。 九 数学归纳法 例21（Ⅰ）设函数 ，求 的最小值；（Ⅱ）设正数 满足 ，证明 （05年全国卷Ⅰ第22题） 解析 这道高考题内蕴丰富，有着深厚的科学背景：直接与高等数学的凸函数有关！更为深层的是信息科学中有关熵的问题。（Ⅰ）略，只证（Ⅱ）： 法1 由 为下凸函数得 又 ， 所以 EMBED Equation.3 考虑试题的编拟初衷，是为了考查数学归纳法，于是借鉴詹森（jensen）不等式（若 为 上的下凸函数，则对任意 ，有 特别地，若 则有 若为上凸函数则改“ ”为“ ”）的证明思路与方法有： 法2 （用数学归纳法证明）（i）当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立. （ii）假定当 时命题成立，即若正数 ， 则 当 时，若正数 （*） 为利用归纳假设，将（*）式左边均分成前后两段： 令 则 为正数，且 由归纳假定知 （1） 同理，由 得 （2） 综合（1）（2）两式 即当 时命题也成立. 根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立. 法3 构造函数 利用（Ⅰ）知， 当 对任意 EMBED Equation.3 . ② （②式是比①式更强的结果）下面用数学归纳法证明结论. （i）当n=1时，由（I）知命题成立. （ii）设当n=k时命题成立，即若正数 对（*）式的连续两项进行两两结合变成 项后使用归纳假设，并充分利用②式有 由归纳法假设 得 即当 时命题也成立. 所以对一切正整数n命题成立. 注： 式②也可以直接使用函数 下凸用（Ⅰ）中结论得到； 为利用归纳假设，也可对（*）式进行对应结合： 而变成 项； 本题可作推广：若正数 满足 ，则 （简证：构造函数 ，易得 EMBED Equation.3 故 ） PAGE 9 _1195750974.unknown _1195812582.unknown _1196674643.unknown _1211378118.unknown _1211893943.unknown _1211894333.unknown _1211894753.unknown _1211896102.unknown _1211896274.unknown _1221500441.unknown _1211896211.unknown _1211895018.unknown _1211894721.unknown _1211894014.unknown _1211894092.unknown _1211893962.unknown 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