人教版高中数学必修4课后习题答案

第二章 平面向量 2．1平面向量的实际背景及基本概念 练习（P77） 1、略. 2、 ， . 这两个向量的长度相等，但它们不等. 3、 ， ， ， . 4、（1）它们的终点相同； （2）它们的终点不同. 习题2.1 A组（P77） 1、 （2）. 3、与 相等的向量有： ；与 相等的向量有： ； 与 相等的向量有： . 4、与 相等的向量有： ；与 相等的向量有： ； 与 相等的向量有： 5、 . 6、（1）×； （2）√； （3）√； （4）×. 习题2.1 B组（P78） 1、海拔和高度都不是向量. 2、相等的向量共有24对. 模为1的向量有18对. 其中与 同向的共有6对，与 反向的也有6对；与 同向的共有3对，与 反向的也有6对；模为 的向量共有4对；模为2的向量有2对 2．2平面向量的线性运算 练习（P84） 1、图略. 2、图略. 3、（1） ； （2） . 4、（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 练习（P87） 1、图略. 2、 ， ， ， ， . 3、图略. 练习（P90） 1、图略. 2、 ， . 说明：本题可先画一个示意图，根据图形容易得出正确答案. 值得注意的是 与 反向. 3、（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 4、（1）共线； （2）共线. 5、（1） ； （2） ； （3） . 6、图略. 习题2.2 A组（P91） 1、（1）向东走20 km； （2）向东走5 km； （3）向东北走 km； （4）向西南走 km；（5）向西北走 km；（6）向东南走 km. 2、飞机飞行的路程为700 km；两次位移的合成是向北偏西53°方向飞行500 km. 3、解：如右图所示： 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示船速， 表示河水 的流速，以 、 为邻边作□ ，则 表示船实际航行的速度. 在Rt△ABC中， ， ， 所以 因为 ，由计算器得 所以，实际航行的速度是 EMBED Equation.DSMT4 ，船航行的方向与河岸的夹角约为76°. 4、（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） . 5、略 6、不一定构成三角形. 说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这三个向量不共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形. 7、略. 8、（1）略； （2）当 时， 9、（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 10、 ， ， . 11、如图所示， ， ， ， . 12、 ， ， ， ， ， ， . 13、证明：在 中， 分别是 的中点， 所以 且 ， 即 ； 同理， ， 所以 . 习题2.2 B组（P92） 1、丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400 km. 2、不一定相等，可以验证在 不共线时它们不相等. 3、证明：因为 ，而 ， ， 所以 . 4、（1）四边形 为平行四边形，证略 （2）四边形 为梯形. 证明：∵ ， ∴ 且 ∴四边形 为梯形. （3）四边形 为菱形. 证明：∵ ， ∴ 且 ∴四边形 为平行四边形 又 ∴四边形 为菱形. 5、（1）通过作图可以发现四边形 为平行四边形. 证明：因为 ， 而 所以 所以 ，即 ∥ . 因此，四边形 为平行四边形. 2．3平面向量的基本定理及坐标表示 练习（P100） 1、（1） ， ； （2） ， ； （3） ， ； （4） ， . 2、 ， . 3、（1） ， ； （2） ， ； （3） ， ； （4） ， 4、 ∥ . 证明： ， ，所以 .所以 ∥ . 5、（1） ； （2） ； （3） . 6、 或 7、解：设 ，由点 在线段 的延长线上，且 ，得 ， ∴ ∴ ∴ ，所以点 的坐标为 . 习题2.3 A组（P101） 1、（1） ； （2） ； （3） . 说明：解题时可设 ，利用向量坐标的定义解题. 2、 3、解法一： ， 而 ， . 所以点 的坐标为 . 解法二：设 ，则 ， 由 可得， ，解得点 的坐标为 . 4、解： ， . ， ， . ，所以，点 的坐标为 ； ，所以，点 的坐标为 ； ，所以，点 的坐标为 . 5、由向量 共线得 ，所以 ，解得 . 6、 ， ， ，所以 与 共线. 7、 ，所以点 的坐标为 ； ，所以点 的坐标为 ； 故 习题2.3 B组（P101） 1、 ， . 当 时， ，所以 ； 当 时， ，所以 ； 当 时， ，所以 ； 当 时， ，所以 . 2、（1）因为 ， ，所以 ，所以 、 、 三点共线； （2）因为 ， ，所以 ，所以 、 、 三点共线； （3）因为 ， ，所以 ，所以 、 、 三点共线. 3、证明：假设 ，则由 ，得 . 所以 是共线向量，与已知 是平面内的一组基底矛盾, 因此假设错误， . 同理 . 综上 . 4、（1） . （2）对于任意向量 ， 都是唯一确定的， 所以向量的坐标表示的规定合理. 2．4平面向量的数量积 练习（P106） 1、 . 2、当 时， 为钝角三角形；当 时， 为直角三角形. 3、投影分别为 ，0， . 图略 练习（P107） 1、 ， ， . 2、 ， ， ， . 3、 ， ， ， . 习题2.4 A组（P108） 1、 ， ， . 2、 与 的夹角为120°， . 3、 ， . 4、证法一：设 与 的夹角为 . （1）当 时，等式显然成立； （2）当 时， 与 ， 与 的夹角都为 ， 所以 所以 ； （3）当 时， 与 ， 与 的夹角都为 ， 则 所以 ； 综上所述，等式成立. 证法二：设 ， ， 那么 所以 ； 5、（1）直角三角形， 为直角. 证明：∵ ， ∴ ∴ ， 为直角， 为直角三角形 （2）直角三角形， 为直角 证明：∵ ， ∴ ∴ ， 为直角， 为直角三角形 （3）直角三角形， 为直角 证明：∵ ， ∴ ∴ ， 为直角， 为直角三角形 6、 . 7、 . ，于是可得 ， ，所以 . 8、 ， . 9、证明：∵ ， ， ∴ ， ∴ 为顶点的四边形是矩形. 10、解：设 ， 则 ，解得 ，或 . 于是 或 . 11、解：设与 垂直的单位向量 ， 则 ，解得 或 . 于是 或 . 习题2.4 B组（P108） 1、证法一： 证法二：设 ， ， . 先证 ， 由 得 ，即 而 ，所以 再证 由 得 ， 即 ，因此 2、 . 3、证明：构造向量 ， . ，所以 ∴ 4、 的值只与弦 的长有关，与圆的半径无关. 证明：取 的中点 ，连接 ， 则 ， 又 ，而 所以 5、（1）勾股定理： 中， ，则 证明：∵ ∴ . 由 ，有 ，于是 ∴ （2）菱形 中，求证： 证明：∵ ， ∴ . ∵四边形 为菱形，∴ ，所以 ∴ ，所以 （3）长方形 中，求证： 证明：∵ 四边形 为长方形，所以 ，所以 ∴ . ∴ ，所以 ，所以 （4）正方形的对角线垂直平分. 综合以上（2）（3）的证明即可. 2．5平面向量应用举例 习题2.5 A组（P113） 1、解：设 ， 则 ， 由 得 ，即 代入直线 的方程得 . 所以，点 的轨迹方程为 . 2、解：（1）易知， ∽ ， , 所以 . （2）因为 所以 ，因此 三点共线，而且 同理可知： ，所以 3、解：（1） ； （2） 在 方向上的投影为 . 4、解：设 ， 的合力为 ， 与 的夹角为 ， 则 ， ； ， 与 的夹角为150°. 习题2.5 B组（P113） 1、解：设 在水平方向的速度大小为 ，竖直方向的速度的大小为 ， 则 ， . 设在时刻 时的上升高度为 ，抛掷距离为 ，则 所以，最大高度为 ，最大投掷距离为 . 2、解：设 与 的夹角为 ，合速度为 ， 与 的夹角为 ，行驶距离为 . 则 ， . ∴ . 所以当 ，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短. 3、（1） 解：设 ，则 . . 将 绕点 沿顺时针方向旋转 到 ，相当于沿逆时针方向旋转 到 ， 于是 所以 ，解得 （2） 解：设曲线 上任一点 的坐标为 ， 绕 逆时针旋转 后，点 的坐标为 则 ，即 又因为 ，所以 ，化简得 第二章 复习参考题A组（P118） 1、（1）√； （2）√； （3）×； （4）×. 2、（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） . 3、 ， 4、略解： ， ， ， 5、（1） ， ； （2） ， ； （3） . 6、 与 共线. 证明：因为 ， ，所以 . 所以 与 共线. 7、 . 8、 . 9、 . 10、 11、证明： ，所以 . 12、 . 13、 ， . 14、 第二章 复习参考题B组（P119） 1、（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） . 2、证明：先证 . ， . 因为 ，所以 ，于是 . 再证 . 由于 ， 由 可得 ，于是 所以 . 【几何意义是矩形的两条对角线相等】 3、证明：先证 又 ，所以 ，所以 再证 . 由 得 ，即 所以 【几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所示】 4、 ， 而 ， ，所以 5、证明：如图所示， ，由于 ， 所以 ， 所以 所以 ，同理可得 所以 ，同理可得 ， ，所以 为正三角形. 6、连接 . 由对称性可知， 是 的中位线， . 7、（1）实际前进速度大小为 （千米／时）， 沿与水流方向成60°的方向前进； （2）实际前进速度大小为 千米／时， 沿与水流方向成 的方向前进. 8、解：因为 ，所以 ，所以 同理， ， ，所以点 是 的垂心. 9、（1） ； （2）垂直； （3）当 时， ∥ ；当 时， ， 夹角 的余弦 ； （4） 第三章 三角恒等变换 3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习（P127） 1、 . . 2、解：由 ，得 ； 所以 . 3、解：由 ， 是第二象限角，得 ； 所以 . 4、解：由 ，得 ； 又由 ，得 . 所以 . 练习（P131） 1、（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 2、解：由 ，得 ； 所以 . 3、解：由 ， 是第三象限角，得 ； 所以 . 4、解： . 5、（1）1； （2） ； （3）1； （4） ； （5）原式= ； （6）原式= . 6、（1）原式= ； （2）原式= ； （3）原式= ； （4）原式= . 7、解：由已知得 ， 即 ， 所以 . 又 是第三象限角， 于是 . 因此 . 练习（P135） 1、解：因为 ，所以 又由 ，得 ， 所以 2、解：由 ，得 ，所以 所以 3、解：由 且 可得 ， 又由 ，得 ，所以 . 4、解：由 ，得 . 所以 ，所以 5、（1） ； （2） ； （3）原式= ； （4）原式= . 习题3.1 A组（P137） 1、（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 2、解：由 ，得 ， 所以 . 3、解：由 ，得 ， 又由 ，得 ， 所以 . 4、解：由 ， 是锐角，得 因为 是锐角，所以 ， 又因为 ，所以 所以 5、解：由 ，得 又由 ，得 所以 6、（1） ； （2） ； （3） . 7、解：由 ，得 . 又由 ， 是第三象限角，得 . 所以 8、解：∵ 且 为 的内角 ∴ ， 当 时， ，不合题意，舍去 ∴ ∴ 9、解：由 ，得 . ∴ . ∴ . . 10、解：∵ 是 的两个实数根. ∴ ， . ∴ . 11、解：∵ ∴ EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 12、解：∵ ∴ ∴ EMBED Equation.DSMT4 又∵ ，∴ 13、（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） ； （9） ； （10） . 14、解：由 ，得 ∴ 15、解：由 ，得 ∴ 16、解：设 ，且 ，所以 . ∴ 17、解： ， . 18、解： EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ，即 又 ，所以 ∴ ∴ 19、（1） ； （2） ； （3） ； （4） . 习题3.1 B组（P138） 1、略. 2、解：∵ 是 的方程 ，即 的两个实根 ∴ ， ∴ EMBED Equation.DSMT4 由于 ，所以 . 3、反应一般的规律的等式是（表述形式不唯一） （证明略） 本题是开放型问题，反映一般规律的等式的表述形式还可以是： ，其中 ，等等 思考过程要求从角，三角函数种类，式子结构形式三个方面寻找共同特点，从而作出归纳. 对认识三角函数式特点有帮助，证明过程也会促进推理能力、运算能力的提高. 4、因为 ，则 即 所以 3．2简单的三角恒等变换 练习（P142） 1、略. 2、略. 3、略. 4、（1） . 最小正周期为 ，递增区间为 ，最大值为 ； （2） . 最小正周期为 ，递增区间为 ，最大值为3； （3） . 最小正周期为 ，递增区间为 ，最大值为2. 习题3.2 A组（ P143） 1、（1）略； （2）提示：左式通分后分子分母同乘以2； （3）略； （4）提示：用 代替1，用 代替 ； （5）略； （6）提示：用 代替 ； （7）提示：用 代替 ，用 代替 ； （8）略. 2、由已知可有 ……①， ……② （1）②×3－①×2可得 （2）把（1）所得的两边同除以 得 注意：这里 隐含与①、②之中 3、由已知可解得 . 于是 ∴ 4、由已知可解得 ， ，于是 . 5、 ，最小正周期是 ，递减区间为 . 习题3.2 B组（P143） 1、略. 2、由于 ，所以 即 ，得 3、设存在锐角 使 ，所以 ， ， 又 ，又因为 ， 所以 由此可解得 ， ，所以 . 经检验 ， 是符合题意的两锐角. 4、线段 的中点 的坐标为 . 过 作 垂直于 轴，交 轴于 ， . 在 中， . 在 中， ， . 于是有 ， 5、当 时， ； 当 时， ，此时有 ； 当 时， ，此时有 ； 由此猜想，当 时， 6、（1） ，其中 所以， 的最大值为5，最小值为﹣5； （2） ，其中 所以， 的最大值为 ，最小值为 ； 第三章 复习参考题A组（P146） 1、 . 提示： 2、 . 提示： 3、1. 4、（1）提示：把公式 变形； （2） ； （3）2； （4） . 提示：利用（1）的恒等式. 5、（1）原式= ； （2）原式= = ； （3）原式= = ； （4）原式= 6、（1） ； （2） ； （3） . 提示： ； （4） . 7、由已知可求得 ， ，于是 . 8、（1）左边= =右边 （2）左边= =右边 （3）左边= =右边 （4）左边= =右边 9、（1） 递减区间为 （2）最大值为 ，最小值为 . 10、 （1）最小正周期是 ； （2）由 得 ，所以当 ，即 时， 的最小值为 . 取最小值时 的集合为 . 11、 （1）最小正周期是 ，最大值为 ； （2） 在 上的图象如右图： 12、 . （1）由 得 ； （2） . 13、如图，设 ，则 ， ， 所以 ， 当 ，即 时， 的最小值为 . 第三章 复习参考题B组（P147） 1、解法一：由 ，及 ，可解得 ， ，所以 ， ， . 解法二：由 得 ， ，所以 . 又由 ，得 . 因为 ，所以 . 而当 时， ； 当 时， . 所以 ，即 所以 ， . 2、把 两边分别平方得 把 两边分别平方得 把所得两式相加，得 ， 即 ，所以 3、由 可得 ， . 又 ，所以 ，于是 . 所以 4、 由 得 ，又 ， 所以 ， 所以 ， ， , 所以 ， 5、把已知代入 ，得 . 变形得 ， ， 本题从对比已知条件和所证等式开始，可发现应消去已知条件中含 的三角函数. 考虑 ， 这两者又有什么关系？及得上解法. 5、6两题上述解法称为消去法 6、 . 由 得 ，于是有 . 解得 . 的最小值为 ， 此时 的取值集合由 ，求得为 7、设 ， ， ， ，则 ， 于是 又 的周长为2，即 ，变形可得 于是 . 又 ，所以 ， . 8、（1）由 ，可得 解得 或 （由 ，舍去） 所以 ，于是 （2）根据所给条件，可求得仅由 表示的三角函数式的值， 例如， ， ， ， ，等等. （第11题） （第12题） （第13题） （第1题） （第4题(2)） （第4题(3)） （第5题） （第4题） （第2题） （第4题） （第4题） （第3题） （第5题） （第6题） （第12题） （第4题） （第12（2）题） （第13题） 高中数学必修4课后答案 _1234568401.unknown _1234568657.unknown _1234568785.unknown _1234568849.unknown _1234568881.unknown _1234568913.unknown _1234568929.unknown _1234568937.unknown _1234568941.unknown _1234568945.unknown _1234568947.unknown _1234568949.unknown _1234568950.unknown _1234568948.unknown _1234568946.unknown _1234568943.unknown _1234568944.unknown _1234568942.unknown _1234568939.unknown _1234568940.unknown _1234568938.unknown _1234568933.unknown _1234568935.unknown _1234568936.unknown _1234568934.unknown _1234568931.unknown _1234568932.unknown _1234568930.unknown _1234568921.unknown _1234568925.unknown _1234568927.unknown _1234568928.unknown _1234568926.unknown _1234568923.unknown _1234568924.unknown _1234568922.unknown _1234568917.unknown _1234568919.unknown _1234568920.unknown _1234568918.unknown _1234568915.unknown _1234568916.unknown _1234568914.unknown _1234568897.unknown _1234568905.unknown _1234568909.unknown _1234568911.unknown _1234568912.unknown _1234568910.unknown _1234568907.unknown _1234568908.unknown _1234568906.unknown _1234568901.unknown _1234568903.unknown _1234568904.unknown _1234568902.unknown _1234568899.unknown _1234568900.unknown _1234568898.unknown _1234568889.unknown _1234568893.unknown _1234568895.unknown _1234568896.unknown _1234568894.unknown _1234568891.unknown _1234568892.unknown _1234568890.unknown _1234568885.unknown _1234568887.unknown _1234568888.unknown _1234568886.unknown _1234568883.unknown _1234568884.unknown _1234568882.unknown _1234568865.unknown _1234568873.unknown _1234568877.unknown _1234568879.unknown _1234568880.unknown _1234568878.unknown _1234568875.unknown _1234568876.unknown _1234568874.unknown _1234568869.unknown _1234568871.unknown _1234568872.unknown _1234568870.unknown _1234568867.unknown _1234568868.unknown _1234568866.unknown _1234568857.unknown _1234568861.unknown _1234568863.unknown _1234568864.unknown _1234568862.unknown _1234568859.unknown _1234568860.unknown _1234568858.unknown _1234568853.unknown _1234568855.unknown _1234568856.unknown _1234568854.unknown _1234568851.unknown 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