2011年江苏省高中数学夏令营平几讲座 潘春雷2011年7月
平面几何选讲
1.如图，已知正方形ABCD，点E、F分别在BC、CD上，且BE+DF=EF，试求∠EAF的度数.
2. 如图，A、B、C、D为直线上四点，且AB=CD，点P为一动点，若∠APB=∠CPD，试求点P的轨迹．
3.如图，以△ABC的底边BC为直径作半圆，分别与边AB，AC交于点D和E，分别过点D，E作BC的垂线，垂足依次为F，G，线段DG和EF交于点M。求证：AM⊥BC.
4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，I是△ABC的内心，AI交⊙O于点D．求证：AB，BC，CA成等差数列的充要条件是S△IBC＝S△DBC．
5．P为△ABC内一点，直线AC，BP相交于点Q，直线AB，CP交于点R，已知AR＝RB＝CP，CQ＝PQ，求∠BRC．
6．在△ABC中，AB＝AC，∠B的平分线与AC交于点D，且BC＝BD＋AD．求∠A．
7．在△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝40°，P，Q为三角形内两点，∠PAB＝∠QAC＝20°，∠PCB＝∠QCA＝10°，求证：B，P，Q三点共线．
8．设△ABC内存在一点F，满足∠AFB＝∠BFC＝∠CFA，直线BF，CF分别交AC，AB于点D，E．求证：AB＋AC≥4DE．
9.上题中，证明：AF、ED、BC的中点M、N、P共线．
10．设P是△ABC内一点，∠APB－∠ACB＝∠APC－∠ABC．又D，E分别是△APB及△APC的内心．证明：AP，BD，CE交于一点．
11．设I是△ABC的内心，且内切圆与三边BC，CA，AB分别相切于点K，L，M，过B且平行于MK的直线交直线LM，LK于点R，S．求证：∠RIS＜90°．
12．如图，自⊙O外一点P引圆的两条切线PE、PF，E、F为切点，过P点任意引圆的割线交⊙O于A，B，交EF于C．证明： EQ
EQ \F(2,PC) = EQ \F(1,PA) + EQ \F(1,PB) ．
13．过圆外一点P向⊙O作切线PA，PB与割线PCD，过点C作PA的平行线，分别交AB，AD于点E，F，求证：CE＝EF．
14．如图，PA，PB分别与⊙O切于点A，B，⊙O的割线PCD交AB于点E，EF⊥PB于点F．求证：∠CFE＝∠DFE．
15．P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，割线PBC，BD∥AP交AC于点D，OP交BD于点M，BD中点为N．求证：ON⊥AM．
16．I是△ABC的内心，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．
求证： eq \f(IA2,bc)＋ eq \f(IB2,ac)＋ eq \f(IC2,ab)＝1．
17．四边形两组对边延长线分别相交且交点连线与四边形的一条对角线平行．证明：另一条对角线的延长线平分对边交点连线．
18．在△ABC中，O是外心，I是内心，∠C＝30°，边AC上的点D与BC边上的点E，使AD＝BE＝AB，求证：OI⊥DE，且OI＝DE．
19．设△ABC不是直角三角形，O为△ABC的外心，H为垂心，直线OH交AC于点K，交AB于点L，已知OK＝HL，求∠A的值．
20.设E、F分别为四边形ABCD的边BC、CD上的点，BF与DE交于点P，若∠BAE=∠FAD，则∠BAP=∠CAD.
21.在凸四边形ABCD中，∠CAB＝∠CAD，E，F分别是CD，BC上的点，且满足∠CAF＝∠CAE．求证：AC，BE，DF交于一点．
22.如图，在四边形ABCD中，△ABD，△BCD，△ABC的面积比是3∶4∶1，点M，N分别在AC，CD上，满足AM∶AC=CN∶CD，并且B、M、N共线。求证：M与N分别是AC和CD的中点.
23．AF、BE、CD分别是△ABC的角平分线，中线与高，且AC＝b，AB＝c．求证：AF，BE，CD相交于一点的充要条件是cosA＝ eq \f(c,b＋c)．
24. 如图，△ABC中，O为外心，三条高AD、BE、CF交于点H，直线DE和AB交于点M，DF和AC交于点N．
求证：（1）OB⊥DF，OC⊥DE．
（2）OH⊥MN．
25.锐角△ABC中，AB>AC,O点是它的外心,射线AO交BC边于D点.
已知：cosB+cosC=1，
求证：△ABD与△ACD的周长相等.
26．设P为等边三角形ABC内一点，AP，BP，CP依次交BC，CA，AB于点A1，B1，C1，求证：A1B1·B1C1·C1A1≥A1B·B1C·C1A．
27．△ABC中，∠C＝2∠B，P为△ABC内满足AP＝AC，PB＝PC的点，求证：AP是∠A的一条三等分线．
28．设D为△ABC的边BC上一点，点P在线段AD上，过点D作一直线分别与AB，PB交于点M，E，与线段AC，PC的延长线交于点F，N．如果DE＝DF，求证：DM＝DN．
29．在一个非钝角三角形ABC中，AB＞AC，∠B＝45°，O与I分别为△ABC的外心与内心，且 eq \r(2)OI＝AB－AC．求sinA．
30．△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝2DC，点E在AD上，且∠ABE＝∠CAE．求证：∠BED＝2∠CED．
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