高二数学椭圆的第二定义

高二数学椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系知识精讲 一. 本周教学内容： 椭圆的第二定义、参数方程、直线与椭圆的位置关系 ［知识点］ 1. 第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数 椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。 注意： ②e的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。 2. 焦半径及焦半径 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 ： 椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。 3. 椭圆参数方程 问题：如图以原点为圆心，分别以a、b（a>b>0）为半径作两个圆，点B是大圆半径OA与小圆的交点，过点A作AN⊥Ox，垂足为N，过点B作BN⊥AN，垂足为M，求当半径OA绕O旋转时点M的轨迹的参数方程。 解： 参数。 说明：<1> 对上述方程（1）消参即 <2>由以上消参过程可知将椭圆的普通方程进行三角变形即得参数方程。 4. 补充 5. 直线与椭圆位置关系： （1）相离 ②求椭圆上动点P（x，y）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作l'∥l且l'与椭圆相切） ③关于直线的对称椭圆。 （2）相切 ①弦长公式： 例1. |MA|＋2|MF|取最小值时，求点M的坐标。 分析： 这里|MP|、|AP|分别表示点A到准线的距离和点M到准线的距离。 解： 例2. 时，点P横坐标的取值范围是_______________。（2000年全国高考题） 分析：可先求∠F1PF2＝90°时，P点的横坐标。 解：法一 法二 小结：本题考查椭圆的方程、焦半径公式，三角函数，解不等式知识及推理、计算能力。 例3. 弦所在的直线方程。 分析：本例的实质是求出直线的斜率，在所给已知条件下求直线的斜率方法较多，故本例解法较多，可作进一步的研究。 解：法一 法二 法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A（x，y），由于中点为M（2，1）， 法四 例4. 的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？ 解：法一 法二 例5. （2）若四边形ABCD内接于椭圆E，点A的横坐标为5，点C的纵坐标为4，求四边形ABCD的最大面积。 分析：题（1）解题思路比较多。法一：可从椭圆方程中求出y2代入x2+y2，转化为 值，解题时可结合图形思考。得最大值为25，最小值为16。 题（2）可将四边形ABCD的面积分为两个三角形的面积求解，由于AC是定线段，故长度已定，则当点B、点D到AC所在直线距离最大时，两个三角形的面积最大，此时 解： （2）由题意得A（5，0），C（0，4），则直线AC方程为：4x＋5y－20 例6. 分线与x轴相交于点P（x0，0）。 （1992年全国高考题） 分析： 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：法一 法二 法三 这种解题方法通常叫做“端点参数法”或叫做“设而不求”。 例7. 解法一：设椭圆的参数方程为 解法二： 小结：椭圆的参数方程是解决椭圆问题的一个工具，但不是所有与椭圆有关的问题必须用参数方程来解决。 【模拟试题】 1. 已知椭圆 的焦点坐标是 是椭圆上的任一点，求证： 率。 2. 在椭圆 上求一点P，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。 3. 椭圆 的长轴长是___________。 4. 椭圆 ，离心率 ，焦点到椭圆上点的最短距离为 ，求椭圆的方程。 5. 已知椭圆的一个焦点是F（1，1），与它相对应的准线是 ，离心率为 ，求椭圆的方程。 6. 已知点P在椭圆 上， 为椭圆的两个焦点，求 的取值范围。 7. 在椭圆 内有一点A（2，1），过点A的直线l的斜率为－1，且与椭圆交于B、C两点，线段BC的中点恰好是A，试求椭圆方程。 8. 已知椭圆 ，在椭圆上求一点M，使它到两焦点距离之积为16。 9. 如图，已知曲线 ，点A在曲线上移动，点C（6，4），以AC为对角线作矩形ABCD，使AB∥x轴，AD∥y轴，求矩形ABCD的面积最小时点A坐标。 [参考答案] 1. 证明： EMBED Equation.2 的两焦点 ，相应的准线方程分别是 。 ∵椭圆上任一点到焦点的距离与它到相应准线的距离的比等于这个椭圆的离心率， ∴ 。 化简得 。 点评： 都是椭圆上的点到焦点的距离，习惯称作焦半径， 称作焦半径公式，结合这两个公式，显然到焦点距离最远（近）点为长轴端点。 2. 解：设P点的坐标为（x，y），F1、F2分别为椭圆的左、右焦点。 ∵椭圆的准线方程为 ， ∴ ∵ 因此，P点的坐标为 。 点评：解决椭圆上的点到两焦点的距离（焦半径）问题，常利用椭圆的第二定义或焦半径公式。如果利用焦半径公式，应先利用第二定义证明焦半径公式。 3. 解析：椭圆的方程可写成 ， ∴ ① 一个焦点是（－1，1），相对应的准线方程是 ， ② 由①、②得 。 4. 解：∵椭圆的长轴的一个端点到焦点的距离最短， ∴ 又 ， ∴椭圆的方程为 5. 解：设P（x，y）为椭圆上任意一点， ∵椭圆的一个焦点是F（1，1）， 与它相对应的准线是 ，离心率为 ， ∴ ∴ ， 即 为所求。 6. 解：设P ，椭圆的准线方程为 ，不妨设F1、F2分别为下焦点、上焦点 则 EMBED Equation.2 ∵ ， ∴当 时， 当 因此， 的取值范围是 7. 解：设直线l的方程为 得 ， 由已知， ，解得 ， 8. 解：设M（x，y），由椭圆方程得 ， 故 ， ∴x=±5。代入椭圆方程，得y ， ∴所求点M为（5，0）或（－5，0） 9. 解：设 ， ， 则 ， EMBED Equation.2 ， 令 ， _1356069636.unknown _1356069701.unknown _1356069733.unknown _1356069750.unknown _1356069766.unknown _1356069782.unknown _1356069790.unknown _1356069794.unknown _1356069796.unknown _1356069798.unknown _1356069799.unknown _1356069800.unknown _1356069797.unknown _1356069795.unknown _1356069792.unknown _1356069793.unknown _1356069791.unknown _1356069786.unknown _1356069788.unknown _1356069789.unknown _1356069787.unknown _1356069784.unknown _1356069785.unknown _1356069783.unknown _1356069774.unknown _1356069778.unknown _1356069780.unknown _1356069781.unknown _1356069779.unknown _1356069776.unknown _1356069777.unknown _1356069775.unknown _1356069770.unknown _1356069772.unknown _1356069773.unknown _1356069771.unknown _1356069768.unknown _1356069769.unknown _1356069767.unknown _1356069758.unknown _1356069762.unknown _1356069764.unknown _1356069765.unknown _1356069763.unknown _1356069760.unknown _1356069761.unknown _1356069759.unknown _1356069754.unknown _1356069756.unknown _1356069757.unknown _1356069755.unknown _1356069752.unknown _1356069753.unknown _1356069751.unknown _1356069742.unknown _1356069746.unknown _1356069748.unknown _1356069749.unknown _1356069747.unknown _1356069744.unknown _1356069745.unknown _1356069743.unknown _1356069738.unknown _1356069741.unknown _1356069739.unknown _1356069736.unknown _1356069737.unknown _1356069734.unknown _1356069717.unknown _1356069725.unknown _1356069729.unknown _1356069731.unknown _1356069732.unknown _1356069730.unknown _1356069727.unknown _1356069728.unknown _1356069726.unknown _1356069721.unknown _1356069723.unknown _1356069724.unknown _1356069722.unknown _1356069719.unknown _1356069720.unknown _1356069718.unknown _1356069709.unknown _1356069713.unknown _1356069715.unknown _1356069716.unknown _1356069714.unknown _1356069711.unknown _1356069712.unknown _1356069710.unknown _1356069705.unknown _1356069707.unknown _1356069708.unknown _1356069706.unknown _1356069703.unknown _1356069704.unknown _1356069702.unknown _1356069669.unknown _1356069685.unknown _1356069693.unknown _1356069697.unknown _1356069699.unknown _1356069700.unknown _1356069698.unknown _1356069695.unknown _1356069696.unknown _1356069694.unknown _1356069689.unknown _1356069691.unknown _1356069692.unknown _1356069687.unknown _1356069688.unknown _1356069686.unknown _1356069677.unknown _1356069681.unknown _1356069683.unknown _1356069684.unknown _1356069682.unknown _1356069679.unknown _1356069680.unknown _1356069678.unknown _1356069673.unknown _1356069675.unknown _1356069676.unknown _1356069674.unknown _1356069671.unknown _1356069672.unknown _1356069670.unknown _1356069652.unknown _1356069661.unknown _1356069665.unknown _1356069667.unknown _1356069668.unknown _1356069666.unknown _1356069663.unknown _1356069664.unknown _1356069662.unknown _1356069657.unknown _1356069659.unknown _1356069660.unknown _1356069658.unknown _1356069654.unknown _1356069655.unknown _1356069653.unknown _1356069644.unknown _1356069648.unknown _1356069650.unknown _1356069651.unknown _1356069649.unknown _1356069646.unknown _1356069647.unknown _1356069640.unknown _1356069642.unknown _1356069643.unknown _1356069641.unknown _1356069638.unknown _1356069639.unknown _1356069637.unknown _1356069604.unknown _1356069620.unknown _1356069628.unknown _1356069632.unknown _1356069634.unknown _1356069635.unknown _1356069633.unknown _1356069630.unknown _1356069631.unknown _1356069629.unknown _1356069624.unknown _1356069626.unknown _1356069627.unknown _1356069625.unknown _1356069622.unknown _1356069623.unknown _1356069621.unknown _1356069612.unknown _1356069616.unknown _1356069618.unknown _1356069619.unknown _1356069617.unknown _1356069614.unknown _1356069615.unknown _1356069613.unknown _1356069608.unknown _1356069610.unknown _1356069611.unknown _1356069609.unknown _1356069606.unknown _1356069607.unknown _1356069605.unknown _1356069588.unknown _1356069596.unknown _1356069602.unknown _1356069603.unknown _1356069601.unknown _1356069598.unknown _1356069599.unknown _1356069597.unknown _1356069592.unknown _1356069594.unknown _1356069595.unknown _1356069590.unknown _1356069591.unknown _1356069584.unknown _1356069587.unknown _1356069585.doc 名称 方程 参数几何意义 直线 定点， ，P（x，y）动点 圆 A（a，b）圆心，r半径， P（x，y）动点， 旋转角 椭圆 a长半轴长，b短半轴长 一般地， _1163484982.unknown _1163484984.unknown _1163484986.unknown _1163502096.unknown _1163502109.unknown _1163484985.unknown _1163484983.unknown _1163484979.unknown _1163484980.unknown _1163484978.unknown _1356069582.unknown _1356069583.unknown _1356069581.unknown _1356069578.unknown _1356069579.unknown _1356069576.unknown _1356069573.unknown _1356069574.unknown _1356069572.unknown