第一章 集合与函数概念
第一讲
一、集合有关概念
1. 集合的含义
集合的含义：一般的，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）。
所谓的元素就是组成每个集合中的个体，这些个体可以是有限个，也可以是无限个。所有的个体（即元素）合并在一起就构成了一个集合。
2. 元素与集合间的
表
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示
我们通常用大写的拉丁字母A、B、C，……表示集合，用小写字母a，b，c，……表示集合中的元素。如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A。
3. 集合的中元素的三个特性：
(1) 元素的确定性。如：世界最高的山。
(2) 元素的互异性。如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3) 元素的无序性。如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
4.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}
(1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
(2) 集合的表示方法：列举法与描述法。
◆ 注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N
正整数集 记作：N*或 N+
整数集 记作：Z
有理数集 记作：Q
实数集 记作：R
1） 列举法：{a,b,c……}（注：只能用于有限个元素的集合。）
2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内。
3） 表示集合的方法。{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2}
4） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
5） Venn图:
5、集合的分类：
(1) 有限集 含有有限个元素的集合
(2) 无限集 含有无限个元素的集合
(3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝
课堂训练
1．不能形成集合的是 【 】
A．所有直角三角形 B．
轴附近的所有点
C．抛物线
上的所有点 D．不等式
的所有解
2．集合
表示 【 】
A．第一象限内的点 B．第三象限内的点
C．第一、三象限内的点 D．不在第二、四象限内的点
3．用适当的符号填空：已知
，
，
则有： 17 A； －5 A； 17 B.
4．已知
，代数式
的值的集合
= 。
5．试分别用列举法和描述法表示下列集合：
（1）由方程
的所有实数根组成的集合；
（2）大于2且小于7的整数.
【想想】
【例1】试选择适当的方法表示下列集合：
（1）一次函数
与
的图象的交点组成的集合；
（2）二次函数
的函数值组成的集合；
（3）反比例函数
的自变量的值组成的集合.
【例2】已知
，用列举法表示A
【例3】已知
，若
，求实数a的取值范围。
【例4】已知
，若
，求
与
的值及集合A
【例5】* 已知集合
，试用列举法表示集合A．
【练练】
1．已知集合
，则M是 【 】
A．
B．
C．
D．
2．给出下列集合：
①{(x，y)|x≠1，y≠1，x≠2，y≠-3}； ②
③
； ④{(x，y)|[(x-1)2+(y-1)2]·[(x-2)2+(y+3)2]≠0}．
其中不能表示“在直角坐标系xOy平面内，除去点（1，1），（2，-3）之外的所有点的集合”的序号有 .
3．若数集
有意义，求实数
的取值范围。
三、巩固练习
1．以下元素的全体不能够构成集合的是 【 】
A. 中国古代四大发明 B. 地球上的小河流
C. 方程
的实数解 D. 周长为10cm的三角形
2．方程组
的解集是 【 】
A .
B.
C.
D.
3．给出下列关系：①
； ②
；③
；④
. 其中正确的个数是【 】
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4．有下列说法：（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1,2,3组成的集合可表示为
或{3，2，1}；（3）方程
的所有解的集合可表示为{1，1，2}；（4）集合
是有限集. 其中正确的说法是 【 】
A. 只有（1）和（4） B. 只有（2）和（3）
C. 只有（2） D. 以上四种说法都不对
5．下列各组中的两个集合M和N, 表示同一集合的是 【 】
A.
,
B.
,
C.
,
D.
,
6．已知实数
，集合
，则
与
的关系是 。
7．已知
，则集合
中元素x所应满足的条件为 。
8．试选择适当的方法表示下列集合：
（1）二次函数
的函数值组成的集合；
（2）函数
的自变量的值组成的集合。
9．已知集合
，试用列举法表示集合A.
第一章 集合与函数概念
第二讲
集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作：
（或BA），读作：“A含于B”（或B包含A）。
注意：
有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
B或B
A
2.“相等”关系：
如果集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作：A=B 。
实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即：① 任何一个集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果AB,且A B那就说集合A是集合B的真子集，记作A
B(或B
A)
③如果 AB, BC ,那么 AC
④ 如果AB 同时 BA 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ
规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
◆ 有n个元素的集合，含有2n个子集，2n -1个真子集。
课堂训练
1．已知集合A={a，b，c},下列可以作为集合A的子集的是 【 】
（A ） a （B） {a，c} （C） {a，e} （D）{a，b，c，d}
2．下列与集合A={1，2}相等的是 【 】
（A）{1，2，3} （B）
（C）
（D）N
3．已知集合
，
，则 【 】
（A） M=N （B）
（C）
（D）M与N无包含关系
4．下列图形中，表示
的是 【 】
5．下列表述正确的是 【 】
（A）
（B）
（C）
（D）
6．.集合
，则 （ ）
A．
B．
C．
D．
7．用适当的符号填空：
（1）
；（2）{1，2，3} N；（3）{1}
；
（4）0
；（5）{菱形} {平行四边形}；{等腰三角形} {等边三角形}；
（6）
； 0 {0}；
{0}； N {0}.
【想想】
【例1】设集合
，则下列图形能表示A与B
关系的是 【 】
【例2】若集合
，且
，求实数
的值.
【例3】已知集合
，
， 若
，求实数
的值。
【例4】已知集合
，
，
，
若满足
，求实数a的取值范围．
【例5】*已知集合
，
.若
，求实数m的取值范围。
【练练】
1．下列各式中，M与N表示同一集合的是 【 】
A.
，
B.
，
C.
D.
2．已知集合
，
，若满足
，求实数a的取值范围．
3．设集合A={1，2，3，4}，
，若满足
，求实数a的值集合．
三、巩固练习
1．已知集合
, 则A与B之间最适合的关系是
A.
B.
C. A
B D. A
B 【 】
2．设集合
，
，若
，则
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
【 】
3．若
，则
的值为 【 】
A. 0 B. 1 C.
D. 2
4．已知集合M={x|x=
+
,k∈Z},N={x|x =
+
, k∈Z}. 若x0∈M，则x0与N的关系是
A. x0∈N B. x0
N C. x0∈N或x0
N D.不能确定 【 】
5．已知集合P={x|x2 =1}，集合Q={x|ax = 1}，若Q
P，那么
的值是 【 】
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0，1或－1
6．已知集合
，则集合A的真子集的个数是 。
7．当
时，a =________，b =_________。
8．已知A={2,3}，M ={2,5,
}，N ={1,3,
}，A
M ，且A
N ，
求实数
的值。
9．设集合
，
，若满足
，求实数
的取值范围。
第一章 集合与函数概念
第三讲
集合的运算（一）
集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
的训练，而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.
运算类型
交 集
并 集
补 集
定 义
由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A
B（读作‘A交B’），即A
B=｛x|x
A，且x
B｝．
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A
B（读作‘A并B’），即A
B ={x|x
A，或x
B})．
设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）
记作
，即
CSA=
韦
恩
图
示
课堂练习
1．设集合A={1，2，3，4，5}，集合B={1，3，5，7，9}，则
= 。
2．设集合A={a，b，c}，集合B={a，b，c，d，e}，则
= 。
3．设全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={1，3，4，5}，则
= 。
4．已知集合A={0，x}，集合B={1，2}，若
，则x = 【 】
（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 0或1或2
5．已知集合A={1，2，x}，集合B={2，4，5}，若
={1，2，3，4，5}，则x=【 】
（A） 1 （B） 3 （C） 4 （D） 5
6．已知集合
，那么集合
= 。
7．已知集合
，集合
，求
，
．
【想想】
【例1】已知集合
，集合B={1，3，5}，集合C={2，4，6，8}，求
，
，
，
．
【例2】已知集合
，集合
，集合
，求
，
，
．
【例3】设
，
，求：
（1）
； （2）
.
.
【例4】已知集合
，
，且
，求实数m的取值范围.
【例5】已知全集
，
，
，求
，
，
，
，并比较它们的关系。
【练练】
1．集合
，若
，则
的值是 【 】
A．0 B. 1 C. 2 D.
2．设
，
，则
是 【 】
A．
B．
C．
D．
3．已知集合
，集合
，若满足
，求实数a的值．
三、巩固练习
1．已知全集
,
，则
= 【 】
A.
B.
C.
D.
2．若
，则
【 】
A.
B.
C.
D.
3．右图中阴影部分表示的集合是 【 】
A.
B.
C.
D.
4．若
，则
【 】
A.
B.
C.
D.
5．设集合
,
，若
，则
的取值范围是【 】
A．
B．
C．
D．
6．设全集
，
，
,则
= .
7．设全集
，若
。
，
，
求集合A、B。
8．设
，
，
，求
，
。
第一章 集合与函数概念
第四讲
集合的运算（二）
一、基础知识概括
1. 含两个集合的Venn图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：
性
质
A
A=A
A
Φ=Φ
A
B=B
A
A
B
A
A
B
B
A
A=A
A
Φ=A
A
B=B
A
A
B
Ａ
A
B
B
(CuA)
(CuB)
= Cu (A
B)
(CuA)
(CuB)
= Cu(A
B)
A
(CuA)=U
A
(CuA)= Φ．
2. 集合元素个数公式：
.
3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维.
课堂练习
1．已知
，集合
，集合
，则 【 】
A．
B.
C.
D.
2．设全集
，集合
，
，则
是A和B的
A．交集 B．并集 C．交集的补集 D．并集的补集 【 】
3．设集合
，
，若
，则实数
的取值范围是 【 】
A．
B．
C．
D．
4．设全集
，集合
则
。
5．设集合
，若
成立，则实数
的取值范围是 。
6．若集合
，
，则
= 。
7．已知
，且
，
，求
、
、
的值。
【想想】
【例1】设集合
，若
，求实数
的值.
【例2】已知集合A={1，9，a}，集合
，问：是否存在实数a ，使
和
同时成立．
【例3】已知集合
，若
是二次方程
的两个实数根，集合
，满足
，
，求实数a，b的值．
【例4】设集合
，
，求
,
。
【例5】设集合A ={
|
}， B ={
|
，
}，若A
B=B，求实数
的值．
【练练】
1．集合
且
则满足条件的实数
的个数是 【 】
A.1 B.2 C.3 D.4
2．设全集
，
，
，求满足条件的实数
的值。
三、巩固练习
1．已知集合A =
, B =
, 则A与B的关系是 【 】
A. A = B B. A
B C. A
B D. A∪B =
2．已知
为非零实数, 代数式
的值所组成的集合为M, 则下列判断正确的是 【 】
A.
B.
C.
D.
3．已知
，
，
，则 【 】
A．
B.
C．
D.
4．定义集合A、B的一种运算：
，若
，
，则
中的所有元素数字之和为 【 】
A．9 B．14 C．18 D． 21
5．设全集U是实数集R，
与
都是U的子集
（如右图所示），则阴影部分所表示的集合为 【 】
A.
B.
C.
D.
6．已知集合
，
，且满足
，
则实数
的取值范围是 .
7．经统计知，某村有电话的家庭有35家，有农用三轮车的家庭
有65家，既有电话又有农用三轮车的家庭有20家，则电话
和农用三轮车至少有一种的家庭数为 。
8．已知集合
，
，且
，求
。
9．已知集合U=
，A={|
+1|，2}，
={
+3}，求实数
的值。
10．设
，
，若
，求
的取值范围。
例题：
1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ）
A某班所有高个子的学生 B著名的艺术家 C一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数
2.集合{a，b，c }的真子集共有 个
3.若集合M={y|y=x2-2x+1,x
R},N={x|x≥0}，则M与N的关系是 .
4.设集合A=
，B=
，若A
B，则
的取值范围是
5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，
两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人。
6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合M= .
7.已知集合A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值
二、函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．
注意：
1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：
(1)分式的分母不等于零；
(2)偶次方根的被开方数不小于零；
(3)对数式的真数必须大于零；
(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1.
(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.
(6)指数为零底不可以等于零，
(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
◆ 相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备)
(见课本21页相关例2)
2．值域 : 先考虑其定义域
(1)观察法
(2)配方法
(3)代换法
3. 函数图象知识归纳
(1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P(x，y)的集合C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象．C上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y)，均在C上 .
(2) 画法
A、 描点法：
B、 图象变换法
常用变换方法有三种
1) 平移变换
2) 伸缩变换
3) 对称变换
4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间
（2）无穷区间
（3）区间的数轴表示．
5．映射
一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A
B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f（对应关系）：A（原象）
B（象）”
对于映射f：A→B来说，则应满足：
(1)集合A中的每一个元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；
(2)集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；
(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。
6.分段函数
(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。
(2)各部分的自变量的取值情况．
(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集．
补充：复合函数
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为f、g的复合函数。
二．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1
1，且
∈
*．
◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作
。
当
是奇数时，
，当
是偶数时，
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
，
◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
（1）
·
；
（2）
；
（3）
．
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数
叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
2、指数函数的图象和性质
a>1
01
00，a
0，函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是 ( )
2.计算： ①
;②
= ；
= ;
③
=
3.函数y=log
(2x2-3x+1)的递减区间为
4.若函数
在区间
上的最大值是最小值的3倍，则a=
5.已知
，（1）求
的定义域（2）求使
的
的取值范围
第三章 函数的应用
一、方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数
，把使
成立的实数
叫做函数
的零点。
2、函数零点的意义：函数
的零点就是方程
实数根，亦即函数
的图象与
轴交点的横坐标。
即：方程
有实数根
函数
的图象与
轴有交点
函数
有零点．
3、函数零点的求法：
（代数法）求方程
的实数根；
（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数
的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数
．
（1）△＞０，方程
有两不等实根，二次函数的图象与
轴有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程
有两相等实根，二次函数的图象与
轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程
无实根，二次函数的图象与
轴无交点，二次函数无零点．
5.函数的模型
浙公网安备 33021202002483