空间向量与立体几何典型例题

空间向量与立体几何典型例题 一、选择题： 1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等， 在底面 内的射影为 的中心，则 与底面 所成角的正弦值等于（  C ） A．         B．         C．         D． 1.解：C．由题意知三棱锥 为正四面体，设棱长为 ，则 ，棱柱的高 （即点 到底面 的距离），故 与底面 所成角的正弦值为 . 另解：设 为空间向量的一组基底， 的两两间的夹角为 长度均为 ，平面 的法向量为 , 则 与底面 所成角的正弦值为 . 二、填空题： 1．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形 与正方形 有一公共边 ，二面角 的余弦值为 ， 分别是 的中点，则 所成角的余弦值等于    ． 1.答案： .设 ，作 ，则 ， 为二面角 的平面角 ，结合等边三角形 与正方形 可知此四棱锥为正四棱锥，则 , 故 所成角的余弦值 另解：以 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点 , , 则 , 故 所成角的余弦值 . 三、解答题： 1．（2008安徽文）如图，在四棱锥 中，底面 四边长为1的 菱形， , , , 为 的中点。 （Ⅰ）求异面直线AB与MD所成角的大小 ； （Ⅱ）求点B到平面OCD的距离。 1．方法一（综合法） （1） 为异面直线 与 所成的角（或其补角） 作 连接 ， 所以 与 所成角的大小为 （２） 点A和点B到平面OCD的距离相等， 连接OP,过点A作 于点Q， 又 , 线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离 ， ，所以点B到平面OCD的距离为 方法二(向量法)作 于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为 轴建立坐标系 , (1)设 与 所成的角为 , , 与 所成角的大小为 (2) 设平面OCD的法向量为 ,则 即 取 ,解得 设点B到平面OCD的距离为 ,则 为 在向量 上的投影的绝对值, , . 所以点B到平面OCD的距离为 2．（2008安徽理）如图，在四棱锥 中，底面 四边长为1的菱形， , , , 为 的中点， 为 的中点。 （Ⅰ） 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：直线 ； （Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小； （Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。 2． 方法一（综合法） （1）取OB中点E，连接ME，NE 又 （2） 为异面直线 与 所成的角（或其补角） 作 连接 ， 所以 与 所成角的大小为 （3） 点A和点B到平面OCD的距离相等，连接OP,过点A作 于点Q， 又 ,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离 ， ，所以点B到平面OCD的距离为 方法二(向量法) 作 于点P,如图,分别以AB,AP,AO所在直线为 轴建立坐标系 , (1) 设平面OCD的法向量为 ,则 即 取 ,解得 (2)设 与 所成的角为 , , 与 所成角的大小为 (3)设点B到平面OCD的交流为 ,则 为 在向量 上的投影的绝对值, 由 , 得 .所以点B到平面OCD的距离为 3．（2008北京文）如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC. （Ⅰ）求证：PC⊥AB； （Ⅱ）求二面角B-AP-C的大小. 3．解法一：（Ⅰ）取AB中点D，连结PD，CD. ∵AP=BP， ∴PD⊥AB. ∵AC=BC. ∴CD⊥AB. ∵PD∩CD＝D. ∴AB⊥平面PCD. ∵PC 平面PCD， ∴PC⊥AB. （Ⅱ）∵AC=BC,AP=BP, ∴△APC≌△BPC. 又PC⊥AC， ∴PC⊥BC. 又∠ACB＝90°，即AC⊥BC， 且AC∩PC=C， ∴AB＝BP， ∴BE⊥AP. ∵EC是BE在平面PAC内的射影， ∴CE⊥AP. ∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角. 在△BCE中，∠BCE=90°,BC=2,BE= ， ∴sin∠BEC= ∴二面角B-AP-C的大小为aresin 解法二： （Ⅰ）∵AC=BC,AP=BP, ∴△APC≌△BPC. 又PC⊥AC. ∴PC⊥BC. ∵AC∩BC=C, ∴PC⊥平面ABC. ∵AB 平面ABC， ∴PC⊥AB. (Ⅱ)如图，以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz. 则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）. 设P（0，0，t）, ∵｜PB｜=｜AB｜＝2 ， ∴t=2,P(0,0,2). 取AP中点E，连结BE，CE. ∵｜AC｜=｜PC｜,｜AB｜=｜BP｜, ∴CE⊥AP,BE⊥AP. ∴∠BEC是二面角B-AP-C的平面角. ∵E(0,1,1), ∴cos∠BEC= ∴二面角B-AP-C的大小为arccos 4．（2008北京理）如图，在三棱锥 中， ， ， ， ． （Ⅰ）求证： ； （Ⅱ）求二面角 的大小； （Ⅲ）求点 到平面 的距离． 4．解法一： （Ⅰ）取 中点 ，连结 ． ， ． ， ． ， 平面 ． 平面 ， ． （Ⅱ） ， ， ． 又 ， ． 又 ，即 ，且 ， 平面 ． 取 中点 ．连结 ． ， ． 是 在平面 内的射影， ． 是二面角 的平面角． 在 中， ， ， ， ． 二面角 的大小为 ． （Ⅲ）由（Ⅰ）知 平面 ， 平面 平面 ． 过 作 ，垂足为 ． 平面 平面 ， 平面 ． 的长即为点 到平面 的距离． 由（Ⅰ）知 ，又 ，且 ， 平面 ． 平面 ， ． 在 中， ， ， ．  ． 点 到平面 的距离为 ． 解法二： （Ⅰ） ， ， ． 又 ， ． ， 平面 ． 平面 ， ． （Ⅱ）如图，以 为原点建立空间直角坐标系 ． 则 ． 设 ． ， ， ． 取 中点 ，连结 ． ， ， ， ． 是二面角 的平面角． ， ， ， ． 二面角 的大小为 ． （Ⅲ） ， 在平面 内的射影为正 的中心 ，且 的长为点 到平面 的距离． 如（Ⅱ）建立空间直角坐标系 ． ， 点 的坐标为 ．  ． 点 到平面 的距离为 ． 5． (2008福建文)  如图，在四棱锥中，侧面PAD⊥底面ABCD,侧棱PA=PD= ,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥CD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点。（1）求证：PO⊥平面ABCD; （2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）求点A到平面PCD的距离 5.解：如图，A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1) 所以 所以异面直线所成的角的余弦值为： (2)设平面PCD的法向量为 ， ，所以  ； 令x=1,则y=z=1,所以 又 则，点A到平面PCD的距离为： 6．(2008福建理) 如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝ ，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,O为AD中点. （Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD； （Ⅱ）求异面直线PD与CD所成角的大小； （Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为 ？若存在，求出 　的值；若不存在，请说明理由. 6．本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分. 解法一： （Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD,O为AD中点，所以PO⊥AD, 又侧面PAD⊥底面ABCD,平面 平面ABCD=AD, 平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD. （Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC, 有OD∥BC且OD=BC,所以四边形OBCD是平行四边形， 所以OB∥DC. 由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角， 所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角. 因为AD=2AB=2BC=2,在Rt△AOB中，AB=1,AO=1, 所以OB＝ ， 在Rt△POA中，因为AP＝ ，AO＝1，所以OP＝1， 在Rt△PBO中，tan∠PBO＝ 所以异面直线PB与CD所成的角是 . （Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为 . 设QD＝x，则 ，由（Ⅱ）得CD=OB= ， 在Rt△POC中， 所以PC=CD=DP, 由Vp-DQC=VQ-PCD,得 2，所以存在点Q满足题意，此时 . 解法二： (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)以O为坐标原点， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0), P(0,0,1), 所以 所以异面直线PB与CD所成的角是arccos ， (Ⅲ)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为 ， 由(Ⅱ)知 设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0). 则 所以 即 ， 取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1). 设 由 ，得 解y=- 或y= (舍去)， 此时 ，所以存在点Q满足题意，此时 . 7、(2008海南、宁夏理)如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的对角线BD1上，∠PDA=60°。 （1）求DP与CC1所成角的大小；（2）求DP与平面AA1D1D所成角的大小。 7．解：如图，以 为原点， 为单位长建立空间直角坐标系 ． 则 ， ． 连结 ， ． 在平面 中，延长 交 于 ． 设 ， 由已知 ， 由 可得 ． 解得 ，所以 ． （Ⅰ）因为 ， 所以 ． 即 与 所成的角为 ． （Ⅱ）平面 的一个法向量是 ． 因为 ， 所以 ． 可得 与平面 所成的角为 ． 8. (2008湖北文)如图，在直三棱柱 中，平面 侧面 （Ⅰ）求证： （Ⅱ）若 ，直线AC与平面 所成的角为 ， 二面角 8.本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角、二面角等有关知识，考查空间想象能力和推理论证能力.（满分12分） (Ⅰ)证明：如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则 由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC∩侧面A1ABB1＝A1B， 得AD⊥平面 A1BC.又BC 平面A1BC 所以AD⊥BC. 因为三棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱, 则AA1⊥底面ABC,所以AA1⊥BC. 又AA1∩AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1, 又AB 侧面A1ABB1， 故AB⊥BC. (Ⅱ)证法1：连接CD,则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角，∠ABA1就是二面角A1－BC－A的颊角，即∠ACD＝θ，∠ABA1= . 于是在RtΔADC中，sinθ= ,在RtΔADA1中，sin∠AA1D＝ , ∴sinθ=sin∠AA1D,由于θ与∠AA1D都是锐角，所以θ＝∠AA1D. 又由RtΔA1AB知，∠AA1D＋ ＝∠AA1B＋ ＝ ，故θ＋ ＝ . 证法2：由(Ⅰ)知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.