专题08：解析几何

高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 高考资源网（ www.ks5u.com），您身边的高考专家 2012届高考数学二轮复习资料 专题八 解析几何（教师版） 【考纲解读】 1.掌握直线斜率与倾斜角、直线方程、两条直线平行垂直、距离等. 2.掌握确定圆的几何要素、圆的标准方程与一般方程、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系;初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 3.掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质;理解数形结合的思想;了解圆锥曲线的简单应用. 4.了解双曲线的定义、几何性质,掌握双曲线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单的问题. 5. 了解抛物线的定义、几何性质,掌握抛物线的标准方程,会利用定义、标准方程和几何性质解决一些简单的问题. 6.了解圆锥曲线的简单应用，理解直线与椭圆、直线与抛物线的位置关系. 【考点预测】 本章知识的高考命题热点有以下两个方面： 1.直线与圆是历年高考的重点考查内容，在客观题中出现，一般只有一个选择或填空，考查求圆的方程以及直线与圆的位置关系，难度较低；在解答题中出现，经常与圆锥曲线相结合。 2.圆锥曲线是高考的一个热点内容，多数考查圆锥曲线的定义、方程和性质。在客观题中主要考查离心率、渐近线、定义和方程等，所以要熟练它们基本量之间的关系，掌握它们之间转化的技巧与方法。解答题多对圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系（包括弦长、中点弦、曲线方程求法等）综合考查，多在与其它知识的交汇点处（如平面向量等）命题，组成探索性及综合性大题，考查学生分析问题、解决问题的能力，难度较大。 【要点梳理】 1.直线的倾斜角与斜率： ， . 2.直线方程的几种形式:经常用的有点斜式、斜截式、一般式、截距式，注意其各自的适应条件. 3.平行与垂直:掌握两直线平行与垂直的条件,同时要注意其各自的适应范围. 4.距离: 熟练点到直线的距离与两条件平行直线的距离公式. 5.熟记圆的标准方程与一般方程. 6.位置关系：点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系. 7.熟记椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程及几何性质. 8.熟练弦长公式、中点弦的求法(联立方程组与点差法). 【考点在线】 考点一 　两条直线的位置关系(平行与垂直) 例1.(2010年高考安徽卷文科4)过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行的直线方程是 （A）x-2y-1=0 (B)x-2y+1=0 (C)2x+y-2=0 （D）x+2y-1=0 【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】.A 【解析】设直线方程为 ，又经过 ，故 ，所求方程为 . 【名师点睛】本小题考查两直线平行关系及直线方程的求解.因为所求直线与与直线x-2y-2=0平行，所以设平行直线系方程为 ，代入此直线所过的点的坐标，得参数值，进而得直线方程.也可以用验证法，判断四个选项中方程哪一个过点（1，0）且与直线x-2y-2=0平行. 【备考提示】：两条直线的位置关系是高考考查的重点之一,熟练其基础知识是解答好本类题的关键. 练习1: （2011年高考浙江卷文科12)若直线与直线 与直线 互相垂直，则实数 =_______ 【答案】 【解析】 ，即 . 考点二 　圆的方程 例2.（2010年高考山东卷文科16） 已知圆C过点（1,0），且圆心在x轴的正半轴上，直 线l： 被该圆所截得的弦长为 ，则圆C的标准方程为 . 【答案】 【解析】由题意，设圆心坐标为 ，则由直线l： 被该圆所截得 的弦长为 得， ，解得 或-1，又因为圆心在x轴的正半轴上，所以 ，故圆心坐标为（3，0），又已知圆C过点（1,0），所以所求圆的半径为2，故圆C的标准方程为 。 A． B． w C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，圆心在y轴左侧，排除A、C 在，，故，选D. 考点三 　圆锥曲线的定义、方程、几何性质 例3. （2011年高考福建卷文科11)设圆锥曲线I’的两个焦点分别为F1，F2，若曲线I’上存在点P满足 ： ： = 4:3:2，则曲线I’的离心率等于 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由 ： ： = 4:3:2，可设 , , ,若圆锥曲线为椭圆,则 , , ;若圆锥曲线为双曲线,则 , , ,故选A. 【名师点睛】本题考查了圆锥曲线的定义、几何性质。 【备考提示】：圆锥曲线的定义、方程、几何性质是圆锥曲线的主要内容，是高考的热点，必须熟练掌握. 练习3: （2011年高考海南卷文科4)椭圆 的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为 ,所以离心率为 ,选D. 考点四 　直线与圆锥曲线的综合应用 例4. (2011年高考山东卷理科22)已知动直线 与椭圆C: 交于P 、Q 两不同点，且△OPQ的面积 = ,其中O为坐标原点. （Ⅰ）证明 和 均为定值; 又因为 所以 ② 由①、②得 此时 （2）当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 由题意知m ，将其代入 ，得 ， 其中 即 …………（*） 又 所以 因为点O到直线 的距离为 所以 又 整理得 且符合（*）式， 此时 综上所述， 结论成立。 （II）解法一： （1）当直线 的斜率存在时， 由（I）知 因此 （2）当直线 的斜率存在时，由（I）知 所以 即 当且仅当 时等号成立。 因此 |OM|·|PQ|的最大值为 （III）椭圆C上不存在三点D，E，G，使得 证明：假设存在 ， 由（I）得 因此D，E，G只能在 这四点中选取三个不同点， 而这三点的两两连线中必有一条过原点， 与 矛盾， 所以椭圆C上不存在满足条件的三点D，E，G. 【名师点睛】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,考查学生分类讨论等数学思想,考查学生分析问题、解决问题的能力。 【备考提示】：这类综合性问题，是高考中区分度比较大的题目，所以我们在二轮复习中，在务实基础知识的基础上，掌握弦长、中点弦等类型题的解法，适当做些题目以提高运算能力、逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力是根本所在。 练习3：（2010年高考天津卷文科21）已知椭圆 （a>b>0）的离心率e= ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）. （i）若 ，求直线l的倾斜角； （ii）若点Q 在线段AB的垂直平分线上，且 .求 的值. 【解析】（Ⅰ）解：由e= ，得 .再由 ，解得a=2b. 由题意可知 ，即ab=2. 解方程组 得a=2，b=1，所以椭圆的方程为 . (Ⅱ)(i)解：由（Ⅰ）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为 ，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）. 于是A、B两点的坐标满足方程组 消去y并整理，得 . 由 ，得 .从而 . 所以 . （2）当 时，线段AB的垂直平分线方程为 。 令 ，解得 。 由 ， ， ， 整理得 。故 。所以 。 综上， 或 。 【易错专区】 问题：圆锥曲线的性质 例. （2010年高考福建卷文科11）若点O和点F分别为椭圆 的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则 的最大值为（ ） A.2 B.3 C.6 D.8 【答案】C 【解析】由题意，F（-1，0），设点P ，则有 ,解得 ， 因为 ， ，所以 = EMBED Equation.DSMT4 = ，此二次 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 对应的抛物线的对称轴为 ，因为 ，所以当 时， 取得最大值 ，选C。 【名师点睛】本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力，本题容易忽视椭圆的范围而错选。 【备考提示】：要在高考中立于不败之地，必须熟练掌握圆锥曲线的基础知识。 【考题回放】 1. (2011年高考安徽卷文科4)若直线 过圆 的圆心,则a的值为（ ） （A） 1 (B) 1 (C) 3 (D) 3 【答案】B 【解析】圆的方程 可变形为 ，所以圆心为 （－1,2），代入直线 得 . 2．(2011年高考广东卷文科8)设圆C与圆 外切，与直线 QUOTE 相切．则C的圆心轨迹为（ ） A． 抛物线 B． 双曲线 C． 椭圆 D． 圆 【答案】A 【解析】设圆C圆心C ，半径为R,A(0,3),点C到直线y=0的距离为|CB|，由题得 ,所以圆C的圆心C轨迹是抛物线，所以选A. 【解析】设和两坐标轴相切圆的方程为： ，将 带入方程整理得： ， EMBED Equation.DSMT4 5．(2011年高考江西卷理科9)若曲线 ： 与曲线 ： 有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ） A．( ， ) B．( ，0)∪(0， ) c．[ ， ] D．( ， )∪( ，+ ) 【答案】B 【解析】因为直线y=0与曲线 有两个不同的交点,要使曲线 和曲线 有四个不同的交点,只须直线 与曲线 ： 有两个不同的交点即可,而曲线 是一个圆,所以圆心(1,0)到直线 的距离为 ,解得 且 ,故选B. 6.(2011年高考重庆卷理科8)在圆 内，过点 的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】由题意，AC为直径，设圆心为F，则 ,圆的标准方程为 ，故 ，由此，易得： ，又 ，所以直线BD的方程为 ，F到BD的距离为 ，由此得， 所以四边形ABCD的面积为 。 7. （2011年高考海南卷文科9)已知直线 过抛物线C的焦点,且与C的对称轴垂直, 与C交于A,B两点,|AB|=12,P为C的准线上一点,则 的面积为( ) A.18 B.24 C.36 D.48 【答案】C 【解析】因为AB过抛物线的焦点且与对称轴垂直,所以线段AB是抛物线的通径,长为 ,所以 ,又点P到AB的距离为焦参数 ,所以 的面积为 ,故选C. 8. （2011年高考山东卷文科9)设M( ， )为抛物线C： 上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、 为半径的圆和抛物线C的准线相交，则 的取值范围是( ) (A)(0，2) (B)[0，2] (C)(2，+∞) (D)[2，+∞) 【答案】C 【解析】设圆的半径为r,因为F(0,2)是圆心, 抛物线C的准线方程为 ,由圆与准线相切知40,因为直线OD的方程为 ,所以由 得交点G的纵坐标为 ,又因为 , ,且 ∙ ，所以 ,又由（Ⅰ）知: ,所以解得 ,所以直线 的方程为 ,即有 ,令 得,y=0,与实数k无关,所以直线 过定点(-1,0). （ii）假设点 ， 关于 轴对称,则有 的外接圆的圆心在x轴上,又在线段AB的中垂线上, 由（i）知点G( EMBED Equation.DSMT4 ,所以点B( EMBED Equation.DSMT4 ,又因为直线 过定点(-1,0),所以直线 的斜率为 ，又因为 ，所以解得 或6，又因为 ,所以 舍去,即 ，此时k=1，m=1，E EMBED Equation.DSMT4 ，AB的中垂线为2x+2y+1=0，圆心坐标为 ，G( EMBED Equation.DSMT4 ,圆半径为 ，圆的方程为 .综上所述, 点 ， 关于 轴对称,此时 的外接圆的方程为 . 16.(2011年高考辽宁卷理科20)如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D. （I）设 ，求 与 的比值； （II）当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由 【解析】（I）因为C1，C2的离心率相同，故依题意可设 . 设直线 分别和C1，C2联立，求得 . 当 时， ，分别用yA，yB表示A、B的纵坐标，可知 |BC|:AD|= （II）t=0时的l不符合题意，t≠0时，BO//AN当且仅当BO的斜率kBO与AN的斜率kAN相等，即 ，解得 . 因为 ，又 ，所以 ，解得 . 所以当 时，不存在直线l，使得BO//AN；当 时，存在直线l使得BO//AN. 【高考冲策演练】 一、选择题： 1. (2011年高考安徽卷文科3) 双曲线 的实轴长是（ ） （A）2 (B) (C) 4 (D) 4 【答案】C 【解析】 可变形为 ，则 ， ， .故选C. 2. （2011年高考陕西卷文科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为 ，则抛物线的方程是（ ） （A） （B） (C) (D) 【答案】C 【解析】：设抛物线方程为 ，则准线方程为 于是 EMBED Equation.DSMT4 故选C 3．（2011年高考湖南卷文科6)设双曲线的渐近线方程为则的值为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解析】由双曲线方程可知渐近线方程为，故可知。 4．（2010年高考山东卷文科9）已知抛物线 ，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线与 、 两点，若线段 的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为（ ） （A） (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】设 、 则有 ， ，两式相减得： ，又因为直线的斜率为1，所以 ，所以有 ，又线段 的中点的纵坐标为2，即 ，所以 ，所以抛物线两个不同的公共点，则实数 的取值范围为（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】 化为普通方程 ，表示圆， 因为直线与圆有两个不同的交点，所以 解得 法2：利用数形结合进行分析得 同理分析，可知 7．（2010年高考陕西卷文科9）已知抛物线y2＝2px（p>0）的准线与圆（x－3）2＋y2＝16相切，则p的值为（ ） （A） （B）1 （C）2 （D）4 【答案】C 【解析】由题设知，直线 与圆 相切，从而 .故选 . 8．（2010年高考湖北卷文科9）若直线 与曲线 有公共点，则b的取值范围是（ ） A.[ , ] B.[ ,3] C.[-1, ] D.[ ,3] 【答案】D 【解析】曲线方程可化简为 ，即表示圆心为（2， 3）半径为2的半圆，依据数形结合，当直线 与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x+b距离等于2，解得 ，因为是下半圆故可得 （舍），当直线过（0，3）时，解得b=3,故 所以C正确. 9．（2010年高考辽宁卷文科7）设抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为抛物线上一点， ， 为垂足，如果直线 斜率为 ，那么 （ ） （A） （B） 8 （C） （D） 16 【答案】B 【解析】利用抛物线定义，易证 为正三角形，则 10．（2010年高考辽宁卷文科9）设双曲线的一个焦点为 ，虚轴的一个端点为 ,如果直线 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】不妨设双曲线的焦点在 轴上，设其方程为： ， 则一个焦点为 ，一条渐近线斜率为： ，直线 的斜率为： ， ， ， ，解得 . 11. (2010年高考宁夏卷文科5)中心在远点，焦点在 轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】D 【解析】易知一条渐近线的斜率为 ，故 ． 12．（2010年高考广东卷文科7）若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 二．填空题： 13．（2011年高考重庆卷文科13)过原点的直线与圆 相交所得弦的长为2，则该直线的方程为 【答案】 14.(2011年高考重庆卷理科15)设圆 位于抛物线 与直线 所组成的封闭区域（包含边界）内，则圆 的半径能取到的最大值为 【答案】 【解析】为使圆 的半径取到最大值，显然圆心应该在x轴上且与直线 相切，设圆 的半径为 ，则圆 的方程为 ，将其与 联立得： ，令 ，并由 ，得： 15. （2011年高考山东卷文科15)已知双曲线 和椭圆 有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 . 【答案】 【解析】由题意知双曲线的焦点为(- ,0)、( ,0),即c= ,又因为双曲线的离心率为 ,所以 ,故 ,双曲线的方程为 . 16. （2011年高考江西卷文科12)若双曲线 的离心率e=2，则m=_​​___. 【答案】48 【解析】根据双曲线方程： 知， ，并在双曲线中有： ， 离心率e= =2 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT = EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT m=48. 三．解答题： 17．(2011年高考安徽卷文科17) 设直线 （I）证明 与 相交； （II）证明 与 的交点在椭圆 上. 【解析】（1）（反证法）假设 与 不相交，则 与 必平行， 代入 得 ，与 是实数相矛盾。从而 ，即 与 相交。 （2）（方法一）由 得交点p的坐标（x,y）为 , 而 所以 与 的交点p的（x,y）在椭圆 上。 18. （2011年高考福建卷文科18)如图，直线l ：y=x+b与抛物线C ：x2=4y相切于点A。 （1） 求实数b的值； （11） 求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程. 【解析】（I）由 得 ( ) 因为直线 与抛物线C相切,所以 ,解得 . （II）由（I）可知 ,故方程( )即为 ,解得 ,将其代入 ,得y=1,故点A(2,1). 因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆心A到抛物线C的准线y=-1的距离等于圆A的半径r, 即r=|1-(-1)|=2,所以圆A的方程为 . 19. （2011年高考全国新课标卷文科20)在平面直角坐标系中，曲线 坐标轴的交点都在圆C上， （1）求圆C的方程； （2）如果圆C与直线 交于A,B两点，且 ，求 的值。 【解析】（Ⅰ） 曲线 因而圆心坐标为 则有 半径为 ，所以圆方程是 （Ⅱ）设点 满足 解得： 20. （2011年高考陕西卷文科17)设椭圆C: 过点（0，4），离心率为 （Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为 的直线被C所截线段的中点坐标 【解析】（Ⅰ）将（0，4）代入C的方程得  ∴b=4又 得 即 ，  ∴  ∴C的方程为 （ Ⅱ）过点 且斜率为 的直线方程为 ， 设直线与Ｃ的交点为Ａ ，Ｂ ，将直线方程 代入Ｃ的方程， 得 ，即 ，解得 ， ， AB的中点坐标 ， ，即中点为 。 注：用韦达定理正确求得结果，同样给分。 21. （2011年高考四川卷文科21)过点的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点 、，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点. （I）当直线过椭圆右焦点时，求线段的长； （Ⅱ）当点P异于点B时，求证：为定值. 【解析】（I）因为椭圆过C(1,0)，所以b=1.因为椭圆的离心率是 ，所以 ，故 ，椭圆方程为 . 当直线 过椭圆右焦点时，直线 的方程为 ，由 得 或 则 ,故 EMBED Equation.DSMT4 . （Ⅱ）直线CA的方程为 ①.设点P ，则直线AP的方程为 ②. 把②代入椭圆方程，得 ，从而可求 . 因为B(-2,0),所以直线BD的方程为 ③， 由①③可得 ，从而求得 . ， 所以 为定值. 22.（2011年高考全国卷文科22) 已知O为坐标原点，F为椭圆 在y轴正半轴上的焦点，过F且斜率为 的直线 与C交与A、B两点，点P满足 (Ⅰ)证明：点P在C上； （Ⅱ）设点P关于点O的对称点为Q，证明：A、P、B、Q四点在同一圆上. 【解析】(Ⅰ)证明：由 ， ， 由 设 ， ， 故点P在C上 （Ⅱ）法一：点P ， P关于点O的对称点为Q， ， ，即 ，同理 即 ， A、P、B、Q四点在同一圆上. 法二：由已知有 则 的中垂线为： 设 、 的中点为 ∴ ∴ 则 的中垂线为： 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com 欢迎广大教师踊跃来稿，稿酬丰厚。 www.ks5u.com _1337674907.unknown _1369037183.unknown _1369392057.unknown _1369392478.unknown 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