福建省福州市2013届高三上学期期末质检数学文试题

福建省福州市2013届高三上学期期末质量检查 数学（文）试题 （满分：150分；完卷时间：120分钟） 参考公式： 用最小二乘法求线性回归方程系数公式 第Ⅰ卷（选择题共50分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的．把正确选项涂在答题卡的相应位置上．） 1． 是虚数单位，复数 在复平面上的对应点所在 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第三象限 2．如图设全集U为整数集，集合 则下图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为 A．3 B．4 C．7 D．8 3．设命题p：函数 的最小正周期为 ，命题q：函数 的图象关于直线 对称，则下列判断正确的是 A．p为真 B． 为真 C． 为真 D． 为真 4．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表： x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为 ，据此模型来预测当x= 20时，y的估计值为 A． 210 B．210．5 C．211．5 D．212．5 5．“ ∥ ”是“存在唯一实数 ，使得 = EMBED Equation.DSMT4 ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．函数 的大致图象是 7．△ABC中，若sinB既是sinA，sinC的等差中项，又是sinA，sinC的等比中项，则∠B的大小是 A． B． C． D． 8．在区间[0， ]上随机取一个数x，则事件“ ”发生的概率为 A． B． C． D． 9．若运行如右图所示的程序，则输出S的值是 A． B． C． D． 10．已知函数 半个周期内的图象如图所示，则函数 的解析式为 A． B． C． D． 11．若点A（m、n）在第一象限，且在直线 上，则 的最小值为 A． B． C．4 D．5 12．能够把圆O：x2 +y2= 16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是 A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题共100分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上。） 13．以椭圆 的右焦点为焦点，且顶点在原点的抛物线标准议程为 。 14．若函数 ，则函数 的零点为 。 15．已知O是坐标原点，点M的坐标为（2，1），若点N（x，y）为平面区域 上的一个动点，则 · 的最大值是 。 16．已知点 是函数 的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论 成立．运用类比思想方法可知，若点A（x1，sinxl）、B（x2，sinx2）是函数y=sinx（z∈（0， ））的图象上的不同两点，则类似地有____成立． 三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程） 17．（本小题满分12分） 已知数列 （I）证明：数列 是等比数列； （Ⅱ）求数列 的前n项和． 18（本小题满分12分） 已知函数 · （其中 >o），且函数 的最小正周期为 （I）求 的值； （Ⅱ）将函数y= f（x）的图象向右平移 单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的 倍（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象．求函数g（x）的单调区间． 19．（本小题满分12分） 某学校为促进学生的全面发展，积极开展丰富多样的社团活动，根据调查，学校在传统民族文化的继承方面开设了“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团，三个社团参加的人数如下表示所示： 社团 泥塑 剪纸 年画 人数 320 240 200 为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，已知从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人． （I）求三个社团分别抽取了多少同学； （Ⅱ）若从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“剪纸”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率． 20．（本小题满分12分） 没椭圆 的左、右焦点分别F1、F2，点P是椭圆短轴的一个端点，且焦距为6，△P F1F2的周长为16． （I）求椭圆C的方程； （Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为 的直线 被椭圆C所截线段的中点坐标。 21．（本小题满分14分） 如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC， 其中OAE是一个游泳池， 计划 项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载 在地块OABC内修一条与池边AE相 切的直路 （宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分．现以点 O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， 若池边AE满足函数 的图象，且点M到边 OA距离为 ． （I）当 时，求直路 所在的直线方程； （Ⅱ）当t为何值时，地块OABC在直路 不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？ 22．（本小题满分14分） 已知函数 · 的图象过点（1，0） （I）求 的解析式； （Ⅱ）若 为实数）恒成立，求 的取值范围； （Ⅲ）当 时，讨论 在区间（0，2）上极值点的个数。 福州市2012—2013学年第一学期高三期末质量检查 数学（文科）试卷参考答案及评分意见 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．） 1.D 2.A 3.D 4.C 5.B 6.C 7.C 8.B 9.C 10.A 11.D 12.D 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．） 13． 14． 1或0 15．3 16． 三、解答题（本大题共6小题，共74分.） 17．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因点 在直线 的图象上， ， 令 ，故只需证 是等比数列， 2分 ， ， 4分 数列 是以 为首项，3为公比的等比数列. 即数列 是以 为首项，3为公比的等比数列. 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，数列 是以 为首项，3为公比的等比数列， ∴ ， 8分 EMBED Equation.3 9分 所以数列 的前n项和 10分 . 12分 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）因为 ， 2分 因为 ，函数 周期为 3分 所以 ，所以 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 . 将函数 的图象向左平移 个单位后得到函数 的图象，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的 倍，纵坐标不变，得到函数 . 8分 由 ， ；得 EMBED Equation.DSMT4 由 ；得 EMBED Equation.DSMT4 故函数 的增区间为[ ] ; 减区间为[ ]， . 12分 19．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设抽样比为 ，则由分层抽样可知，“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团抽取的人数分别为 ． 1分 则由题意得 ，解得 ． 2分 故“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团抽取的人数分别为 EMBED Equation.3 ， ， ． 4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，从“剪纸”社团抽取的同学为6人，其中2位女生记为A，B，4位男生记为C，D，E，F． 6分 则从这6位同学中任选2人，不同的结果有 {A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}， {B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}， {C，D}，{C，E}，{C，F}， {D，E}，{D，F}， {E，F}， 共15种． 8分 其中含有1名女生的选法为 {A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}， {B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}， 共8种； 10分 含有2名女生的选法只有{A，B}1种． 故至少有1名女同学被选中的概率为 = ． 12分 20．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）设椭圆的半焦距为 ，则由题设得 ，解得 ，所以 ，故所求 的方程为 . 6分 （Ⅱ）解法一、过点 且斜率为 的直线方程为 ，……………………… 8分 将之代入 的方程，得 ，即 . 9分 因为 在椭圆内，所以直线 与椭圆有两个交点 ， 10分 因为 ，所以线段 中点的横坐标为 ， 纵坐标为 . 11分 故所求线段的中点坐标为 . 12分 解法二、过点 且斜率为 的直线 的方程为 ， 8分 因为 在椭圆内，所以直线 与椭圆有两个交点， 设两交点的坐标分别为 ，中点M的坐标为 则有 9分 由（1）-（2）得， 即 得 ，又 ， 11分 所以 故所求线段的中点坐标为 . 12分 21．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）∵ ，∴ ， ∴过点M 的切线的斜率为 , 2分 所以过点M的切线方程为 ，即 ； 当 时，切线 的方程为 ……………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，切线 的方程为： ， 令 ，得 ．故切线 与线段AB交点为F ，…………5分 令 ，得 ．故切线 与线段BC交点为G ……………………6分 地块OABC在切线 右上部分的区域为一三角形 ，设其面积为 ， ∴ ， 8分 10分 ∵ ∴当 时 为单调递增函数；当 时 为单调递减函数， ∴当 时， 的最大值为 ． 11分 ∴当点M到边OA距离为 m时， 地块OABC在直路 不含游泳池那侧的面积取到最大，最大值为 m2． 12分 22.（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）函数 的图象过定点（1，0），……………………………………1分 把点（1，0）代入 得 ， 所以 ，…………………………………………………………………………………2分 （Ⅱ） 恒成立， 即 恒成立，得 ，因为 ， 所以 ， 3分 令 ， 4分 当 时， ，所以 在 为减函数； 5分 当 时， ，所以 在 为增函数； 6分 的最小值为 ，故 ； 7分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知， ，所以 所以 又，由得，，． 9分 （1）当时，得，，在（0，2）为增函数，无极值点； 10分 （2）当且时，得且，根据 的变化情况检验，可知有2个极值点； 12分 （3）当或时，得或时，根据 的变化情况检验，可知有1个极值点； 13分 综上，当时，函数在（0，2）无极值点；当或时，有1个极值点；当且时，有2个极值点． 14分 y A O � B x C