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, 斯 短
2000年 第 1l期 数学通报
一
圆锥 曲线 的一类定 值 问题
奖友年 哺 E省公安县第 一中学 4 3o0
荆州市 1999届高中毕业班质量检查(Il1)的
理科压轴题是这样的一道解析几何题 :
巳知 抛 物线 方
程为 一 2【y-一
h).P(2,4)在抛物线
上,M,Ⅳ在 轴 七,
PM 交 抛物线 于 A,
NP的延长线交抛物
线 于 B,△ ,j吖Ⅳ 中,
I PM l:l l,设
J
/勺l O \ Ⅳ、
盯 的坐标 为(n,0),(1)求抛物线方程,并用含 a
的式子表示直线 删 的斜率 ;(2)求直线 加 的斜
率;(3)求 AB的纵截距大于零时 ,△ 面积的最
大值.
本题中第(2)问所得结果是 =2.实际上
仅与点P(2,4)的坐标有关 .而与点 盯、 的位
置无关 .一般地有以下命题
命题 1 已知抛物线 =一2p(v—b),点
P( , )在抛物线上 ,过 P作倾斜角互补 的两条
直线 , ,分别与抛物线交于异于 P的点 和
口,则直线 /1B的斜率为定值.
证 ___4( 1),B( 2、y2), (XI≠ X2),
P( 0,Y0)郜在抛物线 =一2p( 一b)上,其坐
标均满足方程 ,
-
: 篙 : :一
同理 :一兰 , = 一 兰 .
.
’ = , —
!
:
坦
,
= 一 2xo,~ =一 = Xo为定值 、
命题2 已知椭圆 x-+E :1 L,qk,P(X0,
0‘ 6
Y0),过 P作倾斜角互补的两条直线 , ,分别
与椭圆交于异于 P的点A和B,则直线 AB的斜率
为定值 .
0|6z {
证 设直线 的方程为 = ( 一XO)+
Y0.(其中 ≠ O).
2n (yc1 kxnj
n + 6
— 2a +(a2 b )XO
一 ’ ——— ■ ’
-
.
- 直线 PA、PB的倾斜角互补
.
-
. 直线 PB斜率为 一 ,Hj— 换 便 叮得点
B的横坐标 :2a'-k)-n
.. + :
一
—
, 从而得 ’。。 —
+
厂 ⋯
YA+YS=[k(x 0)+ (I
+[一 ( 一 0)+ ]
~ ⋯ 二 ,
由 +嚣=l, xk+嚣=1,两式十H减得
‰ = =一 2 ;= ,
故直线 AB的斜率为定值 : bZ xo
.
命题3 已知双曲线≤ 一 :1上的一点
Ⅱ O—
P( o,y0),过 P作倾斜角互 补的 两条直线 、
PB,分别与双曲线交于异于 P的点A和B.求证直
线 AB的斜率为定值 .
仿命题 2证法,可得定值 一 鱼
Ⅱ 一vn
注 实际 有一个极好的方法,用 一6 换 b
代人椭圆中的结沦,即可得双曲线中这一结论.
h
+
一
+
一
程
疗 +
圆
椭 勒 丘
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