导数常见高考题型

导数常见 高考 地理事物空间分布特征语文高考下定义高考日语答题卡模板高考688高频词汇高考文言文120个实词 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 型 典例剖析 例1 ：已知实数a满足1＜a≤2，设函数f (x)＝ x3－ x2＋ax． (Ⅰ) 当a＝2时，求f (x)的极小值； (Ⅱ) 若函数g(x)＝4x3＋3bx2－6(b＋2)x (b∈R) 的极小值点与f (x)的极小值点相同， 求证：g(x)的极大值小于等于10． (Ⅰ)解：当a＝2时，f ′(x)＝x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)． 列表如下： x (－ ，1) 1 (1，2) 2 (2，＋ ) f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增             所以，f (x)的极小值为f (2)＝ ．…………………………………6分 (Ⅱ) 解：f ′(x)＝x2－(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)． 由于a＞1， 所以f (x)的极小值点x＝a，则g(x)的极小值点也为x＝a． 而g ′ (x)＝12x2＋6bx－6(b＋2)＝6(x－1)(2x＋b＋2)， 所以 ， 即b＝－2(a＋1)． 又因为1＜a≤2， 所以  g(x)极大值＝g(1) ＝4＋3b－6(b＋2) ＝－3b－8 ＝6a－2 ≤10． 故g(x)的极大值小于等于10 例2、已知函数 ． （Ⅰ）求函数 的单调区间； （Ⅱ）若函数 的图像在点 处的切线的倾斜角为 ，问： 在什么范围取值时，对于任意的 ，函数 在区间 上总存在极值？ （Ⅲ）当 时，设函数 ，若在区间 上至少存在 一个 ，使得 成立，试求实数 的取值范围． 解：（Ι）由 知： 当 时，函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 ； 当 时，函数 的单调增区间是 ，单调减区间是 ； （Ⅱ）由 ,∴ ， .  故 ， ∴ ,∵ 函数 在区间 上总存在极值， ∴ 有两个不等实根且至少有一个在区间 内 又∵函数 是开口向上的二次函数，且 ，∴ 由 ，∵ 在 上单调递减，所以 ；∴ ，由 ，解得 ； 综上得： 所以当 在 内取值时，对于任意的 ，函数 在区间 上总存在极值。 （Ⅲ） 令 ，则 . ①当 时，由 得 ，从而 , 所以，在 上不存在 使得 ； ②当 时， , ， 在 上 恒成立，故 在 上单调递增。   故只要 ，解得 综上所述， 的取值范围是 例3 已知函数 （ 且 ）． (Ⅰ)试就实数 的不同取值，写出该函数的单调递增区间； (Ⅱ)已知当 时，函数在 上单调递减，在 上单调递增，求 的值并写出函数 的解析式； (Ⅲ)记(Ⅱ)中的函数 的图像为曲线 ，试问是否存在经过原点的直线 ，使得 为曲线 的对称轴？若存在，求出 的方程；若不存在，请说明理由． 解：(Ⅰ) 由题设知： ． ①当 时，函数 的单调递增区间为 及 ； ②当 时，函数 的单调递增区间为 及 ； ③当 时，函数 的单调递增区间为 及 ．…6分  (Ⅱ)由题设及(Ⅰ)中③知 且 ，解得 ，                ……8分 因此，函数解析式为 ．                        (Ⅲ)假设存在经过原点的直线 为曲线 的对称轴，显然 、 轴不是曲线 的对称轴，故可设 ： （ ）， 设 为曲线 上的任意一点， 与 关于直线 对称，且 ， ，则 也在曲线 上，由此得 ， ，且 ， ，    整理得 ，解得 或 ， 所以存在直线 及 为曲线 的对称轴．        例4：[已知函数 定义域为 （ ）,设 ． （1）试确定 的取值范围,使得函数 在 上为单调函数； （2）求证: ； （3）求证:对于任意的 ,总存在 ,满足 ,并确定                      这样的 的个数． 解:（1） 因为 由 ；由 , 所以 在 上递增,在 上递减 欲 在 上为单调函数,则             （2）因为 在 上递增,在 上递减, 所以 在 处取得极小值 又 ,所以 在 上的最小值为 从而当 时, ,即   （3）因为 ,所以 即为 , 令 ,从而问题转化为证明方程                  =0在 上有解,并讨论解的个数                因为 , ,  所以 ① 当 时, ,所以 在 上有解,且只有一解 ② 当 时, ,但由于 , 所以 在 上有解,且有两解 ③ 当 时, ,所以 在 上有且只有一解； ④ 当 时, 在 上也有且只有一解    综上所述, 对于任意的 ,总存在 ,满足 , 且当 时,有唯一的 适合题意； 当 时 ,有两个 适合题．    例:5、已知函数 . （1）求 的单调递增区间； （2） 为何值时，函数 在区间 上有零点. 解：（1）     令 ①若 ，则 ， 的递增区间是 ； ②若 ，则 方程 的两根 ， ， 当 时，     ∴ 的递增区间是 ③若 且 ，即 时， 方程 的两根 ， ， 此时 的递增区间为 和 ④若 且 即 时 此时的递增区间为     综上 略 （2）问题等价于方程 =0在 上有实根，而 =0 ， 令 ，           再令 ，则 当 时， ， ↗，    当 时， ， ↘ ∴当 时， 取得唯一的极大值也是 的最大值 ∴当 时，         ∴ 在 上单调递减 ∴当 时， 故当 时，函数 在 上有零点.        例6、己知函数 的导函数是 ，对于任意两个不等的正数 ，证明： 当 证明：（1）由   得 （1） 又     （2） 又       由 的                       （3） 由（1）（2）（3）得 即 （2）由 得 = 是两个不相等的正数 令       （ ） 列表 t (0, ) - 0 + 减 极小值 增         即 方法 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf :构造函数证不等式 处理不等式恒成立问题常用分离参数法或看作两个函数来求解。 例7、己知在函数 图象上，以 为切点的切线的倾斜角为   （1）求   的值 （2）求证   解：（1）   将       证明 又         方法总结:利用函数最值证明不等式 例8：设 是函数   的两极值点，且 求证 ：  求证：  （3）若函数 求证： 解：（1） 的两个极值点 于是     ，   又     即 （2）设       则 当 当 (3)         = 又           即 方法总结:利用韦达定理证明，涉及到二次方程的根的问题常常用到违达定理或二次函数的两点式 例:9、对于函数 ，若存在 ，使 成立，则称 为 的不动点．如果函数 有且仅有两个不动点0，2，且 ． 求函数 的单调区间； 已知数列 各项不为零且不为1，满足 ，求证： ； 设 ， 为数列 的前 项和，求证： 解：（1）设 ， 所以 ，所以 ，由 ， 又 ，所以 ，所以 ， 于是 ， 于是易求得 的增区间为 ，减区间为 （2）由已知可得 ，当 时， 两式相减得 ，所以 或 当 时， ，若 ，则 与 矛盾， 所以 ，从而 ，于是要证的不等式即为 ，于是我们可以考虑证明不等式： ，令 ，则 ， 再令 ，由 知 ，所以当 时， 单调递增，所以 ，于是 ，即 ① 令 ，当 时， 单调递增，所以 ，于是 ，即 ② 由①②可知 ，所以 ， 即原不等式成立。                                              （3）由（2）可知 ， ，在 中，令 ，并将各式相加得 即       方法总结:把数列问题转化为函数问题 例10、已知函数 ，若对任意 恒有 ，求 的取值范围。 解：f(x)的定义域为(－∞,1)∪(1,+∞)，对f(x)求导数得 f '(x)= e－ax.  当00, f(x)在(－∞,1)和(1,+∞)为增函数.，对任意x∈(0,1)恒有f(x)>f(0)=1； 当a>2时, 利用导数易得：f(x)在(－∞, － ), ( ,1), (1,+∞)为增函数, f(x)在(－ , )为减函数，取x0= ∈(0,1)，则由(Ⅰ)知 f(x0)1且e－ax≥1，得 f(x)= e－ax≥ >1.； 综上当且仅当a∈(－∞,2)时，对任意x∈(0,1)恒有f(x)>1。 例11：已知函数 . （Ⅰ）讨论函数 的单调性； （Ⅱ）设 .如果对任意 ， ，求 的取值范围. 解：（Ⅰ） 的定义域为（0，+∞）. . 当 时， ＞0，故 在（0，+∞）单调增加； 当 时， ＜0，故 在（0，+∞）单调减少； 当-1＜ ＜0时，令 =0，解得 . 则当 时， ＞0； 时， ＜0. 故 在 单调增加，在 单调减少. （Ⅱ）不妨假设 ，而 ＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调递减，从而 ， 等价于 ，           ① 令 ，则 ①等价于 在（0，+∞）单调递递减少，即 . 从而 故a的取值范围为（-∞，-2].