数学必修5第一章

第一章  解三角形 一、选择题 1．已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为(    )． A．10 km            B．10 km            C．10 km            D．10 km 2．在△ABC中，若 ＝ ＝ ，则△ABC是(    )． A．等腰三角形                            B．等边三角形 C．直角三角形                            D．等腰直角三角形 3．三角形三边长为a，b，c，且满足关系式(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，则c边的对角等于(    )． A．15°                B．45°                C．60°                D．120° 4．在△ABC中，三个内角∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a∶b∶c＝1∶ ∶2，则sin A∶sin B∶sin C＝(    )． A． ∶2∶1        B．2∶ ∶1        C．1∶2∶         D．1∶ ∶2 5．如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2的三个内角的正弦值，则(    )． A．△A1B1C1和△A2B2C2都是锐角三角形 B．△A1B1C1和△A2B2C2都是钝角三角形 C．△A1B1C1是钝角三角形，△A2B2C2是锐角三角形 D．△A1B1C1是锐角三角形，△A2B2C2是钝角三角形 6．在△ABC中，a＝2 ，b＝2 ，∠B＝45°，则∠A为(    )． A．30°或150°        B．60°                C．60°或120°        D．30° 7．在△ABC中，关于x的方程(1＋x2)sin A＋2xsin B＋(1－x2)sin C＝0有两个不等的实根，则A为(    )． A．锐角                B．直角                C．钝角                D．不存在 8．在△ABC中，AB＝3，BC＝ ，AC＝4，则边AC上的高为(    )． A．             B．                 C．                 D．3 9．在△ABC中， ＝c2，sin A·sin B＝ ，则△ABC 一定是(    )． A．等边三角形                            B．等腰三角形 C．直角三角形                            D．等腰三角形或直角三角形 10．根据下列条件解三角形：①∠B＝30°，a＝14，b＝7；②∠B＝60°，a＝10，b＝9．那么，下面判断正确的是(    )． A．①只有一解，②也只有一解．            B．①有两解，②也有两解． C．①有两解，②只有一解．                D．①只有一解，②有两解． 二、填空题 11．在△ABC中，a，b分别是∠A和∠B所对的边，若a＝ ，b＝1，∠B＝30°，则∠A的值是               ． 12．在△ABC中，已知sin Bsin C＝cos2 ，则此三角形是__________三角形． 13．已知a，b，c是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，S是△ABC的面积．若a＝4， b＝5，S＝5 ，求c的长度          ． 14．△ABC中，a＋b＝10，而cos C是方程2x2－3x－2＝0的一个根，求△ABC周长的最小值          ． 15．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且满足sin A∶sin B∶sin C＝2∶5∶6．若△ABC 的面积为 ，则△ABC的周长为________________． 16．在△ABC中，∠A最大，∠C最小，且∠A＝2∠C，a＋c＝2b，求此三角形三边之比为        ． 三、解答题 17．在△ABC中，已知∠A＝30°，a，b分别为∠A，∠B的对边，且a＝4＝ b，解此三角形． (第18题) 18．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100米后到达点B，又从点B测得斜度为45°，建筑物的高CD为50米．求此山对于地平面的倾斜角θ． 19．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若bcos C＝(2a－c)cos B， (Ⅰ)求∠B的大小； (Ⅱ)若b＝ ，a＋c＝4，求△ABC的面积． 20．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，求证： ＝ ． 参考答案 一、选择题 1．D 解析：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC ＝102＋202－2×10×20cos 120° ＝700． AC＝10 ． 2．B 解析：由 ＝ ＝ 及正弦定理，得 ＝ ＝ ，由2倍角的正弦公式得 ＝ ＝ ，∠A＝∠B＝∠C． 3．C 解析：由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab， 得  a2＋b2－c2＝ab． ∴ cos C＝ ＝ ． 故C＝60°． 4．D 解析：由正弦定理可得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝1∶ ∶2． 5．D 解析：△A1B1C1的三个内角的余弦值均大于0，则△A1B1C1是锐角三角形． 若△A2B2C2不是钝角三角形，由 ，得 ， 那么，A2＋B2＋C2＝ －(A1＋B1＋C1)＝ ，与A2＋B2＋C2＝π矛盾． 所以△A2B2C2是钝角三角形． 6．C 解析：由 ＝ ，得sin A＝ ＝ ＝ ， 而b＜a， ∴ 有两解，即∠A＝60°或∠A＝120°． 7．A 解析：由方程可得(sin A－sin C)x2＋2xsin B＋sin A＋sin C＝0． ∵ 方程有两个不等的实根， ∴ 4sin2 B－4(sin2 A－sin2 C)＞0． 由正弦定理 ＝ ＝ ，代入不等式中得 b2－a2＋c2＞0， 再由余弦定理，有2ac cos A＝b2＋c2－a2＞0． ∴ 0＜∠A＜90°． 8．B 解析：由余弦定理得cos A＝ ，从而sin A＝ ，则AC边上的高BD＝ ． 9．A 解析：由 ＝c2 a3＋b3－c3＝(a＋b－c)c2 a3＋b3－c2(a＋b)＝0 (a＋b)(a2＋b2－ab－c2)＝0． ∵ a＋b＞0， ∴ a2＋b2－c2－ab＝0．      (1) 由余弦定理(1)式可化为 a2＋b2－(a2＋b2－2abcos C)－ab＝0， 得cos C＝ ，∠C＝60°． 由正弦定理 ＝ ＝ ，得sin A＝ ，sin B＝ ， ∴ sin A·sin B＝ ＝ ， ∴ ＝1，ab＝c2．将ab＝c2代入(1)式得，a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，a＝b． △ABC是等边三角形． 10．D 解析：由正弦定理得sin A＝ ，①中sin A＝1，②中sin A＝ ． 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 后可知①有一解，∠A＝90°；②有两解，∠A可为锐角或钝角． 二、填空题 11．60°或120°． 解析：由正弦定理 ＝ 计算可得sin A＝ ，∠A＝60°或120°． 12．等腰． 解析：由已知得2sin Bsin C＝1＋cos A＝1－cos(B＋C)， 即2sin Bsin C＝1－(cos Bcos C－sin Bsin C)， ∴ cos(B－C)＝1，得∠B＝∠C， ∴ 此三角形是等腰三角形． 13． 或 ． 解：∵ S＝ absin C，∴ sin C＝ ，于是∠C＝60°或∠C＝120°． 又c2＝a2＋b2－2abcos C， 当∠C＝60°时，c2＝a2＋b2－ab，c＝ ； 当∠C＝120°时，c2＝a2＋b2＋ab，c＝ ． ∴ c的长度为 或 ． 14．10＋5 ． 解析：由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcos C，然后运用函数思想加以处理． ∵ 2x2－3x－2＝0， ∴ x1＝2，x2＝－ ． 又cos C是方程2x2－3x－2＝0的一个根， ∴ cos C＝－ ． 由余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab·(－ )＝(a＋b)2－ab， 则c2＝100－a(10－a)＝(a－5)2＋75， 当a＝5时，c最小，且c＝ ＝5 ， 此时a＋b＋c＝5＋5＋5 ＝10＋5 ， ∴ △ABC周长的最小值为10＋5 ． 15．13． 解析：由正弦定理及sin A∶sin B∶sin C＝2∶5∶6，可得a∶b∶c＝2∶5∶6，于是可设a＝2k，b＝5k，c＝6k(k＞0)，由余弦定理可得 cos B＝ ＝ ＝ ， ∴ sin B＝ ＝ ． 由面积公式S△ABC＝ ac sin B，得 ·(2k)·(6k)· ＝ ， ∴ k＝1，△ABC的周长为2k＋5k＋6k＝13k＝13． 本题也可由三角形面积(海伦公式)得 ＝ ， 即 k2＝ ，∴ k＝1． ∴ a＋b＋c＝13k＝13． 16．6∶5∶4． 解析：本例主要考查正、余弦定理的综合应用． 由正弦定理得 ＝ ＝ ＝2cos C，即cos C＝ ， 由余弦定理cos C＝ ＝ ． ∵ a＋c＝2b， ∴ cos C＝ ＝ ， ∴ ＝ ． 整理得2a2－5ac＋3c2＝0． 解得a＝c或a＝ c． ∵∠A＝2∠C，∴ a＝c不成立，a＝ c ∴ b＝ ＝ ＝ ，    ∴ a∶b∶c＝ c∶ ∶c＝6∶5∶4． 故此三角形三边之比为6∶5∶4． 三、解答题 17．b＝4 ，c＝8，∠C＝90°，∠B＝60°或b＝4 ，c＝4，∠C＝30°，∠B＝120°． 解：由正弦定理知 ＝ ＝ sin B＝ ，b＝4 ． ∠B＝60°或∠B＝120° ∠C＝90°或∠C＝30° c＝8或c＝4． (第18题) 18．分析：设山对于地平面的倾斜角∠EAD＝θ，这样可在△ABC中利用正弦定理求出BC；再在△BCD中，利用正弦定理得到关于θ?的三角函数等式，进而解出θ?角． 解：在△ABC中，∠BAC＝15°，AB＝100米， ∠ACB＝45°－15°＝30°． 根据正弦定理有 ＝ ， ∴ BC＝ ． 又在△BCD中，∵ CD＝50，BC＝ ，∠CBD＝45°，∠CDB＝90°＋θ?， 根据正弦定理有 ＝ ． 解得cos θ?＝ －1，∴ θ?≈42.94°． ∴ 山对于地平面的倾斜角约为42.94°． 19．解：(Ⅰ)由已知及正弦定理可得sin Bcos C＝2sin Acos B－cos Bsin C， ∴ 2sin Acos B＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin(B＋C)． 又在三角形ABC中，sin(B＋C)＝sin A≠0， ∴ 2sin Acos B＝sin A，即cos B＝ ，B＝ ． (Ⅱ)∵ b2＝7＝a2＋c2－2accos B，∴ 7＝a2＋c2－ac， 又 (a＋c)2＝16＝a2＋c2＋2ac，∴ ac＝3，∴ S△ABC＝ acsin B， 即S△ABC＝ ·3· ＝ ． 20．分析：由于所证明的是三角形的边角关系，很自然联想到应用正余弦定理． 解：由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝a2＋c2－2accos B得 a2－b2＝b2－a2－2bccos A＋2accos B， ∴ 2(a2－b2)＝－2bccos A＋2accos B，