浙江省2012届高三数学二轮复习专题训练：随机变量及其分布
I 卷
一、选择题
1．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
A．
B．
C．
D．
【
答案
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】B
2．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
3．已知随机变量的分布列为：P(X＝k)＝
，k＝1,2…，则P(2
a＋2)，则a的值为( )
A．
B．
C．5 D．3
【答案】A
II卷
二、填空题
13．某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．
【答案】0.128
14．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布如下：
请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(ξ)＝________.
【答案】2
15．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率分布律如下
表
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：
请小牛同学计算ξ的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案Eξ＝________.
【答案】2
16．某中学2000名考生的高考数学成绩近似服从正态分布N(120,100)，则此校数学成绩在140分以上的考生人数约为________．(注：正态总体N(μ，σ2)在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率约为0.954)
【答案】46
三、解答题
17．已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.
(1)若a、b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；
(2)若a∈[2,6]，b∈[0,4]，求方程没有实根的概率．
【答案】(1)基本事件(a，b)共有36个，
方程有正根等价于a－2>0,16－b2>0，Δ≥0，
即a>2，－4
要求
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此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料．若4杯都选对，则月工资定位3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元，否则月工资定为2100元，令X表示此人选对A饮料的杯数，假设此人对A和B两种饮料没有鉴别能力．
(1)求X的分布列；
(2)求此员工月工资的期望．
【答案】(1)X的所有可能取值为：0,1,2,3,4
P(X＝i)＝
(i＝0,1,2,3,4)
即
(2)令Y表示新录用员工的月工资，则Y的所有可能取值为2100,2800,3500
则P(Y＝3500)＝P(X＝4)＝
P(Y＝2800)＝P(X＝3)＝
P(Y＝2100)＝P(X≤2)＝
EY＝3500×
＋2800×
＋2100×
＝2280.
所以新录用员工月工资的期望为2280元．
19．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，
规定
关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定
：按顺序考核，一旦考核合格就不必参加以后的考核，否则还需要参加下次考核．若小李参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为
的等差数列，他参加第一次考核合格的概率超过
，且他直到参加第二次考核才合格的概率为
．
(1)求小李第一次参加考核就合格的概率P1；
(2)求小李参加考核的次数X的概率分布和数学期望E(X)．
【答案】(1)由题意得(1－P1)·
＝
，
∴P1＝
或
．∵P1>
，∴P1＝
．
(2)由(1)知小李4次考核每次合格的概率依次为
，
，
，1，
所以P(X＝1)＝
，P(X＝2)＝
，
P(X＝3)＝
×
＝
，
P(X＝4)＝
×1＝
，
所以X的概率分布为
∴E(X)＝1×
＋2×
＋3×
＋4×
＝
．
20．设S是不等式x2－x－6≤0的解集，整数m，n∈S.
(1)记使得“m＋n＝0成立的有序数组(m，n)”为事件A，试列举A包含的基本事件．
(2)记ξ＝m2，求ξ的分布列及其数学期望E(ξ)．
【答案】(1)由x2－x－6≤0得－2≤x≤3，
即S＝{x|－2≤x≤3}，
由于整数m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件为(－2,2)，(2，－2)，(－1,1)，(1，－1)，(0,0)．
(2)由于m的所有不同取值为－2，－1,0,1,2,3，
所以ξ＝m2的所有不同取值为0,1,4,9，
且有P(ξ＝0)＝
，P(ξ＝1)＝
＝
，P(ξ＝4)＝
＝
，P(ξ＝9)＝
，
故ξ的分布列为
所以E(ξ)＝0×
＋1×
＋4×
＋9×
＝
．
21．甲、乙两运动员进行射击训练，已知他们击中的环数都稳定在7,8,9,10环，且每次射击成绩互不影响．射击环数的频率分布条形图如下：
若将频率视为概率，回答下列问题．
(1)求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率；
(2)若甲、乙两运动员各自射击1次，ξ表示这2次射击中击中9环以上(含9环)的次数，求ξ的分布列及数学期望．
【答案】(1)甲运动员击中10环的概率是：1－0.1－0.1－0.45＝0.35.
设事件A表示“甲运动员射击一次，恰好命中9环以上(含9环，下同)”，则P(A)＝0.35＋0.45＝0.8.
事件“甲运动员在3次射击中，至少1次击中9环以上”包含三种情况：
恰有1次击中9环以上，概率为P1＝C
×0.8×(1－0.8)2＝0.096，
恰有2次击中9环以上，概率为P2＝C
×0.82×(1－0.8)1＝0.384，
恰有3次击中9环以上，概率为P3＝C
×0.83×(1－0.8)0＝0.512，
因为上述三个事件互斥，所以甲运动员射击3次，至少1次击中9环以上的概率为0.992.
(2)记“乙运动员射击1次，击中9环以上”为事件B，
则P(B)＝1－0.1－0.15＝0.75.
因为ξ表示2次射击击中9环以上(含9环)的次数，所以ξ的可能取值是0,1,2，
因为P(ξ＝2)＝0.8×0.75＝0.6；
P(ξ＝1)＝0.8×(1－0.75)＋(1－0.8)×0.75＝0.35，
P(ξ＝0)＝(1－0.8)×(1－0.75)＝0.05，
所以ξ的分布列是
ξ
0
1
2
P
0.05
0.35
0.6
所以E(ξ)＝0×0.05＋1×0.35＋2×0.6＝1.55.
22．某人进行射击训练，击中目标的概率是
，且各次射击的结果互不影响.（Ⅰ）假设该人射击5次，求恰有2次击中目标的概率；（Ⅱ）假设该人每射击5发子弹为一组，一旦命中就停止，并进入下一组练习，否则一直打完5发子弹才能进入下一组练习，求：① 在完成连续两组练习后，恰好共使用了4发子弹的概率；② 一组练习中所使用子弹数
的分布列，并求
的期望.
【答案】（I）设射击5次，恰有2次击中目标的事件为
.
(Ⅱ）①完成两组练习后，恰好共耗用4发子弹的事件为
,则
. ②
可能取值为1，2，3，4，5.
;
1
2
3
4
5
0.8
0.16
0.032
0.0064
0.0016
.
23． 如图，一个圆形游戏转盘被分成6个均匀的扇形区域．用力旋转转盘，转盘停止转动时，箭头A所指区域的数字就是每次游戏所得的分数（箭头指向两个区域的边界时重新转动），且箭头A指向每个区域的可能性都是相等的．在一次家庭抽奖的活动中，要求每个家庭派一位儿童和一位成人先后分别转动一次游戏转盘，得分情况记为
（假设儿童和成人的得分互不影响，且每个家庭只能参加一次活动）．
(Ⅰ）求某个家庭得分为
的概率？
(Ⅱ）若游戏规定：一个家庭的得分为参与游戏的两人得分之和，且得分大于等于8的家庭可以获得一份奖品．请问某个家庭获奖的概率为多少？
(Ⅲ）若共有5个家庭参加家庭抽奖活动．在（Ⅱ）的条件下，记获奖的家庭数为
，求
的分布列及数学期望．
【答案】（Ⅰ）记事件A：某个家庭得分情况为
．
．
所以某个家庭得分情况为
的概率为
．
(Ⅱ）记事件B：某个家庭在游戏中获奖，则符合获奖条件的得分包括
共3类情况．
所以
．
所以某个家庭获奖的概率为
．
(Ⅲ）由（Ⅱ）可知，每个家庭获奖的概率都是
，所以
．
，
，
，
，
，
.
所以
分布列为：
所以
．
所以
的数学期望为
．5
24．某产品按行业生产
标准
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分成8个等级，等级系数X依次为1,2，…，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件，假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．
(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：
X1
5
6
7
8
P
0.4
a
b
0.1
且X1的数学期望E(X1)＝6，求a，b的值；
(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望．
(3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
注：①产品的“性价比”
＝
；
②“性价比”大的产品更具可购买性．
【答案】(1)因为E(X1)＝6，
所以5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，
即6a＋7b＝3.2.
又由X1的概率分布列得0.4＋a＋b＋0.1＝1，
即a＋b＝0.5.
由
解得
(2)由已知得，样本的频率分布表如下：
X2
3
4
5
6
7
8
f
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：
X2
3
4
5
6
7
8
P
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0.1
所以E(X2)＝3P(X2＝3)＋4P(X2＝4)＋5P(X2＝5)＋6P(X2＝6)＋7P(X2＝7)＋8P(X2＝8)＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1＝4.8.
即乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8.
(3)乙厂的产品更具可购买性．理由如下：
因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为
＝1.
因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为
＝1.2.
据此，乙厂的产品更具可购买性．
浙公网安备 33021202002483