椭圆经典例题

椭圆 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程典型例题 例1 已知椭圆 的一个焦点为（0，2）求 的值． 分析：把椭圆的方程化为标准方程，由 ，根据关系 可求出 的值． 解：方程变形为 ．因为焦点在 轴上，所以 ，解得 ． 又 ，所以 ， 适合．故 ． 例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点 ， ，求椭圆的标准方程． 分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法， 求出参数 和 （或 和 ）的值，即可求得椭圆的标准方程． 解：当焦点在 轴上时，设其方程为 ． 由椭圆过点 ，知 ．又 ，代入得 ， ，故椭圆的方程为 ． 当焦点在 轴上时，设其方程为 ． 由椭圆过点 ，知 ．又 ，联立解得 ， ，故椭圆的方程为 ． 例3 的底边 ， 和 两边上中线长之和为30，求此三角形重心 的轨迹和顶点 的轨迹． 分析：（1）由已知可得 ，再利用椭圆定义求解． （2）由 的轨迹方程 、 坐标的关系，利用代入法求 的轨迹方程． 解： （1）以 所在的直线为 轴， 中点为原点建立直角坐标系．设 点坐标为 ，由 ，知 点的轨迹是以 、 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因 ， ，有 ， 故其方程为 ． （2）设 ， ，则 ． ① 由题意有 代入①，得 的轨迹方程为 ，其轨迹是椭圆（除去 轴上两点）． 例4 已知 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 到两焦点的距离分别为 和 ，过 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程． 解：设两焦点为 、 ，且 ， ．从椭圆定义知 ．即 ． 从 知 垂直焦点所在的对称轴，所以在 中， ， 可求出 ， ，从而 ． ∴所求椭圆方程为 或 ． 例5 已知椭圆方程 ，长轴端点为 ， ，焦点为 ， ， 是椭圆上一点， ， ．求： 的面积（用 、 、 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示）． 分析：求面积要结合余弦定理及定义求角 的两邻边，从而利用 求面积． 解：如图，设 ，由椭圆的对称性，不妨设 ，由椭圆的对称性，不妨设 在第一象限．由余弦定理知： EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 · ．① 由椭圆定义知： ②，则 得 ． 故 ． 例6 已知动圆 过定点 ，且在定圆 的内部与其相内切，求动圆圆心 的轨迹方程． 分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式． 解：如图所示，设动圆 和定圆 内切于点 ．动点 到两定点， 即定点 和定圆圆心 距离之和恰好等于定圆半径， 即 ．∴点 的轨迹是以 ， 为两焦点， 半长轴为4，半短轴长为 的椭圆的方程： ． 说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ． 例7 已知椭圆 ，（1）求过点 且被 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程； （3）过 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程； （4）椭圆上有两点 、 ， 为原点，且有直线 、 斜率满足 ， 求线段 中点 的轨迹方程． 分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法． 解：设弦两端点分别为 ， ，线段 的中点 ，则 ①－②得 ． 由题意知 ，则上式两端同除以 ，有 ， 将③④代入得 ．⑤ （1）将 ， 代入⑤，得 ，故所求直线方程为： ． ⑥ 将⑥代入椭圆方程 得 ， 符合题意， 为所求． （2）将 代入⑤得所求轨迹方程为： ．（椭圆内部分） （3）将 代入⑤得所求轨迹方程为： ．（椭圆内部分） （4）由①＋②得 ： ， ⑦， 将③④平方并整理得 ， ⑧， ， ⑨ 将⑧⑨代入⑦得： ， ⑩ 再将 代入⑩式得： ， 即 ． 此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决． 例8 已知椭圆 及直线 ． （1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程． 解：（1）把直线方程 代入椭圆方程 得 ， 即 ． ，解得 ． （2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 ， ，由（1）得 ， ． 根据弦长公式得 ： ．解得 ．方程为 ． 说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别． 这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式 ；解决弦长问题，一般应用弦长公式． 用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程． 例9 以椭圆 的焦点为焦点，过直线 上一点 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点 应在何处？并求出此时的椭圆方程． 分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决． 解：如图所示，椭圆 的焦点为 ， ． 点 关于直线 的对称点 的坐标为（－9，6），直线 的方程为 ． 解方程组 得交点 的坐标为（－5，4）．此时 最小． 所求椭圆的长轴： ，∴ ，又 ， ∴ ．因此，所求椭圆的方程为 ． 例10 已知方程 表示椭圆，求 的取值范围． 解：由 得 ，且 ． ∴满足条件的 的取值范围是 ，且 ． 说明：本题易出现如下错解：由 得 ，故 的取值范围是 ． 出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 这个条件，当 时，并不表示椭圆． 例11 已知 EMBED Equation.3 表示焦点在 轴上的椭圆，求 的取值范围． 分析：依据已知条件确定 的三角 函数 excel方差函数excelsd函数已知函数     2 f x m x mx m      2 1 4 2拉格朗日函数pdf函数公式下载 的大小关系．再根据三角 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数的单调性，求出 的取值范围． 解：方程可化为 ．因为焦点在 轴上，所以 ． 因此 且 从而 ． 说明：(1)由椭圆的标准方程知 ， ，这是容易忽视的地方． (2)由焦点在 轴上，知 ， ． (3)求 的取值范围时，应注意题目中的条件 ． 例12　求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过 和 两点的椭圆方程． 分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见， 可设其方程为 ( ， )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程． 解：设所求椭圆方程为 ( ， )．由 和 两点在椭圆上可得 即 所以 ， ．故所求的椭圆方程为 ． 例13 知圆 ，从这个圆上任意一点 向 轴作垂线段，求线段中点 的轨迹． 分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹． 解：设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则 ， ． 因为 在圆 上，所以 ． 将 ， 代入方程 得 ．所以点 的轨迹是一个椭圆 ． 说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为 ， 设已知轨迹上的点的坐标为 ，然后根据题目要求，使 ， 与 ， 建立等式关系， 从而由这些等式关系求出 和 代入已知的轨迹方程，就可以求出关于 ， 的方程， 化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握． 例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在 轴上的椭圆，过它对的左焦点 作倾斜解为 的直线交椭圆于 ， 两点，求弦 的长． 分析：可以利用弦长公式 求得， 也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求． 解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解． EMBED Equation.3 ．因为 ， ，所以 ．因为焦点在 轴上， 所以椭圆方程为 ，左焦点 ，从而直线方程为 ． 由直线方程与椭圆方程联立得： ．设 ， 为方程两根，所以 ， ， ， 从而 ． (法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解． 由题意可知椭圆方程为 ，设 ， ，则 ， ． 在 中， ，即 ； 所以 ．同理在 中，用余弦定理得 ，所以 ． (法3)利用焦半径求解． 先根据直线与椭圆联立的方程 求出方程的两根 ， ，它们分别是 ， 的横坐标． 再根据焦半径 ， ，从而求出 ． 例15　椭圆 上的点 到焦点 的距离为2， 为 的中点，则 （ 为坐标原点）的值为A．4　　　B．2　 　C．8　 　D． 解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为 ，由椭圆第一定义得 ，所以 ， 又因为 为 的中位线，所以 ，故答案为A． 说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆． (2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即 ，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离． 例16 已知椭圆 ，试确定 的取值范围，使得对于直线 ，椭圆 上有不同的两点关于该直线对称． 分析：若设椭圆上 ， 两点关于直线 对称，则已知条件等价于：(1)直线 ；(2)弦 的中点 在 上． 利用上述条件建立 的不等式即可求得 的取值范围． 解：(法1)设椭圆上 ， 两点关于直线 对称，直线 与 交于 点． ∵ 的斜率 ，∴设直线 的方程为 ．由方程组 消去 得 　　①。∴ ．于是 ， ， 即点 的坐标为 ．∵点 在直线 上，∴ ．解得 ．　② 将式②代入式①得 　　③ ∵ ， 是椭圆上的两点，∴ ．解得 ． (法2)同解法1得出 ，∴ ， ，即 点坐标为 ． ∵ ， 为椭圆上的两点，∴ 点在椭圆的内部，∴ ．解得 ． (法3)设 ， 是椭圆上关于 对称的两点，直线 与 的交点 的坐标为 ． ∵ ， 在椭圆上，∴ ， ．两式相减得 ， 即 ．∴ ． 又∵直线 ，∴ ，∴ ，即 　①。 又 点在直线 上，∴ 　　②。由①，②得 点的坐标为 ．以下同解法2. 说明：涉及椭圆上两点 ， 关于直线 恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式： (1)利用直线 与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式 ，建立参数方程． (2)利用弦 的中点 在椭圆内部，满足 ，将 ， 利用参数表示，建立参数不等式． 例17 在面积为1的 中， ， ，建立适当的坐标系，求出以 、 为焦点且过 点的椭圆方程． 解：以 的中点为原点， 所在直线为 轴建立直角坐标系，设 ． 则 ∴ 即 ∴ 得 ∴所求椭圆方程为 例18 已知 是直线 被椭圆 所截得的线段的中点，求直线 的方程． 分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去 (或 )，得到关于 (或 )的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出 ， (或 ， )的值代入计算即得． 并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的． 解：方法一：设所求直线方程为 ．代入椭圆方程，整理得 　① 设直线与椭圆的交点为 ， ，则 、 是①的两根，∴ ∵ 为 中点，∴ ， ．∴所求直线方程为 ． 方法二：设直线与椭圆交点 ， ．∵ 为 中点，∴ ， ． 又∵ ， 在椭圆上，∴ ， 两式相减得 ， 即 ．∴ ．∴直线方程为 ． 方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为 ，另一个交点 ． ∵ 、 在椭圆上，∴ 　　①。 　　　　　② 从而 ， 在方程①－②的图形 上，而过 、 的直线只有一条，∴直线方程为 ． 说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法． 若已知焦点是 、 的椭圆截直线 所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？ PAGE 10 _1117361742.unknown _1117370485.unknown _1117434409.unknown _1117436258.unknown _1117457255.unknown _1117457992.unknown _1117458109.unknown _1117458464.unknown _1117458793.unknown _1117459212.unknown _1117459429.unknown _1117459601.unknown _1117459810.unknown _1117459823.unknown _1117459538.unknown _1117459391.unknown _1117459332.unknown _1117459359.unknown _1117459030.unknown _1117459058.unknown _1117459118.unknown _1117458951.unknown _1117458955.unknown _1117458919.unknown _1117458893.unknown _1117458469.unknown _1117458717.unknown _1117458737.unknown _1117458634.unknown _1117458665.unknown _1117458405.unknown _1117458445.unknown _1117458348.unknown _1117458268.unknown _1117458058.unknown _1117458087.unknown _1117458045.unknown _1117457479.unknown _1117457818.unknown _1117457983.unknown _1117457863.unknown _1117457958.unknown _1117457800.unknown _1117457411.unknown _1117457427.unknown _1117457299.unknown _1117456802.unknown _1117457007.unknown _1117457067.unknown _1117457172.unknown _1117457020.unknown _1117456831.unknown _1117456995.unknown 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