2013届高考理科数学总复习（第1轮）广西专版课件：5.2向量的字符运算

nullnull第五章 平面向量第 讲nullnull一、平面向量数量积的有关概念 1.已知两个非零向量a，b，过O点作OA=a，OB=b，则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角. 很显然，当且仅当两非零向量a，b同方向时，θ= ___，当且仅当a、b反方向时，θ= ______，同时0与其他任何非零向量之间不谈夹角问题.0°180°null2.如果a，b的夹角为 ____，则称a与b垂直，记作 _______. 3.a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则 __________叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即 ______________. 规定0·a= ___. 当a⊥b时，θ= ____，这时a·b= ____. 二、a·b的几何意义 1.一个向量在另一个向量方向上的投影.90°a⊥b|a||b|·cosθa·b=|a||b|cosθ090°0null 设θ是a与b的夹角，则 _________称作a在b方向上的投影. _______称作b在a方向上的投影.b在a方向上的投影是一个数，而不是向量.当 ______________时，它是正数；当 ___________________时,它是负数；当θ=90°时,它是零. 2.a·b的几何意义. a·b等 ___与b在a方向上的投影的乘积. 3.a·b的性质. 设a,b是两个非零向量,e是单位向量,于是有：|a|cosθ|b|cosθ0°≤θ＜90°90°＜θ≤180°|a|null(1)e·a=a·e=|a|cosθ; (2)a⊥b ________; (3)当a与b同向时，a·b= ___________； 当a与b反向时，a·b= ____________； 特别地，a·a=a2=|a|2，或|a|= _____; (4)cosθ= _________; (5)|a·b|≤|a|·|b|.a·b=0|a||b|-|a||b|null1.已知向量a和b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3， 则|5a-b|=____. 解： 所以|5a-b|=7.7null2.若a,b,c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是( ) A. (a+b)+c=a+(b+c) B. (a+b)·c=a·c+b·c C. m(a+b)=m a+mb D. (a·b)·c=a·(b·c) 解：A、B、C是运算律，而a·b=λ∈R, b·c=μ∈R,所以(a·b)·c=a·(b·c)不一定成立. 故选D.Dnull3.在△ABC中，已知向量 与 满足 且 则△ABC为( ) A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 解：在△ABC中， (M在∠BAC的平分线上)，Dnull由 知 所以 ⊥ ，则△ABC是等腰三角形； 因为 所以 则∠BAC=60°， 所以△ABC是等边三角形. 故选D.null1. 如图，在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问 与 的夹角θ取何值时 的值最大？并求出这个最大值. 解法1：因为 ， 所以 因为 题型1 向量的数量积运算null所以 故当cosθ=1,即θ=0( 与 方向相同)时， 的值最大，其最大值为0. 解法2：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系.null设|AB|=c,|AC|=b，则A(0，0)，B(c，0)，C(0，b)，且|PQ|=2a,|BC|=a. 设点P的坐标为(x,y),则Q(-x,-y). 所以 所以null因为 所以cx-by=a2cosθ， 所以 故当cosθ=1，即θ=0( 与 方向相同)时， 的值最大，其最大值为0. 点评：向量的数量积是最基本的向量的运算，字符向量的数量积主要是将其转化为两向量模及夹角余弦的积，注意向量夹角与两直线夹角之间的关系和转化.null已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为 ，c=5a+3b，d=3a+kb，求当实数k为何值时，c⊥d？ 解：要使c⊥d，即c·d=0， 即(5a+3b)·(3a+kb)=0， 所以15a2+(9+5k)a·b+3kb2=0， 所以15×4+(9+5k)×2×3cos +3k·9=0， 解得k= . 所以当k= 时，c与d垂直.null2. 已知向量a与b的夹角为120°, 且|a|=4，|b|=2.求： (1)|a+b|;(2)|3a-4b|;(3)(a-2b)·(a+b). 解：依题意得 a·b=|a||b|cosθ=4×2×cos120°=-4. (1)因为|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2 =|a|2+2a·b+|b|2=42+2×(-4)+22=12， 所以|a+b|= 题型2 向量的模null(2)因为|3a-4b|2=(3a-4b)2 =9a2-24a·b+16b2 =16×19， 所以|3a-4b|= . (3)(a-2b)·(a+b)=a2-2a·b+a·b-2b2 =42-(-4)-2×22=12. 点评：求形如|a+b|的模，一般是通过|a+b|2=(a+b)2把求模转化为数量积来求解，注意求得的是模的平方，最后求得其算术平方根即可.null已知平面上三个向量a、b、c的模均为1， 它们相互之间的夹角均为120°. (1)求证：(a-b)⊥c； (2)若|ka+b+c|>1(k∈R)，求k的取值范围. 解：(1)证明：因为|a|=|b|=|c|=1,且a、b、c 之间的夹角均为120°， 所以(a-b)·c=a·c-b·c=|a||c|cos120°- |b||c|·cos120°=0, 所以(a-b)·c=0，所以(a-b)⊥c.null (2)解法1：因为|ka+b+c|>1， 即|ka+b+c|2>1， 即k2a2+b2+c2+2ka·b+2ka·c+2b·c>1, 因为a·b=b·c=a·c=- ， 所以k2-2k>0，所以k<0或k>2. 解法2：由已知a+b+c=0, 故|ka+b+c|=|ka-a|=|(k-1)a|=|k-1|, |ka+b+c|>1(k∈R) |k-1|>1 k<0或k>2.null题型3 向量的夹角nullnullnullnull点评：(1)中最值问题不少都转化为函数最值问题解决，因此解题关键在于寻找变量，以构造函数．而(2)中即为数量积定义的应用．null已知三个单位向量a，b，c，两两之间的夹角为120°，求a-2b与c的夹角. 解：(a-2b)·c=a·c-2b·c=1×1×cos120°-2×1×1×cos120°= ， 又〈a-2b，c〉∈［0，π］， 所以〈a-2b，c〉=arccos .null1.向量的字符运算是向量运算的一种基本形式，它类似于实数的字母运算，在没有几何背景和向量坐标的向量问题中，一般通过这种运算解答相关问题. 2. 向量的字符运算以向量的数量积为核心，由此解决有关向量的模和夹角问题.在字符运算中求向量的模，一般先求模的平方，再转化为向量的平方，然后转化为数量积进行运算.null在字符运算中求向量的夹角，一般先利用数量积的定义求夹角的余弦，再根据夹角的范围求向量的夹角. 3.通过向量的字符运算求值时，要注意利用方程思想求解，即把所求的量看作一个未知数，通过解方程求这个未知数的值.它在求数量积、参数值、夹角、模等问题中有着广泛的应用.