向量与向量的线性运算
一、 知识清单
１．向量的定义
既有 又有 的量叫做向量．
２．向量的模
向量的大小，也就是向量的长度，记作 ；
３．共线向量的定义： ；
４．相等向量 ；相反向量 ；
５．向量的加法
向量的减法：同起点
， ， ，
６．实数与向量的积
实数与向量的积是一个向量，记作 ；长度与方向规定如下：
⑴ ；
⑵，与的方向 ；，与的方向 ；
， ；
７．向量与非零向量共线的充要条件是 ；
８．平面向量基本定理
如果是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内任一向量，有且只有一对实数，使得 ；叫做
表
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示这一平面内所有向量的一组 ．
二 、典型例
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
1、向量的基本概念
例1、判断下列说法是否正确，不正确的说明理由.
若向量与同向，且，则；
若向量，则与的长度相等且方向相同或相反；
对于任意向量若且与的方向相同，则；
由于零向量方向不确定，故不能与任意向量平行；
向量，则向量与方向相同或相反；
向量与是共线向量，则四点共线；
起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量.
若，且，则
变式训练：
1、下列说法不正确的是 ( )
A 零向量是没有方向的向量 B 零向量与任一向量共线
Ｃ 零向量只能与零向量相等 D 零向量的方向是任意的
2、设b是a的相反向量，则下列说法错误的是（ ）
A．a与b的长度必相等 B．
C．a与b一定不相等 D．a是b的相反向量
3、下列说法正确的是 （ ）
A、若，则 B、若，则
C、若，则 D、若，则或
2、向量的线性运算
例2、若，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
例3、在平行四边形中，下列结论中错误的是 （ ）
例4、如图， 的两条对角线相交于点，且，，用、表示、、和．
变式训练：
1、下列各式：（1）（2）（3）（4），其中正确的个数为 （ ）
A、个 B、个 C、个 D、个
2、 （ ）
A、 B、 C、 D、
3、如图，在四边形ABCD中，设 ，则 等于（ ）
A． B．C． D．
4、 可以写成：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
3、平面向量共线定理与基本定理
例5、 判断下列各题中的向量是否共线：
（1），；
（2），，且，不共线．
例6、已知梯形中，，，分别是、的中点，若，，用，表示、、．
变式训练：
1、设是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，求的值。
2、设是不共线的向量，与共线，则实数的值是
3、在平行四边形中，，为的中点，则_______（用表示）
4、相关应用
例7、 平行四边形ABCD点M是AB的中点，点N在BD上，且BN=1/3BD。求证：M,N,C三点共线。
例8、设、不共线，点P在AB上，求证：=λ+μ且λ+μ=1，λ、μ∈R.
变式训练：
1、如图所示，D、E是△ABC中AB、AC边的中点，M、N分别是DE、BC的中点，已知=a，=b，试用a、b分别表示、和.
2、如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，
则的值为
三、归纳小结
1.我们学习的向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时，与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线段都表示同一向量.
2.共线向量和平面向量的两条基本定理，揭示了共线向量和平面向量的基本结构，它们是进一步研究向量的基础.
3.对于两个向量平行的充要条件：
a∥ba=λb，只有b≠0才是正确的.而当b=0时，a∥b是a=λb的必要不充分条件.
4.向量的坐标表示体现了数形的紧密关系，从而可用“数”来
证明
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“形”的问题.
5.注意培养观察、
分析
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、归纳、抽象的思维能力.
三 家庭作业
1、是平面内的所有向量的一组基底，若，则．
2、非零向量不共线，，则．
3、已知向量，，，且三点共线，则．
4、若，且，则四边形的形状是 ．
5、在中，、分别为的中点，，，用表示．
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