2009年第2期 2l
托勒密定理的两个应用
徐道
(江苏省如皋市教师进修学校，226500)
托勒密(Ptolemy)定理圆内接四边形
中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积
之和．
本文介绍该定理的两个应用．
先给出三个引理．
引理1④0．、OO：分别与O0内切于
点P、Q，MN是00。与00：的外公切线．设
OD。、O0：、O0的半径分别为r。、r：、尺．则
肘妒 (R—r．)(R—r2)
加2一 R2
’
引理1的证明：如图1，联结0p、DQ．则
D。在线段OP上，0：在线段OQ上．联结
o102、olM、02N，作0。Tj_D2Ⅳ，垂足为r．
于是，
删=0．严=0。0i一0：严
=010i一(r2一，1)2． ①
设么POQ=0．
在△o。oo：中，由余弦定理得
olo；=(R—r1)2+(尺一r2)2—
2(R—r1)(尺一r2)L-'080
收稿日期；2008—05—19
嘲、l
=(R—r1)2+(尺一／'2)2—2(R—r1)(尺一r2)+
2(R—r1)(R—r2)(1一cos0)
=(r2一n)2+2(R—rI)(R—r2)(1一0060)．
②
式②代人式①得
^刀v2=2(R—rt)(尺一r2)(1—0060)．③
在APOQ中，由余弦定理得
C08
0=2R22_R2pQ2． ④
式④代人式③得
口=丢(p2—92)
=了1[(2蠡一z)2一(||}+f)2]=忌22k／，
6={(2朋一92)
=j1E2(2k一2)(j．j}+z)一(后+f)2]=I|}2～1，
c={(p2一册+92、
={E(2k—f)2一(2k—z)(|j}+f)+(k+1)2]
J
：k2一碰+Z2．
ro=k2—2kl，
故{b=k2一z2， ③
【c：k2一碰+Z2。
其中，k、Z∈N+，(k，Z)=1，0<2l
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
1 设凸四边形A。A：A3A。为OD
的内接四边形．若等半径的OD。、OO：、oO，
与oD均内切(外切)，切点分别为A．、A：、
A，，00。与00内切(外切)于点A。，ODj
与oq的公切线长为b(1≤i
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