高一空间角练习

高一空间角练习 1. 已知α∩β=C，a∥b,a α,b β,A a,AE⊥b于E，AF⊥c于F，求证：a⊥EF 解析： b∥a,b ,a α, ∴b∥α 又b β，α∩β=c ∴b∥c, 又AF⊥c ∴AF⊥b 又AE⊥b, AE∩AF=A ∴b⊥平面AEF a∥b ∴a⊥平面AEF EF 平面AEF ∴a⊥EF 2. 如图，BCD是等腰直角三角形，斜边CD的长等于点P到BC的距离，D是P在平面BCD上的射影．（1）求PB与平面BCD所成角；（2）求BP与平面PCD所成的角 解析：（1）PD⊥平面BCD，∴BD是PB在平面BCD内的射影，∴∠PBD为PB与平面BCD所成角,BD⊥BC,由三垂线定理得BC⊥BD，∴BP=CD，设BC=a，则BD=a，BP=CD= a∴在Rt△BPD中， cos∠DBP= ∴∠DBP=45°, 即PB与平面BCD所成角为45°． （2）过B作BE⊥CD于E，连结PE，PD⊥平面BCD得PD⊥BE，∴BE⊥平面PCD， ∴∠BPE为BP与平面PCD所成的角,在Rt△BEP中，BE= a, BP= a,∴∠BPE=30° 即BP与平面PCD所成角为30°． 3. 如图，在二面角α—l—β中，A、B∈α，C、D∈l，ABCD为矩形，P∈β，PA⊥α，且PA＝AD，M、N依次是AB、PC的中点. (1)求二面角α—l—β的大小； (2)求证：MN⊥AB； (3)求异面直线PA与MN所成角的大小. 解析：(1)连PD，∵ABCD为矩形，∴AD⊥DC，即AD⊥l.又PA⊥l，∴PD⊥l. ∵P、D∈β，则∠PDA为二面角α—l—β的平面角. ∵PA⊥AD，PA＝AD，∴ΔPAD是等腰直角三角形，∴∠PDA＝45°，即二面角α—l—β的大小为45°. (2)过M作ME∥AD，交CD于E，连结NE，则ME⊥CD，NE⊥CD，因此，CD⊥平面MNE，∴CD⊥MN.∵AB∥CD，∴MN⊥AB (3)过N作NF∥CD，交PD于F，则F为PD的中点.连结AF，则AF为∠PAD的角平线，∴∠FAD＝45°，而AF∥MN，∴异面直线PA与MN所成的45°角. 4. 已知正方体 ．则 　　（1） 与平面ABCD所成的角等于________； 　　（2） 与平面ABCD所成的角的正切值等于________； 　　（3） 与平面 所成的角等于________ ； 　　（4） 与平面 所成的角等于________； 　　（5） 与平面 所成的角等于________. 解析：（1）∵ ⊥平面ABCD，∴ 为 与平面ABCD所成的角， =45°． 　　（2）∵ ⊥平面ABCD，∴ 为 与平面ABCD所成的角．设 ，则 ，∴ 　　（3）∵ 平面 ， ，∴ ∥平面 ，∴ 与平面 所成的角为0°． 　　（4）∵ ⊥平面 ，∴ 与平面 所成的角为90°． 　　（5）连结AC，交AD于H．连结 ，∵ ⊥平面ABCD，CH平面ABCD， ∴ ，又∵ CH⊥BD，∴ CH⊥平面 ．∴ 为 在平面 内的射影．∴ 为 与平面 所成的角．设正方体棱长为1，则 ， ，∴ ，即 与平面 所成的角为30°． 5. PA、PB、PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角为60°，求直线PC与平面PAB所成的角的余弦值． 解析：如图答9-22，在PC上任取一点D，作DH⊥平面PAB于H，则∠DPH为PC与平面PAB所成的角．作HE⊥PA于E，HF⊥PB于F，连结PH，DE，DF．∵ EH、FH分别为DE、DF在平面PAB内的射影，由三垂线定理可得DE⊥PA．DF⊥PB．∵ ∠DPE=∠DPF，∴ △DPE≌△DPF．∴ PE=PF．∴ Rt△HPE≌Rt△HPF，∴ HE=HF，∴ PH是∠APB的平分线．设EH=a，则PH=2EH=2a， ．在Rt△PDE中，∠DPE=60°，DE⊥PA，∴ ．在Rt△DPH中，DH⊥HP，PH=2a， ，∴ 6. 已知二面角-l-的大小为（是锐角），A∈l，B∈l， ，且P∈，P在内的射影为P′．记△ABP的面积为S，则△ABP′的面积S′等于________． 解析：Scos．作PH⊥l于H，连结 ．∵　 ，∴　 （三垂线定理的逆定理）．∴　 为二面角-l-的平面角，即 ． ， ，∴　 470. 如图9-55，将边长为a的正三角形ABC按它的高AD为折痕折成一个二面角 ． 　　（1）指出这个二面角的面、棱、平面角； 　　（2）若二面角 是直二面角，求 的长； 　　（3）求 与平面 所成的角； 　　（4）若二面角 的平面角为120°，求二面角 的平面角的正切值． 解析：（1）∵　AD⊥BC，∴　AD⊥DC， ，∴　二面角 的面为ADC和面 ，棱为AD，二面角的平面角为 ． 　　　（2）若 ，∵　AC=a，∴　 ，∴　 ． 　　　（3）∵　 ，AD⊥DC，∴　AD⊥平面 ．∴　 为 与平面 所成的角，在Rt△ 中， ，∴　 ，于是 ． 　　　（4）取 的中点E，连结AE、DE，∵　 ， ，∴　 ， ，∴　∠AED为二面角 的平面角，∵　 ， ，∴　 ，在Rt△AED中， ，∴　 7. 如图9-34，在△ABC中，∠ACB=90°，AB平面 ，点 ，C在内的射影为O，AC和BC与平面 所成的角分别为30°和45°，CD是△ABC的AB边上的高线，求CD与平面所成角的大小． 解析：连结OD，∵ CO⊥平面AOB，∴ ∠CDO为CD与平面 所成的角．∵ AB、CB与平面所成角分别为30°和45°，∴ ∠CAO=30°，∠CBO=45°．设CO=a，则AC=2a，OB=a， ．在Rt△ABC中， ，∴ ． ∵ CD⊥AB，∵ ，∴ ．在Rt△COD中， ，∵ 0°＜∠CDO＜90°，∴ ∠CDO=60°，即CD与平面 所成的角为60°． 8. 空间四边形PABC中，PA、PB、PC两两相互垂直，∠PBA＝45°，∠PBC＝60°，M为AB的中点.(1)求BC与平面PAB所成的角；(2)求证：AB⊥平面PMC. 解析：此题数据特殊，先考虑数据关系及计算、发现解题思路. 解 ∵ PA⊥AB，∴∠APB＝90° 在RtΔAPB中，∵∠ABP＝45°，设PA＝a， 则PB＝a,AB＝ a,∵PB⊥PC，在RtΔPBC中， ∵∠PBC＝60°,PB＝a.∴BC＝2a,PC＝ a. ∵AP⊥PC ∴在RtΔAPC中，AC＝ ＝ ＝2a (1)∵PC⊥PA,PC⊥PB,∴PC⊥平面PAB， ∴BC在平面PBC上的射影是BP. ∠CBP是CB与平面PAB所成的角 ∵∠PBC＝60°，∴BC与平面PBA的角为60°. (2)由上知，PA＝PB＝a,AC＝BC＝2a. ∴M为AB的中点，则AB⊥PM，AB⊥CM. ∴AB⊥平面PCM. 9. .如图所示，在空间四边形ABCD中，点E、F分别是BC、AD上的点，已知AB=4，CD=20，EF=7， 。求异面直线AB与CD所成的角。 解析：在BD上取一点G，使得 ，连结EG、FG 　　在ΔBCD中， ，故EG//CD，并且 ， 　　所以，EG=5；类似地，可证FG//AB，且 ， 　　故FG=3，在ΔEFG中，利用余弦定理可得 　　cos∠FGE= ，故∠FGE=120°。 　　另一方面，由前所得EG//CD，FG//AB，所以EG与FG所成的锐角等于AB与CD所成的角，于是AB与CD所成的角等于60°。 10. 直线a是平面α的斜线，b在平α内，已知a与b成60°的角，且b与a在平α内的射影成45°角时，a与α所成的角是（ ） A.45° B.60° C.90° D.135° 解A 11. 在立体图形P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，Q是PC中点． AC，BD交于O点． （Ⅰ）求二面角Q－BD－C的大小： （Ⅱ）求二面角B－QD－C的大小． 解析：（Ⅰ）解：连QO，则QO∥PA且QO＝ PA＝ AB ∵ PA⊥面ABCD ∴ QO⊥面ABCD 面QBD过QO， ∴ 面QBD⊥面ABCD 故二面角Q－BD－C等于90°． （Ⅱ）解：过O作OH⊥QD，垂足为H，连CH． ∵ 面QBD⊥面BCD， 又∵ CO⊥BD CO⊥面QBD CH在面QBD内的射影是OH ∵ OH⊥QD ∴ CH⊥QD 于是∠OHC是二面角的平面角． 设正方形ABCD边长2， 则OQ＝1，OD＝ ，QD＝ ． ∵ OH·QD＝OQ·OD ∴ OH＝ ． 又OC＝ 在Rt△COH中：tan∠OHC＝ ＝ · ＝ ∴ ∠OHC＝60° 故二面角B－QD－C等于60° 12. 如图，△ABC和△DBC所在的两个平面互相垂直，且AB=BC=BD，∠ABC= ∠DBC=120°，求 (1) A、D连线和直线BC所成角的大小； (2) 二面角A－BD－C正切。 解析：在平面ADC内作AH⊥BC，H是垂足，连HD．因为平面ABC⊥平面BDC．所以AH⊥平面BDC．HD是AD在平面BDC的射影．依题设条件可证得HD⊥BC，由三垂线定理得AD⊥BC，即异面直线AD和BC形成的角为90°． 在平面BDC内作HR⊥BD，R是垂足，连AR．HR是AR在平面BDC的射影，∴ AR⊥BD，∠ARH是二面角A－BD－C的平面角的补角，设AB=a，可得， ， ， ∴ ． ∴ 二面角A－BD－C的大小为π－arctg2． 13.  已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a，AB=a． 求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值． 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线． 解：因为  AB∥CD，CD 平面CPD，AB 平面CPD． 所以  AB∥平面CPD． 又  P∈平面APB，且P∈平面CPD， 因此  平面APB∩平面CPD=l，且P∈l． 所以  二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角． 因为  AB∥平面CPD，AB 平面APB，平面CPD∩平面APB=l， 所以  AB∥l． 过P作PE⊥AB，PE⊥CD． 因为  l∥AB∥CD， 因此  PE⊥l，PF⊥l， 所以  ∠EPF是二面角B-l-C的平面角． 因为  PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a， 因为  E，F分别是AB，CD的中点， 所以  EF=BC=a． 在△EFP中， � EMBED AutoCAD.Drawing.14 ��� _1385876410.unknown _1385876570.unknown _1385876624.unknown _1385876640.unknown _1385876674.unknown _1385876678.unknown _1385876680.unknown _1385876918.unknown _1385876919.unknown _1385876920.unknown _1385876917.unknown _1385876679.unknown _1385876676.unknown _1385876677.unknown _1385876675.unknown _1385876644.unknown _1385876646.unknown _1385876647.unknown _1385876645.unknown _1385876642.unknown _1385876643.unknown _1385876641.unknown _1385876632.unknown _1385876636.unknown _1385876638.unknown _1385876639.unknown _1385876637.unknown _1385876634.unknown _1385876635.unknown _1385876633.unknown _1385876628.unknown _1385876630.unknown _1385876631.unknown _1385876629.unknown _1385876626.unknown _1385876627.unknown _1385876625.unknown _1385876616.unknown _1385876620.unknown _1385876622.unknown _1385876623.unknown _1385876621.unknown _1385876618.unknown _1385876619.unknown _1385876617.unknown _1385876574.unknown _1385876614.unknown _1385876615.unknown _1385876575.unknown _1385876572.unknown _1385876573.unknown _1385876571.unknown _1385876426.unknown _1385876434.unknown _1385876473.unknown _1385876568.unknown _1385876569.unknown _1385876567.unknown _1385876471.unknown _1385876472.unknown _1385876470.unknown _1385876430.unknown _1385876432.unknown _1385876433.unknown _1385876431.unknown _1385876428.unknown _1385876429.unknown _1385876427.unknown _1385876418.unknown _1385876422.unknown _1385876424.unknown _1385876425.unknown _1385876423.unknown _1385876420.unknown _1385876421.unknown _1385876419.unknown _1385876414.unknown _1385876416.unknown _1385876417.unknown _1385876415.unknown _1385876412.unknown _1385876413.unknown _1385876411.unknown _1385876394.unknown _1385876402.unknown _1385876406.unknown _1385876408.unknown _1385876409.unknown _1385876407.unknown _1385876404.unknown _1385876405.unknown _1385876403.unknown _1385876398.unknown _1385876400.unknown _1385876401.unknown _1385876399.unknown _1385876396.unknown _1385876397.unknown _1385876395.unknown _1385876215.unknown _1385876390.unknown _1385876392.unknown _1385876393.unknown _1385876391.unknown _1385876217.unknown _1385876218.unknown _1385876216.unknown _1156274582.unknown _1385876144.unknown _1385876146.unknown _1385876170.unknown _1385876145.unknown _1385876141.unknown _1385876142.unknown _1385876143.dwg _1385876140.unknown _1156334659.unknown _1156274264.unknown _1156274375.unknown _1156274436.unknown _1156274358.unknown _1061895336.unknown _1061895370.unknown _1061895406.unknown _1061895376.unknown _1061894700.unknown _1061895308.unknown _1061034896.unknown _1061034948.unknown _1057130140.unknown