2012年高考圆锥曲线真题汇编——文科数学（解析版）

2012高考试题分类汇编：8：圆锥曲线 一、选择题 1.【2012高考新课标文4】设是椭圆 的左、右焦点， 为直线上一点， 是底角为的等腰三角形，则 的离心率为（ ） EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 【 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 】C 【解析】因为 是底角为的等腰三角形，则有 ,，因为 ，所以 , ，所以 ，即 ，所以 ，即 ，所以椭圆的离心率为 ，选C. 2.【2012高考新课标文10】等轴双曲线 的中心在原点，焦点在 轴上， 与抛物线 的准线交于 两点， ；则 的实轴长为（ ） EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 【答案】C 【解析】设等轴双曲线方程为 ，抛物线的准线为 ，由 ,则 ,把坐标 代入双曲线方程得 ，所以双曲线方程为 ，即 ，所以 ，所以实轴长 ，选C. 3.【2012高考山东文11】已知双曲线 ： 的离心率为2.若抛物线 的焦点到双曲线 的渐近线的距离为2，则抛物线 的方程为 (A) 　(B) 　　(C) 　　(D) 【答案】D 【解析】抛物线的焦点 ，双曲线的渐近线为 ，不妨取 ，即 ，焦点到渐近线的距离为 ，即 ，所以 双曲线的离心率为 ，所以 ，所以 ，所以抛物线方程为 ，选D. 4.【2012高考全国文5】椭圆的中心在原点，焦距为 ，一条准线为 ，则该椭圆的方程为 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】椭圆的焦距为4，所以 因为准线为 ，所以椭圆的焦点在 轴上，且 ，所以 ， ，所以椭圆的方程为 ，选C. 5.【2012高考全国文10】已知 、 为双曲线 的左、右焦点，点 在 上， ，则 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】双曲线的方程为 ，所以 ，因为|PF1|=|2PF2|，所以点P在双曲线的右支上，则有|PF1|-|PF2|=2a= ,所以解得|PF2|= ，|PF1|= ，所以根据余弦定理得 ,选C. 6.【2012高考浙江文8】 如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点。若M，O，N将椭圆长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是 A.3 B.2 C. D. 【答案】B 【解析】设椭圆的长轴为2a，双曲线的长轴为 ，由M，O，N将椭圆长轴四等分，则 ，即 ，又因为双曲线与椭圆有公共焦点，设焦距均为c，则双曲线的离心率为 ， ， . 7.【2012高考四川文9】已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点 ，并且经过点 。若点 到该抛物线焦点的距离为 ，则 （ ） A、 B、 C、 D、 【答案】B 【解析】根据题意可设设抛物线方程为 ，则点 EMBED Equation.DSMT4 焦点 ，点 到该抛物线焦点的距离为 ， ， 解得 ，所以 . 8.【2012高考四川文11】方程 中的 ，且 互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ） A、28条 B、32条 C、36条 D、48条 【答案】B 【解析】本题可用排除法， ，5选3全排列为60，这些方程所表示的曲线要是抛物线，则 且 ,，要减去 ，又 时，方程出现重复，重复次数为4，所以不同的抛物线共有60-24-4=32条.故选B. 9.【2012高考上海文16】对于常数 、 ，“ ”是“方程 的曲线是椭圆”的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件 【答案】B. 【解析】∵ ＞0，∴ 或 。 方程 =1表示的曲线是椭圆，则一定有 故“ ＞0”是“方程 =1表示的是椭圆”的必要不充分条件。 10.【2012高考江西文8】椭圆 的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2。若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列，则此椭圆的离心率为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】椭圆的顶点 ,焦点坐标为 ，所以 ， ,又因为 ， ， 成等比数列，所以有 ，即 ，所以 ，离心率为 ，选B. 11.【2012高考湖南文6】已知双曲线C ： =1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为 - A． =1[w~#ww.zz&st^ep.com@] - =1 D. - =1 C. - =1 B. - 【答案】A 【解析】设双曲线C ： =1的半焦距为 -，则 . 又 C 的渐近线为 ，点P （2,1）在C 的渐近线上， ，即 . 又 ， ， C的方程为 =1. - 【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型. 12.【2102高考福建文5】已知双曲线-=1的右焦点为（3,0），则该双曲线的离心率等于 A B C D 【答案】C. 【解析】根据焦点坐标 知 ，由双曲线的简单几何性质知 ，所以 ，因此 .故选C. 二 、填空题 13.【2012高考四川文15】椭圆 为定值，且 的的左焦点为 ，直线 与椭圆相交于点 、 ， 的周长的最大值是12，则该椭圆的离心率是______。 【答案】 ， 【解析】当直线 过右焦点时 的周长最大，最大周长为 ； ，即 ， 14.【2012高考辽宁文15】已知双曲线x2 y2 =1,点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________. 【答案】 【解析】由双曲线的方程可知 【点评】本题主要考查双曲线的定义、标准方程以及转化思想和运算求解能力，难度适中。解题时要充分利用双曲线的定义和勾股定理，实现差—积—和的转化。 15.【2012高考江苏8】（5分）在平面直角坐标系 中，若双曲线 的离心率为 ，则 的值为 ▲ ． 【答案】2。 【考点】双曲线的性质。 【解析】由 得 。 ∴ ，即 ，解得 。 16.【2012高考陕西文14】右图是抛物线形拱桥，当水面在 时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米. 【答案】 . 【解析】设水面与桥的一个交点为A，如图建立直角坐标系则，A的坐标为（2，-2）.设抛物线方程为 ，带入点A得 ，设水位下降1米后水面与桥的交点坐标为 ，则 ，所以水面宽度为 . 17.【2012高考重庆文14】设 为直线 与双曲线 左支的交点， 是左焦点， 垂直于 轴，则双曲线的离心率 【答案】 【解析】由 得 ，又 垂直于 轴，所以 ，即离心率为 。 18.【2012高考安徽文14】过抛物线 的焦点 的直线交该抛物线于 两点，若 ，则 =______。 【答案】 【解析】设 及 ；则点 到准线 的距离为 ， 得： 又 。 19.【2012高考天津文科11】已知双曲线 与双曲线 有相同的渐近线，且 的右焦点为 ,则 【答案】1，2 【解析】双曲线的 渐近线为 ，而 的渐近线为 ，所以有 ， ，又双曲线 的右焦点为 ，所以 ，又 ，即 ，所以 。 三、解答题 20.（本小题满分14分） 已知椭圆（a>b>0）,点P（,）在椭圆上。 （I）求椭圆的离心率。 （II）设A为椭圆的右顶点，O为坐标原点，若Q在椭圆上且满足|AQ|=|AO|求直线 的斜率的值。 【答案】 21.【2012高考江苏19】（16分）如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的左、右焦点分别为 ， ．已知 和 都在椭圆上，其中 为椭圆的离心率． （1）求椭圆的方程； （2）设 是椭圆上位于 轴上方的两点，且直线 与直线 平行， 与 交于点P． （i）若 ，求直线 的斜率； （ii）求证： 是定值． 【答案】解：（1）由题设知， ，由点 在椭圆上，得 ，∴ 。 由点 在椭圆上，得 ∴椭圆的方程为 。 （2）由（1）得 ， ，又∵ ∥ ， ∴设 、 的方程分别为 ， 。 ∴ 。 ∴ 。① 同理， 。② （i）由① = 2 \* GB3 ②得， 。解 得 =2。 ∵注意到 ，∴ 。 ∴直线 的斜率为 。 （ii）证明：∵ ∥ ，∴ ，即 。 ∴ 。 由点 在椭圆上知， ，∴ 。 同理。 。 ∴ 由① = 2 \* GB3 ②得， ， ， ∴ 。 ∴ 是定值。 【考点】椭圆的性质，直线方程，两点间的距离公式。 【解析】（1）根据椭圆的性质和已知 和 都在椭圆上列式求解。 （2）根据已知条件 ，用待定系数法求解。 22.【2012高考安徽文20】（本小题满分13分） 如图， 分别是椭圆 ： + =1（ EMBED Equation.3 ）的左、右焦点， 是椭圆 的顶点， 是直线 与椭圆 的另一个交点， EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 =60°. （Ⅰ）求椭圆 的离心率； （Ⅱ）已知△ EMBED Equation.3 的面积为40 ，求a, b 的值. 【解析】 23.【2012高考广东文20】（本小题满分14分） 在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： （ ）的左焦点为 ，且点 在 上. （1）求椭圆 的方程； （2）设直线 同时与椭圆 和抛物线 ： 相切，求直线 的方程. 【答案】 【解析】（1）因为椭圆 的左焦点为 ，所以 ， 点 代入椭圆 ，得 ，即 ， 所以 ， 所以椭圆 的方程为 . （2）直线 的斜率显然存在，设直线 的方程为 ， ，消去 并整理得 ， 因为直线 与椭圆 相切，所以 ， 整理得 ① ，消去 并整理得 。 因为直线 与抛物线 相切，所以 ， 整理得 ② 综合①②，解得 或 。 所以直线 的方程为 或 。 24.【2102高考北京文19】(本小题共14分) 已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的一个顶点为A （2,0），离心率为， 直线y=k(x-1)与椭圆C交与不同的两点M,N （Ⅰ）求椭圆C的方程 （Ⅱ）当△AMN的面积为时，求k的值 【答案】 25.【2012高考山东文21】 (本小题满分13分) 如图，椭圆 的离心率为 ，直线 和 所围成的矩形ABCD的面积为8. (Ⅰ)求椭圆M的标准方程； (Ⅱ) 设直线 与椭圆M有两个不同的交点 与矩形ABCD有两个不同的交点 .求 的最大值及取得最大值时m的值. 【答案】(21)(I) ……① 矩形ABCD面积为8，即 ……② 由①②解得： ， ∴椭圆M的标准方程是 . (II) ， 设 ，则 ， 由 得 . . 当 过 点时， ，当 过 点时， . ①当 时，有 ， ， 其中 ，由此知当 ，即 时， 取得最大值 . ②由对称性，可知若 ，则当 时， 取得最大值 . ③当 时， ， ， 由此知，当 时， 取得最大值 . 综上可知，当 和0时， 取得最大值 . 26.【2102高考福建文21】（本小题满分12分） 如图，等边三角形OAB的边长为，且其三个顶点均在抛物线E：x2=2py（p＞0）上。 （1） 求抛物线E的方程； （2） 设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y=-1相较于点Q。证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点。 【答案】 27.【2012高考上海文22】（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分 在平面直角坐标系 中，已知双曲线 （1）设 是 的左焦点， 是 右支上一点，若 ，求点 的坐标； （2）过 的左焦点作 的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积； （3）设斜率为 （ ）的直线 交 于 、 两点，若 与圆 相切，求证： ⊥ 【答案】 28．【2012高考新课标文20】（本小题满分12分） 设抛物线C：x2=2py(p>0)的焦点为F，准线为l，A为C上一点，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点. （I）若∠BFD=90°,△ABD的面积为4 eq \r(2)，求p的值及圆F的方程； （II）若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值. 【答案】 29.【2012高考浙江文22】本题满分14分）如图，在直角坐标系xOy中，点P（1， ）到抛物线C： =2px（P＞0）的准线的距离为 。点M（t，1）是C上的定点，A，B是C上的两动点，且线段AB被直线OM平分。 （1）求p,t的值。 （2）求△ABP面积的最大值。 【答案】 【解析】 （1）由题意得 ，得 . （2）设 ，线段AB的中点坐标为 由题意得，设直线AB的斜率为k（k ）. 由 ，得 ，得 所以直线的方程为 ，即 . 由 ，整理得 ， 所以 ， ， .从而得 ， 设点P到直线AB的距离为d，则 ，设 ABP的面积为S，则 . 由 ，得 . 令 ， ，则 . 设 ， ，则 . 由 ，得 ，所以 ，故 ABP的面积的最大值为 . 30.【2012高考湖南文21】（本小题满分13分） 在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，离心率为 的椭圆E的一个焦点为圆C：x2+y2-4x+2=0的圆心.[中国教育出%版网^@*&] （Ⅰ）求椭圆E的方程； （Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积为 的直线l1，l2.当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标. 【答案】 【解析】（Ⅰ）由 ，得 .故圆Ｃ的圆心为点 从而可设椭圆Ｅ的方程为 其焦距为 ，由题设知 故椭圆Ｅ的方程为： （Ⅱ）设点 的坐标为 ， 的斜分率分别为 则 的方程分别为 且 由 与圆 相切，得 　　 ， 即　　　　　 同理可得　　 . 从而 是方程 的两个实根，于是 　　　　　　　 　　　　　　　① 且 由 得 解得 或 由 得 由 得 它们满足①式，故点Ｐ的坐标为 ，或 ，或 ，或 . 【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出 即得椭圆E的方程，第二问设出点P坐标，利用过P点的两条直线斜率之积为 ，得出关于点P坐标的一个方程，利用点P在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P坐标. 31.【2012高考湖北文21】（本小题满分14分） 设A是单位圆x2+y2=1上任意一点，l是过点A与x轴垂直的直线，D是直线l与x轴的交点，点M在直线l上，且满足当点A在圆上运动时，记点M的轨迹为曲线C。 （1）求曲线C的方程，判断曲线C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标。 （2）过原点斜率为K的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，且它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H，是否存在m,使得对任意的K>0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由。 21. 【答案】 【解析】本题考查椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系；考查分类讨论的数学思想以及运算求解的能力.本题是一个椭圆模型，求解标准方程时注意对焦点的位置分类讨论，不要漏解；对于探讨性问题一直是高考考查的热点，一般先假设结论成立，再逆推所需要求解的条件，对运算求解能力和逻辑推理能力有较高的要求. 32.【2012高考全国文22】（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效） 已知抛物线 与圆 有一个公共点 ，且在点 处两曲线的切线为同一直线 . （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）设 、 是异于 且与 及 都相切的两条直线， 、 的交点为 ，求 到 的距离。 【答案】 33.【2012高考辽宁文20】(本小题满分12分) 如图，动圆 ,1