1．（2008全国Ⅰ）已知函数
，
．
（Ⅰ）讨论函数
的单调区间；
（Ⅱ）设函数
在区间
内是减函数，求
的取值范围．
2．(2009全国1文)已知函数
.
（Ⅰ）讨论
的单调性；
（Ⅱ）设点P在曲线
上，若该曲线在点P处的切线
通过坐标原点，求
的方程
3．(2010全国1文)
已知函数
（
）当
时，求
的极值;
（
）若
在
上是增函数，求
的取值范围
4. 已知函数
(Ⅰ)证明：曲线
（Ⅱ）若
求a的取值范围。
5.已知函数
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）设f（x）有两个极值点
若过两点
的直线
与x轴的交点在曲线
上，求α的值。
1.解：（1）
求导：
当
时，
，
在
上递增
当
，
求得两根为
即
在
递增，
递减，
递增
（2）
，且
解得：
2.解：（Ⅰ）
令
得
或
；
令
得
或
因此，
在区间
和
为增函数；在区间
和
为减函数。
（Ⅱ）设点
，由
过原点知，
的方程为
，
因此
，即
，整理得
，解得
或
。
所以的方程为
或
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
3.解：
（Ⅰ）
当
时，
，
在
内单调递减，在
内单调增，在
时，
有极小值。
所以
是
的极小值。
（Ⅱ）在
上，
单调增加当且仅当
即
①
（i）当
时，①恒成立；
（ii）当
时，①成立，当且仅当
解得
（iii）当
时，①成立，即
成立
当且仅当
解得
综上，
的取值范围是
。
4. 解：（I）
.
由
得曲线
在x=0处的切线方程为
由此知曲线
在x=0处的切线过点（2，2）。
（II）由
得
（i）当
时，
没有极小值；
(ii)当
或
时，由
得
故
。由题设知
，
当
时，不等式
无解；
当
时，解不等式
得
综合(i)(ii)得
的取值范围是
。
5. 解：（1）依题意可得
当
即
时，
恒成立，故
，所以函数
在
上单调递增；
当
即
时，
有两个相异实根
且
故由
或
，此时
单调递增
由
，此时此时
单调递增递减
综上可知
当
时，
在
上单调递增；当
时，
在
上单调递增，在
单调递增，在
单调递减。
（2）由题设知，
为方程
的两个根，故有
因此
同理
因此直线
的方程为
设
与
轴的交点为
，得
而
由题设知，点
在曲线
的上，故
，解得
或
或
所以所求
的值为
或
或
。
6. （Ⅰ）当
时，
.
令
，得，
，
.
当
时，
，
在
是增函数；
当
时，
，
在
是减函数；
当
时，
，
在
是增函数；
（Ⅱ）由
得，
.
当
，
时，
，
所以
在
是增函数，于是当
时，
.
综上，a的取值范围是
.
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