三角形的五心讲义-重心、垂心、内心、外心、旁心

三角形的五心讲义-重心、垂心、内心、外心、旁心2016届高三数学讲义 ————三角形的“五心”———— （Ⅰ）“五心”的概念及性质一、外心（1）定义：三角形三边垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．（2）外心的位置锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外．（3）性质 C 垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．外心的性质：到三角形三个顶点距离相等．内心到三顶点距离R(三角形外接圆半径) R= (某边除以它对角正弦的2倍) 证明过程如下: 连接AO并延长交圆O于D,则AD为圆直径,AD=2R...

2016届高三数学讲义 ————三角形的“五心”———— （Ⅰ）“五心”的概念及性质一、外心（1）定义：三角形三边垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心)．（2）外心的位置锐角三角形的外心在三角形内；直角三角形的外心在斜边中点；钝角三角形的外心在三角形外．（3）性质 C 垂直平分线的性质：到线段两端点距离相等．外心的性质：到三角形三个顶点距离相等．内心到三顶点距离R(三角形外接圆半径) R= (某边除以它对角正弦的2倍) 证明过程如下: 连接AO并延长交圆O于D,则AD为圆直径,AD=2R．又 (直径所对的圆周角是 ),AB=c, (同弧AB所对的圆周角相等),∴AD= ,即2R , R= ．延伸①:正弦定理由于R= ,同理易证 ,变形得到正弦定理: (每边除以它所对角的正弦为2R) 延伸②:余弦定理（）证明过程如下： D 作CD AB交其于D， ∴ ，BD= ，，又，即 = ，其他边角也同求．二、内心（1）定义：三角形三条内角平分线的交点,也是三角形内切圆的圆心．（2）性质角平分线的性质：到角两边距离相等．内心的性质：到三角形三边距离相等．延伸 c ①：内角平分线定理如图，AD为△ABC中的平分线，则有证明过程如下：作BE//AC交其延长线于E,则． ∵ ,∴ , =c．又∵BE//AC,易证△ADC ∽ △EDB, ∴ ,得证．延伸②：外角平分线定理如图，AD为△ABC的外角平分线，交BC 延长线于D，则有 F 证明过程如下：作CE//AB交AD于E,则． ∵ ,∴ , ．又∵CE//AB,易证△ADB ∽ △EDC, ∴ ,得证．延伸③：三角形内角平分线长公式 E 如图，AD为△ABC中的平分线，则有证明过程如下：作BE//AC交其延长线于E,BF AE交其于F．由前文的内角平分线定理可知，△ADC ∽ △EDB, ∴ ．又 ,即．而△ABE为等腰三角形, BF AE, ∴ ,∴ ．延伸 E ④：内心到三边距离r(三角形内切圆半径) 设三角形面积为S，则有证明过程如下：连接OA,OB,OC． ∵相切，∴ ，即S△AOB = ，同理 S△AOC = ，S△BOC = ．又∵S=S△AOB + S△AOC + S△BOC ,即S= , ∴ ．三、重心（1）定义：三角形三条中线的交点．（2）性质 H 中线性质:将三角形面积等分成两部分．重心性质:分三角形的中线两段长比例为2:1(长:短) 如图:AD,BE,CF为△ABC三条中线，G为其重心，则有证明过程如下：作BH//FC交AD延长线于H,易证△GDC ≌ △HDB，∴ 又∵BH//FG，F为AB中点，∴G也为AH中点，即， C ∴ ，其他同证．延伸:三角形中线长公式如图,AD为△ABC的中线,则有证明过程如下: 作BE//AC交AD延长线于E,易证△ADC ≌ △EDB， ∴ ，∵BE//AC，∴ ．作AF EB交其延长线于F．又AB=c，∴BF=AB = ，AF= ，故EF= ． ∴ = 四、垂心（1）定义：三角形三条高的交点．（2）性质斜三角形的三个顶点与垂心这四个点中，任何三个为顶点的三角形的垂心就是第四个点．所以把这样的四个点称为一个“垂心组”．五、旁心（1）定义：三角形的一条内角平分线与另两个外角平分线的交点(旁切圆的圆心)．（2）性质每个三角形都有三个旁切圆．三角形的四心（内心、重心、垂心、外心）只有一个，但旁心有三个，旁心到三角形三边所在直线距离相等．（Ⅱ）三角形“四心”与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小．在高中数学 “平面向量”（必修4第二章）的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题．在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系．下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质．既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感．一、“重心”的向量风采【命题1】已知是所在平面上的一点，若，则是的重心．如图⑴． M 图⑵ 图⑴ 【命题2】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的重心．【解析】由题意，当时，由于表示边上的中线所在直线的向量，所以动点的轨迹一定通过的重心，如图⑵．二、“垂心”的向量风采【命题3】是所在平面上一点，若，则是的垂心．【解析】由，得，即，所以．同理可证，．∴ 是的垂心．如图⑶．图⑷ 图⑶ 【命题4】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的垂心．【解析】由题意，由于，即 ,所以表示垂直于的向量，即点在过点且垂直于的直线上，所以动点的轨迹一定通过的垂心，如图⑷．三、“内心”的向量风采【命题5】已知为所在平面上的一点，且，，．若，则是的内心．图⑹ 图⑸ 【解析】 ∵ ，，则由题意得， ∵ ， ∴ ．∵ 与分别为和方向上的单位向量， ∴ 与平分线共线，即平分．同理可证：平分，平分．从而是的内心，如图⑸．【命题6】已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的内心．【解析】由题意得，∴当时，表示的平分线所在直线方向的向量，故动点的轨迹一定通过的内心，如图⑹．四、“外心”的向量风采【命题7】已知是所在平面上一点，若，则是的外心．图⑺ 图⑻ 【解析】若，则，∴ ，则是的外心，如图⑺．【命题7】已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的外心．【解析】由于过的中点，当时，表示垂直于的向量（注意：理由见二、命题4解释．），所以在垂直平分线上，动点的轨迹一定通过的外心，如图⑻．

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