平面法向量的求法及其应用
一、 平面的法向量
1、定义：如果
，那么向量
叫做平面
的法向量。平面
的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。
2、平面法向量的求法
方法 (外积法): 设
,
为空间中两个不平行的非零向量，其外积
为一长度等于
，（θ为
,
两者交角，且
），而与
,
皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由
的方向转为
的方向时，大拇指所指的方向规定为
的方向,
。
（注：1、二阶行列式:
；2、适合右手定则。）
例1、 已知，
，
试求（1）：
（2）：
Key: (1)
;
例2、如图1-1,在棱长为2的正方体
中，
求平面AEF的一个法向量
。
二、 平面法向量的应用
1、 求空间角
(1)、求线面角：如图2-1，设
是平面
的法向量，
AB是平面
的一条斜线，
，则AB与平面
所成的角为：
图2-1-1:
图2-1-2:
(2)、求面面角:设向量
，
分别是平面
、
的法向量，则二面角
的平面角为
（图2-2）;
(图2-3)
两个平面的法向量方向选取合适,可使法向量夹角就等于二面角的平面角。约定，在图2-2中，
的方向对平面
而言向外，
的方向对平面
而言向内；在图2-3中，
的方向对平面
而言向内，
的方向对平面
而言向内。我们只要用两个向量的向量积（简称“外积”，满足“右手定则”）使得两个半平面的法向量一个向内一个向外，则这两个半平面的法向量的夹角即为二面角
的平面角。
2、 求空间距离
（1）、异面直线之间距离:
方法指导：如图2-4,①作直线a、b的方向向量
、
，
求a、b的法向量
，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；
②在直线a、b上各取一点A、B，作向量
；
③求向量
在
上的射影d，则异面直线a、b间的距离为
,其中
（2）、点到平面的距离:
方法指导：如图2-5,若点B为平面α外一点，点A
为平面α内任一点，平面的法向量为
，则点B到
平面α的距离公式为
（3）、直线与平面间的距离:
方法指导：如图2-6,直线
与平面
之间的距离：
，其中
。
是平面
的法向量
（4）、平面与平面间的距离:
方法指导：如图2-7,两平行平面
之间的距离：
，其中
。
是平面
、
的法向量。
3、
证明
（1）、证明线面垂直：在图2-8中,
向是平面
的法向量，
是直线a的方向向量，
证明平面的法向量与直线所在向量共线（
）。
（2）、证明线面平行：在图2-9中,
向是平面
的法向量，
是直线a的方向向量，
证明平面的法向量与直线所在向量垂直（
）。
（3）、证明面面垂直：在图2-10中，
是平面
的法向量，
是平面
的法向量，
证明两平面的法向量垂直（
）
（4）、证明面面平行：在图2-11中,
向是平面
的法向量，
是平面
的法向量，
证明两平面的法向量共线（
）。
三、高考真题新解
已知如图3-1,四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，
底面ABCD，且PA=AD=DC=
AB=1，M是PB的中点（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（III）求平面AMC与平面PCD的二面角的平面角
解:以A点为原点,以分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz如图所示.
，
，设平面PAD的法向
，
，设平面PCD的法向量为
，
，即平面PAD
平面PCD。
，
，
，
，设平面AMC的法向量为
.
又
,设平面PCD的法向量为
.
.
面AMC与面BMC所成二面角的大小为
.
2、如图3-2，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
已知AB＝AA1＝a，BC＝
a，M是AD的中点。
(Ⅰ)求证：AD∥平面A1BC；
(Ⅱ)求证：平面A1MC⊥平面A1BD1；
(Ⅲ)求点A到平面A1MC的距离。
解:以D点为原点,分别以DA,DC,DD1为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系D-xyz如图所示.
,
,设平面A1BC的法向量为
又
,
,
,即AD//平面A1BC.
,
,
设平面A1MC的法向量为:
,
又
,
,设平面A1BD1的法向量为:
,
,
,即平面A1MC
平面A1BD1.
设点A到平面A1MC的距离为d,
是平面A1MC的法向量,
又
,
A点到平面A1MC的距离为:
.
四、 用空间向量解决立体几何的“三步曲”
(1)、建立空间直角坐标系(利用现有三条两两垂直的直线，注意已有的正、直条件,相关几何知识的综合运用，建立右手系)，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）、通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；（进行向量运算）
（3）、把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。（回到图形问题）
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