2015重庆
9. 设双曲线的右焦点是F,左、右顶点分别是
,过F做
的垂线与双曲线交于B,C两点,若
,则双曲线的渐近线的斜率为
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】C
【解析】
考点:双曲线的几何性质.
12. 若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为___________.
【答案】x+2y-5=0
【解析】
试题分析:由点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方程为:
,所以该圆在点P处的切线方程为
即x+2y-5=0;
故填:x+2y-5=0.
考点:圆的切线.
21、(本小题满分12分,(I)小问5分,(II)小问7分)
如题(21)图,椭圆
(
>
>0)的左右焦点分别为
,
,且过
的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ
.
(I) 若|
|=2+
,|
|=2-
,求椭圆的标准方程.
(II) 若|PQ|=
|
|,且
,试确定椭圆离心率的取值范围.
【答案】(Ⅰ)
;(Ⅱ)
.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)由椭圆的定义知
可求出a的值,再由
及勾股定理可求得c的值,最后由
求得b的值,从而根据椭圆的标准方程
得到结果;
(Ⅱ)由
,得
由椭圆的定义,
,进而
于是
.解得
,故
.
再注意到
从而
,
两边除以
,得
,若记
,则上式变成
.再由
,并注意函数的单调性,即可求得离心率e的取值范围。
试题解析:(1)由椭圆的定义,
设椭圆的半焦距为c,由已知
,因此
即
从而
故所求椭圆的标准方程为
.
(2)如题(21)图,由
,得
由椭圆的定义,
,进而
于是
.
解得
,故
.
由勾股定理得
,
从而
,
两边除以
,得
,
若记
,则上式变成
.
由
,并注意到
关于
的单调性,得
,即
,进而
,即
.
考点:1. 椭圆的标准方程;2. 椭圆的定义;3.函数与方程思想.
2015浙江
7、如图,斜线段
与平面
所成的角为
,
为斜足,平面
上的动点
满足
,则点
的轨迹是( )
A.直线 B.抛物线
C.椭圆 D.双曲线的一支
【答案】C
【解析】
试题分析:由题可知,当P点运动时,在空间中,满足条件的AP绕AB旋转形成一个圆锥,用一个与圆锥高成
角的平面截圆锥,所得图形为椭圆.故选C.
考点:1.圆锥曲线的定义;2.线面位置关系.
15、椭圆
(
)的右焦点
关于直线
的对称点
在椭圆上,则椭圆的离心率是 .
【答案】
考点:1.点关于直线对称;2.椭圆的离心率.
19. (本题满分15分)如图,已知抛物线
,圆
,过点
作不过原点O的直线PA,PB分别与抛物线
和圆
相切,A,B为切点.
(1)求点A,B的坐标;
(2)求
的面积.
注:直线与抛物线有且只有一个公共点,
且与抛物线的对称轴不平行,则该直线
与抛物线相切,称该公共点为切点.
【答案】(1)
;(2)
因为直线PA与抛物线相切,所以
,解得
.
所以
,即点
.
设圆
的圆心为
,点
的坐标为
,由题意知,点B,O关于直线PD对称,故有
,
解得
.即点
.
(2)由(1)知,
,
直线AP的方程为
,
所以点B到直线PA的距离为
.
所以
的面积为
.
考点:1.抛物线的几何性质;2.直线与圆的位置关系;3.直线与抛物线的位置关系
2015新课标2
7. 已知三点
,则△
外接圆的圆心到原点的距离为( )
【答案】B
考点:直线与圆的方程.
15. 已知双曲线过点
,且渐近线方程为
,则该双曲线的标准方程为 .
【答案】
考点:双曲线几何性质
20. (本小题满分12分)已知椭圆
的离心率为
,点
在C上.
(I)求C的方程;
(II)直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明:直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.
【答案】(I)
(II)见试题解析
考点:直线与椭圆
2015新课标1
5、已知椭圆E的中心为坐标原点,离心率为
,E的右焦点与抛物线
的焦点重合,
是C的准线与E的两个交点,则
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】B
考点:抛物线性质;椭圆标准方程与性质
16.已知
是双曲线
的右焦点,P是C左支上一点,
,当
周长最小时,该三角形的面积为 .
【答案】
考点:双曲线的定义;直线与双曲线的位置关系;最值问题
20. (本小题满分12分)已知过点
且斜率为k的直线l与圆C:
交于M,N两点.
(
)求k的取值范围;
(
)
,其中O为坐标原点,求
.
【答案】(
)
(
)2
【解析】
试题分析:(
)设出直线l的方程,利用圆心到直线的距离小于半径列出关于k的不等式,即可求出k的取值范围;(
)设
,将直线l方程代入圆的方程化为关于x的一元二次方程,利用韦达定理将
用k表示出来,利用平面向量数量积的坐标公式及
列出关于k方程,解出k,即可求出|MN|.
试题解析:(
)由题设,可知直线l的方程为
.
因为l与C交于两点,所以
.
解得
.
所以
的取值范围是
.
(
)设
.
将
代入方程
,整理得
,
所以
,
由题设可得
,解得
,所以l的方程为
.
故圆心在直线l上,所以
.
考点:直线与圆的位置关系;设而不求思想;运算求解能力
2015天津
5. 已知双曲线
的一个焦点为
,且双曲线的渐近线与圆
相切,则双曲线的方程为( )
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】D
考点:圆与双曲线的性质.
6. 如图,在圆O中,M,N是弦AB的三等分点,弦CD,CE分别经过点M,N,若CM=2,MD=4,CN=3,则线段NE的长为( )
(A)
(B) 3 (C)
(D)
【答案】A
【解析】
试题分析:由相交弦定理可
故选A.
考点:相交弦定理
19. (本小题满分14分) 已知椭圆
的上顶点为B,左焦点为
,离心率为
,
(
)求直线BF的斜率;
(
)设直线BF与椭圆交于点P(P异于点B),故点B且垂直于BF的直线与椭圆交于点Q(Q异于点B)直线PQ与x轴交于点M,
.
(
)求
的值;
(
)若
,求椭圆的方程.
【答案】(
)2;(
)(
)
;(
)
【解析】
试题分析:(
)先由
及
得
,直线BF的斜率
;(
)先把直线BF,BQ的方程与椭圆方程联立,求出点P,Q横坐标,可得
(
)先由
得
=
,由此求出c=1,故椭圆方程为
试题解析:(
)
,由已知
及
可得
,又因为
,故直线BF的斜率
.
(
)设点
,(
)由(
)可得椭圆方程为
直线BF的方程为
,两方程联立消去y得
解得
.因为
,所以直线BQ方程为
,与椭圆方程联立消去y得
,解得
.又因为
,及
得
(
)由(
)得
,所以
,即
,又因为
,所以
=
.
又因为
, 所以
,因此
所以椭圆方程为
考点:直线与椭圆.
2015四川
7、过双曲线
的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A、B两点,则|AB|=( )
(A)
(B)2
(C)6 (D)4
【答案】D
10、设直线l与抛物线y2=4x相较于A,B两点,与圆C:(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于点M,且M为线段AB中点,若这样的直线l恰有4条,则r的取值范围是( )
(A)(1,3) (B)(1,4) (C)(2,3) (D)(2,4)
【答案】D
20、(本小题满分13分)
如图,椭圆E:
(a>b>0)的离心率是
,点(0,1)在短轴CD上,且
=-1
(I)求椭圆E的方程;
(II)设O为坐标原点,过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数λ,使得
为定值?若存在,求λ的值;若不存在,请说明理由.
【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识,考查推理论证呢过能留、运算求解能力,考查数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.
(I)由已知,点C,D的坐标分别为(0,-b),(0,b)
又点P的坐标为(0,1),且
=-1
于是
,解得a=2,b=
所以椭圆E方程为
.
(II)当直线AB斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+1
A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)
联立
,得(2k2+1)x2+4kx-2=0
其判别式△=(4k)2+8(2k2+1)>0
所以
从而
=x1x2+y1y2+λ[x1x2+(y1-1)(y2-1)]
=(1+λ)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1
=
=-
所以,当λ=1时,-
=-3
此时,
=-3为定值
当直线AB斜率不存在时,直线AB即为直线CD
此时
=-2-1=-3
故存在常数λ=-1,使得
为定值-3.
2015上海
7.抛物线
上的动点
到焦点的距离的最小值为1,则
.
【答案】2
【解析】依题意,点
为坐标原点,所以
,即
.
【考点定位】抛物线的性质,最值.
12.已知双曲线
、
的顶点重合,
的方程为
,若
的一条渐近线的斜率是
的一条渐近线的斜率的2倍,则
的方程为 .
【答案】
【考点定位】双曲线的性质,直线的斜率.
18. 设
是直线
与圆
在第一象限的交点,则极限
( ).
A.
B.
C.
D.
【答案】A
22.(本题满分14分)本题共3个小题,第1小题4分,第2小题6分,第3小题6分.
已知椭圆
,过原点的两条直线
和
分别于椭圆交于
、
和
、
,设
的面积为
.
(1)设
,
,用
、
的坐标表示点
到直线
的距离,并证明
;
(2)设
,
,
,求
的值;
(3)设
与
的斜率之积为
,求
的值,使得无论
与
如何变动,面积
保持不变.
【答案】(1)详见解析;(2)
或
;(3)
.
由(1)得
由题意知
,
解得
或
.
(3)设
,则
,设
,
,
由
,的
,
同理
,
由(1)知,
,
整理得
,
由题意知
与
无关,
则
,解得
.
所以
.
【考点定位】椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系.
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