导数应用
考点1函数的单调性
1）在(a，b)内可导函数f(x)，f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.
f′(x)≥0?f(x)为增函数；
f′(x)≤0?f(x)为减函数。
2）导数在函数单调性方面的应用：
(1)利用导数判断函数的单调性；
(2)利用导数求函数的单调区间；
(3)已知函数单调性，求参数的范围．
3）导数法求函数单调区间的一般步骤：
第一步：求定义域：求函数y＝f(x)的定义域
第二步：求根：求方程f′(x)＝0在定义域内的根
第三步：划分区间：用求得的方程的根划分定义域所在的区间
第四步：定号：确定f′(x)在各个区间内的符号
第五步：结果：求得函数在相应区间上的单调性，即得函数y＝f(x)的单调区间．
考点2 函数的极值
（1）函判断f(x0)是极值的方法
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
①如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；
②如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．
（2）求可导函数极值的步骤：
①求出f′(x)；
②求方程 f′(x)=0的根；
③检查f′(x)在方程f′(x)=0的根左右两侧值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
考点3 函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(b)为函数的最大值，f(a)为函数的最小值．
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：
①求f(x)在(a，b)内的极值；
②将f(x)的各极值与f(a)、f(b) 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
三、例题精析
【例题1】
【题干】设函数f(x)＝x(ex－1)－ax2：
(1)若a＝，求f(x)的单调区间；
(2)若当x≥0时f(x)≥0，求a的取值范围．
例1.【解析】(1) a＝时，f(x)＝x(ex－1)－x2，
f′(x)＝ex－1＋xex－x＝(ex－1)(x＋1)．
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)>0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)<0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0.
所以f(x)在(－∞，－1)和(0，＋∞)上单调递增，在(－1，0)上单调递减．
故f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)，(0，＋∞)，单调递减区间为(－1,0)．
(2) f(x)＝x(ex－1－ax)．
令g(x)＝ex－1－ax，则g′(x)＝ex－a.
若a≤1，则当x∈(0，＋∞)时，
g′(x)>0，g(x)为增函数，而g(0)＝0，
从而当x≥0时，g(x)≥0，即f(x)≥0.
若a>1，则当x∈(0，lna)时，g′(x)<0，
g(x)为减函数，而g(0)＝0，
从而当x∈(0，lna)时，g(x)<0，即f(x)<0.
综合得a的取值范围为(－∞，1]．
【例题2】函数f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝xlnx.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)当x≠0时，求函数f(x)的极值．
例2【解析】（1）设x<0，则－x>0，
则f(－x)＝－xln(－x)，又因为f(x)为奇函数，
所以得到f(x)＝xln(－x)，
又当x＝0时，f(x)＝0，
则f(x)＝.
（2）当x>0时，f(x)＝xlnx，f′(x)＝lnx＋1.
令f′(x)<0得0
0得x>.
列表如下：
x
(0，)
(，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
单调递减
极小值
单调递增
所以，当x>0时，函数的极小值为f()＝－；
又因为函数f(x)是奇函数
所以当x<0时，函数的极大值为f(－)＝.
【例题3】已知f(x)＝xlnx.
(1)求函数y＝f(x)的图像在x＝e处的切线方程；
(2)设实数a>0，求函数F(x)＝在[a,2a]上的最小值．
例3.【解析】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝lnx＋1，
∵f(e)＝e，且f′(e)＝2，
∴函数y＝f(x)在x＝e处的切线方程为y＝2(x－e)＋e，即y＝2x－e.
(2)F′(x)＝(lnx＋1)，令F′(x)＝0得x＝.
当x∈(0，)时，F′(x)<0，F(x)单调递减；
当x∈(，＋∞)时，F′(x)>0，F(x)单调递增．
①当a≥时，F(x)在[a,2a]上单调递增，
F(x)min＝F(a)＝lna；
②当a<<2a，即0且b∈R
C．a<0且b≠0 D．a<0且b∈R
4、函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝__2______处取得极小值．
5．已知函数f(x)＝ax－lnx，若f(x)＞1在区间(1，＋∞)内恒成立，则实数a的取值范围为_ a≥1
【巩固】
1.已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．
(1)当a＝2时，求函数f(x)的递增区间；(－，)．
(2)函数f(x)是否为R上的单调函数，若是，求出a的取值范围；若不是，请说明理由．
2、已知函数f(x)＝ax3＋bx＋c在点x＝2处取得极值c－16.
(1)求a，b的值；a＝1，b＝－12
(2)若f(x)有极大值28，求f(x)在[－3,3]上的最小值．f(2)＝－4.
【拔高】
1.设f(x)＝alnx＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；a＝－1.
(2)求函数f(x)的极值．f(x)在x＝1处取得极小值f(1)＝3.
2、已知函数f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常数a，b∈R)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函数．
(1)求f(x)的表达式；a＝－，b＝0.
(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小值．
最大值为g()＝，最小值为g(2)＝.
课后作业
【基础】
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点的个数为( A )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．函数y＝xsinx＋cosx在下面哪个区间内是增加的( C )
A．(，) B．(π，2π) C．(，) D．(2π，3π)
3．函数y＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值、最小值分别是( A )
A．5；－15 B．5；－4
C．－4；－15 D．5；－16
4．设函数f(x)＝xex，则( D )
A．x＝1为f(x)的极大值点 B．x＝1为f(x)的极小值点
C．x＝－1为f(x)的极大值点 D．x＝－1为f(x)的极小值点
5．函数f(x)＝x3－6b2x＋3b在(0,1)内有极小值，则( C )
A．b>0 B．b< C．00)．
(1)求f(x)的最小值；f(x)＝ax＋＋b≥2＋b
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．a＝2，b＝－1
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