导数解答题之极值点偏移问题教师版

函数与导数解答题之极值点偏移问题 1.（2013湖南文21)已知函数 (Ⅰ)求 的单调区间; (Ⅱ) 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 :当 时, . 2.(2010天津理21）已知函数 . (Ⅰ) 求函数 的单调区间和极值； (Ⅱ)已知函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称，证明当 时， (Ⅲ)如果 且 证明 【解析】（Ⅰ）解：f’ 令f’(x)=0,解得x=1 当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表 X ( ) 1 ( ) f’(x) + 0 - f(x) 极大值         所以f(x)在( )内是增函数，在( )内是减函数。 函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)= （Ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x) 令F(x)=f(x)-g(x),即 于是 当x>1时，2x-2>0,从而 ’(x)>0,从而函数F（x）在[1,+∞)是增函数。 又F(1)= F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x). Ⅲ)证明：（1） 若 （2）若 根据（1）（2）得 由（Ⅱ）可知， > ,则 = ，所以 > ,从而 > .因为 ，所以 ，又由（Ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞，1）内事增函数，所以 > ,即 >2. 3.已知函数 ． （1）讨论 的单调性； （2）若函数 的两个零点为 ，证明： ． 试题分析：（1）首先求出函数 的导函数，然后利用导数研究函数的单调性与最值，进而得出所求的结果；（2）首先由函数 的两个零点为 并结合（1）可得0＜x1＜a＜x2，然后构造函数g(x)＝f(x)－f(2a－x)，并利用其导函数求出其函数的单调性，进而得出所证的结果. 试题解析：（Ⅰ）f(x)＝ － ＝ ，（x＞0），所以当a≤0时，f(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； 当a＞0时，f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增．        （Ⅱ）若函数y＝f(x)的两个零点为x1，x2（x1＜x2），由（Ⅰ）可得0＜x1＜a＜x2．令g(x)＝f(x)－f(2a－x)，（0＜x＜a）则g(x)＝f(x)＋f(2a－x)＝(x－a)[ － ]＜0，所以g(x)在(0，a)上单调递减，g(x)＞g(a)＝0，即f(x)＞f(2a－x)．令x＝x1＜a，则f(x1)＞f(2a－x1)，所以f(x2)＝f(x1)＞f(2a－x1)，由（Ⅰ）可得f(x)在(a，＋∞)上单调递增，所以x2＞2a－x1，故x1＋x2＞2a．                                4.（2016福州五校下学期第一次联考）已知函数 ），其图象与 轴交于不同的两点 ， ，且 ． （1）求实数 的取值范围；  （2）证明： 5．已知函数 ）在其定义域内有两个不同的极值点． （Ⅰ）求 的取值范围； （Ⅱ）设 两个极值点分别为 ，证明: ． 解：(Ⅰ)依题，函数 的定义域为 ， 所以方程 在 有两个不同根. 即，方程 在 有两个不同根……………1分 令 ，从而转化为函数 有两个不同零点， 而 （ ）                      ………………2分 若 ，可见 在 上恒成立，所以 在 单调增， 此时 不可能有两个不同零点.                          ………………3分 若 ，在 时， ，在 时， ， 所以 在 上单调增，在 上单调减， 从而                           ………………4分 又 因为在 时， ，在在 时， ，于是只须： ，即 ，所以 .            ………………5分 综上所述，                                   ………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 分别是方程 的两个根， 即 ， ， 设 ，作差得， ，即 .    ………………7分 原不等式 等价于 ………………8分 令 ，则 ，     ………………9分[来源:学&科&网] 设 ， ， ∴函数 在 上单调递增，              ………………10分 ∴ ， 即不等式 成立，                  ………………11分 故所证不等式 成立．                  ………………12分 6．已知函数 ， ． （1）若函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围； （2）若直线 是函数 图象的切线，求 的最小值； （3）当 时，若 与 的图象有两个交点 ， ，求证： ． 【答案】（1） ；（2） ；（3）证明见解析． 【解析】 试题分析：（1）借助函数单调性与导数值是非负数建立不等式求解；（2）将参数 用切点的横坐标表示,再借助导数求最小值；（3）先分析转化再构造函数,运用导数的有关知识进行推证. 试题解析：（1） ， . 在 上单调递增， ， 恒成立 即 ， 恒成立 令 ， ， ， 时， ， . （2） 设切点为 ，则 ， 又 ， ， ， 令 ，则 当 时， ，所以 在 上单调递增； 当 时， ，所以 在 上单调递减. 当 时， 取得最小值，为 ，即 的最小值为 . （3） 证明：由题意得 ①＋②得：       ③ ①－②得： ，即     ④ ④代入③得： ， 即 ， 不妨令 ，记 ， 令 ，则 ， 在 上单调递增，则 ， ，故 ， . 又 ，即 ， 令 ，则 时， ， 在 上单调递增， 又 ， 考点：导数及在研究函数的单调性最值中的应用． 7.(2017届武昌区元月调考理科数学）已知函数 （1）讨论 的单调性； （2）设 ，证明：当 时， ； （3）设 是 的两个零点，证明： . 8．已知函数 在其定义域内有两个不同的极值点． （1）求 的取值范围； （2）记两个极值点分别为 ，且 ． 已知 ，若不等式 恒成立，求 的范围． 试题解析：（1）依题，函数 的定义域为 ，所以方程 在 有两个不同根，即，方程 在 有两个不同根． 转化为，函数 与函数 的图像在 上有两个不同交点． 又 ，即 时， 时， ， 所以 在 上单调增，在 上单调减． 从而 ， 又 有且只有一个零点是1，且在 时， ，在 时， ，所以 的草图如下， 可见，要想函数 与函数 的图像在 上有两个不 同交点，只须 （2）因为 等价于 ．由（1）可知 分别是方程 的两个根，即 ， 所以原式等价于 ，因为 ， 所以原式 等价于 又由 作差得， ，即 ． 所以原式等价于 ， 因为 ，原式恒成立，即 恒成立． 令 ， ， 则不等式 在 上恒成立． 令 ， 又 ， 当 时，可见 时， ，所以 在 上 单调增，又 ， 在 恒成立，符合题意． 当 时，可见 时， 时， ， 所以 在 时单调增 ，在 时单调减，又 ， 所以 在 上不能恒小于0，不符合题意，舍去． 综上所述，若不等式 恒成立，只须 ，又 ，所以 ． 9．已知函数 ， 是函数 的两个零点，且 ， （1）讨论函数 的单调性； （2）求 的取值范围； （3）设 是函数 的导函数，求证 试题分析：（1）讨论单调性，先导数 ，然后解得方程 在 上的解 ，通过 的正负确定 的单调区间；（2）由（1）知 是 的极大值点，因此只要 ，就能保证 有两个零点，注意到 ，因此可由 求得 的取值范围，再求得 范围；（3）首先由 ，用 表示出 ，再求得 并整理得 ，此时会发现只要证 ，此式证明可用换元法，设 ，再利用函数的性质证明． 试题解析：（1） 令 ，则 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减 （2）由于函数 存在两个零点， 由（1）可知 ，且 由于 在 为增函数，且 ， 所以 的取值范围是 方法二：函数 有两个零点，即方程 有两个实数根，即 有两个实数根，设 ，则 ，设 ，且 单调递增， 时， ， ， 单调递减 时， ， ， 单调递增 （3）由于 是函数 的两个零点，且 所以， 两式相减得： ， 要证明 ，只需证 ，即只需证 设 ，构造函数 在 单调递增， ， 考点：导数与函数的单调性，导数的综合应用． 10.（2014襄阳市三月考试） 已知函数 ． （1）当 时，求函数 在 的最大值； （2）令 ，若 在区间（0，3）上不是单调函数，求 的取值范围； （3）当 时，函数 的图象与x轴交于两点 ， ，且 ，又 是 的导函数．若正常数 满足条件 ，证明： ． 解：当a = 2时， 函数y = f (x)在[ ，1]是增函数，在[1，2]是减函数    3分 所以 =－1    4分 (2)解：∵ ，∴     5分 ∵g (x)因为在区间(0，3)上不是单调函数，∴ 在(0，3)上有实数解，且无重根 由 得：2x2－ax－a = 0，有 ，x∈(0，3)    6分 又当a =－8时， 有重根x =－2；a = 0时， 有重根x = 0    7分 综上，a的取值范围是 ．    8分 (3)解：当a = 2时， ， ∵h (x) = f (x)－mx的图象与x轴交于两点A(x1，0)，B(x2，0) ∴f (x)－mx = 0有两个实根x1、x2， ∴ ，两式相减得： ∴     9分 于是 10分 ∵ ， 要证： ，只需证： 只需证： (*)                                    11分 令 (0 < t < 1)，(*)化为 令 ，则 ，即               12分 ∴                           13分 ∵u (t)在(0，1)上单调递增，u (t) < u (1) = 0 ∴ ，即 ∴                                               14分 11．已知函数 ． （Ⅰ）讨论函数 的单调区间； （Ⅱ）当 时，设 的两个极值点 ， 恰为 的零点，求 的最小值 试题分析：（Ⅰ）求解 ，分 三种情况分类讨论求解函数的单调区间；（Ⅱ）求出 和 的导数，运用韦达定理和函数的零点的定义，化简整理，构造新函数，运用导数判断函数的的单调性，即可求解最小值． 试题解析：（Ⅰ） ， ． 当 时， 由 解得 ，即当 时， ， 单调递增； 由 解得 ，即当 时， ， 单调递减． 当 时， = ，即 在（0，+∞）上单调递增； 当 时， ，故 ，即 在（0，+∞）上单调递增． ∴当 时， 的单调递增区间为（0， ），单调递减区间为（ ，+∞）； 当 时， 的单调递增区间为（0，+∞）． （Ⅱ） ，则 ， ∴ 的两根 ， 即为方程 的两根． ∵ ， ∴ ， ， ． 又∵ ， 为 的零点， ∴ ， ， 两式相减得 ，得b= ， 而 ， ∴ y= = ] = = ， 令 （ ）， 由 得 ， 因为 ，两边同时除以 ，得 ， ∵ ，故 ，解得t≤ 或t≥2，∴ 00,恒有 成立，即 对任意x>0成立，………1分 记H（x）= , H/（x）= ，………………2分 当 H(x)单增；当 H(x)单减；H（x）最大值为 ， 所以 ……………5分 （2）函数 有两个相异的极值点 ，即 有两个不同的实数根． ①当 时， 单调递增， 不可能有两个不同的实根；……………6分 ②当 时，设 ， 当 时， ， 单调递增； 当 时， ， 单调递减； ∴ ，∴ ，……………8分 不妨设 ，∵ ， ∴ 先证 ，即证 ，即证 ， 令 ，即证 ，设 ，…………9分 则 ，函数 在 单调递减，∴ ，∴ ，又 ，∴ ， ∴ ……………12分 考点：导数的几何意义，导数与函数的单调性、最值，导数的综合应用． 13.已知函数 （1）记 ，求证：函数 在区间 内有且仅有一个零点； （2）用 表示 中的最小值，设函数 ，若关于 的方程 （其中 为常数）在区间 有两个不相等的实根 ，记 在 内的零点为 ，试证明： 14.已知函数 ，且 （Ⅰ）求曲线 在点 处的切线方程； （2）设 有两个零点 ，且 成等差数列，记 是 的导函数，求证： 15.（2017届武汉二月调考文科21）已知函数 恰有两个极值点 （Ⅰ）求实数 的取值范围； （Ⅱ）求证： 16.已知函数 ． （Ⅰ）讨论函数 的极值点的个数； （Ⅱ）若 有两个极值点 ，证明： ． 解：（Ⅰ）由 得， …………………1分 （ⅰ） 时， ， 所以 取得极小值， 是 的一个极小值点．         …………………2分 （ⅱ） 时， ，令 ，得 显然， ，所以 ， 在 取得极小值， 有一个极小值点．               …………………4分 （ⅲ） 时， 时，即 在 是减函数， 无极值点． 当 时， ，令 ，得 当 和 时 ， 时， ，所以 在 取得极小值，在 取得极大值，所以 有两个极值点．           …………………6分 综上可知：（ⅰ） 时， 仅有一个极值点； （ⅱ） 当 时， 无极值点； （ⅲ）当 时， 有两个极值点．              …………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知，当且仅当 时， 有极小值点 和极大值点 ，且 是方程 的两根，所以 ， …………………8分 ，                      …………………10分 设 ， ， 所以 时， 是减函数， ，则 所以 得证．                             …………………12分