[分享]初一数学竞赛常见题型

[分享]初一数学竞赛常见题型 七年级数学竞赛常见题型 有理数及其运算篇 【核心提示】 有理数部分概念较多，其中核心 知识点 高中化学知识点免费下载体育概论知识点下载名人传知识点免费下载线性代数知识点汇总下载高中化学知识点免费下载 是数轴、相反数、绝对值、乘方. 通过数轴要尝试使用―数形结合思想‖解决问题，把抽象问题简单化.相反数看似简单，但互为相反数的两个数相加等于0这个性质有时总忘记用..绝对值是中学数学中的难点，它贯穿于初中三年，每年都有不同的难点，我们要从七年级把绝对值学好，理解它的几何意义.乘方的法则我们不仅要会正向用，也要会逆向用，难点往往出现在逆用法则方面. 【核心例题】 1111，，，......，例1计算: 1，22，33，42006，2007 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 此题共有2006项，通分是太麻烦.有这么多项，我们要有一种―抵消‖思想，如能 111,,把一些项抵消了，不就变得简单了吗,由此想到拆项，如第一项可拆成，可利1，212 111用通项,,，把每一项都做如此变形，问题会迎刃而解.，，n，n，1nn，1 11111111(,)，(,)，(,)，......，(,)解 原式= 12233420062007 11111111,，,，,，......，, = 2233420062007 11, = 2007 2006 = 2007 例2 已知有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为ABC aOcba，a,b，c,bA、B、C(如右图).化简. 分析 从数轴上可直接得到a、b、c的正负性，但本题关键是去绝对值，所以应判断绝对值符号内表达式的正负性.我们知道―在数轴上，右边的数总比左边的数大‖，大数减小数 是正数，小数减大数是负数，可得到a,b<0、c,b>0. 解 由数轴知，a<0，a,b<0，c,b>0 所以，= ,a,(a,b)+(c,b)= ,a,a+b+c,b= ,2a+ca，a,b，c,b 11111,,,,,,,,,,例3 计算: 1,1,1,,...,1,1,,,,,,,,,,,100999832,,,,,,,,,, 分析 本题看似复杂，其实是纸老虎，只要你敢计算，马上就会发现其中的技巧，问题会变得很简便. 999897211，，，......，， 解 原式== 100999832100 234181920 例4 计算:2,2,2,2,……,2,2+2. 分析 本题把每一项都算出来再相加，显然太麻烦.怎么让它们―相互抵消‖呢,我们可先 232223423从最简单的情况考虑.2,2+2=2+2(,1+2)=2+2=6.再考虑2,2,2+2=2,2+2(,1+2) 2322=2,2+2=2+2(,1+2)=2+2=6.这怎么又等于6了呢,是否可以把这种方法应用到原题呢,显然是可以的. 2341819解 原式=2,2,2,2,……,2+2(,1+2) 2341819 =2,2,2,2,……,2+2 2341718=2,2,2,2,……,2+2(,1+2) 2341718=2,2,2,2,……,2+2 =…… 23=2,2+2 =6 【核心练习】 1、已知?ab,2?与?b,1?互为相反数，试求: 111的值. ，，......，，，，a，2006b，2006，，，，aba，1b，1 (提示:此题可看作例1的升级版，求出a、b的值代入就成为了例1.) abab，，2、代数式的所有可能的值有( )个(2、3、4、无数个)abab 【参考答案】 20071、 2、3 2008 字母表示数篇 【核心提示】 用字母表示数部分核心知识是求代数式的值和找规律.求代数式的值时，单纯代入一个数求值是很简单的.如果条件给的是方程，我们可把要求的式子适当变形，采用整体代入法或特殊值法. 【典型例题】 例1已知:3x,6y,5=0,则2x,4y+6=_____ 分析 对于这类问题我们通常用―整体代入法‖，先把条件化成最简，然后把要求的代数式化成能代入的形式，代入就行了.这类问题还有一个更简便的方法，可以用―特殊值法‖， 528x,6y,5=0，可得取y=0,由3x,,把x、y的值代入2x,4y+6可得答案.这种方法只对33填空和选择题可用，解答题用这种方法是不合适的. 5x,2y,解 由3x,6y,5=0，得 3 5282，，6所以2x,4y+6=2(x,2y)+6== 33 n(n,1)x，x，1例2已知代数式 ，其中n为正整数，当x=1时，代数式的值是 ，当x=,1时，代数式的值是 . 分析 当x=1时，可直接代入得到答案.但当x=,1时，n和(n,1)奇偶性怎么确定呢,因n和(n,1)是连续自然数，所以两数必一奇一偶. 解 当x=1时， n(n,1)n(n,1)x，x，11，1，1==3 当x=,1时， n(n,1)n(n,1)x，x，1==1 (,1)，(,1)，1 22例3 15=225=100×1(1+1)+25， 25=625=100×2(2+1)+25 2235=1225=100×3(3+1)+25， 45=2025=100×4(4+1)+25…… 2275=5625= ，85=7225= (1)找规律，把横线填完整; (2)请用字母表示规律; 2(3)请计算2005的值. 分析 这类式子如横着不好找规律，可竖着找，规律会一目了然.100是不变的，加25是不变的，括号里的加1是不变的，只有括号内的加数和括号外的因数随着平方数的十位数在变. 22 解 (1)75=100×7(7+1)+25，85=100×8(8+1)+25 2(2)(10n+5)=100×n(n+1)+25 2(3) 2005=100×200(200+1)+25=4020025 例4如图?是一个三角形，分别连接这个三角形三边的中点得到图?，再分别连接图?中间小三角形三边的中点，得到图?.S表示三角形的个数. (1)当n=4时，S= ， (2)请按此规律写出用n表示S的公式. n=2,S=5n=1,S=1n=3,S=9??? 分析 当n=4时，我们可以继续画图得到三角形的个数.怎么找规律呢,单纯从结果有时我们很难看出规律，要学会从变化过程找规律.如本题，可用列表法来找，规律会马上显现出来的. 解 (1)S=13 (2)可列表找规律: n 1 2 3 … n S 1 5 9 … 4(n,1)+1 S的变化过程 1 1+4=5 1+4+4=9 … 1+4+4+…+4=4(n,1)+1 所以S=4(n,1)+1.(当然也可写成4n,3.) 【核心练习】 1、观察下面一列数，探究其中的规律: 11111—1，，，，， ,,23456 ?填空:第11，12，13三个数分别是 ， ， ; ?第2008个数是什么, ?如果这列数无限排列下去，与哪个数越来越近,. 2222、观察下列各式: 1+1×3 = 2, 1+2×4 = 3, 1+3×5 = 4,……请将你找出的规律用公式表示出来: 【参考答案】 1111,1、?,，，;?;?0. 11121312008 22、1+n×(n+2) = (n+1) 平面图形及其位置关系篇 【核心提示】 平面图形是简单的几何问题.几何问题学起来很简单，但有时不好表述，也就是写不好过程.所以这部分的核心知识是写求线段、线段交点或求角的过程.每个人写的可能都不一样，但只要表述清楚了就可以了，不过在写清楚的情况下要尽量简便. 【典型例题】 例1平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为______个，最多为______个. 分析 6条直线两两相交交点个数最少是1个，最多怎么求呢,我们可让直线由少到多一步步找规律.列出表格会更清楚. 解 找交点最多的规律: 直线条数 2 3 4 … n n(n,1) 交点个数 1 3 6 … 2 交点个数变化过程 1 1+2=3 1+2+3=6 … 1+2+3+…+(n,1) 图形 图1 图2 图3 … 图1图2图3 例2 两条平行直线m、n上各有4个点和5个点，任选9点中的两个连一条直线，则一共可以连( )条直线. A(20 B(36 C(34 D(22 分析与解 让直线m上的4个点和直线n上的5个点分别连可确定20条直线，再加上直线m上的4个点和直线n上的5个点各确定的一条直线，共22条直线.A M故选D. C例3 如图，OM是?AOB的平分线.射线OC在?BOM内，ON是ON?BOC的平分线，已知?AOC=80?，那么?MON的大小等于_______.B 分析 求?MON有两种思路.可以利用和来求，即?MON=?MOC+?CON.也可利用差来求，方法就多了，?MON=?MOB,?BON=?AON,?AOM=?AOB,?AOM,?BON.根据两条角平分线，想办法和已知的?AOC靠拢.解这类问题要敢于尝试，不动笔是很难解出来的. 解 因为OM是?AOB的平分线，ON是?BOC的平分线， 11 所以?MOB=?AOB，?NOB=?COB 22 111 所以?MON=?MOB,?NOB=?AOB,?COB=(?AOB,?COB)222 11=?AOC=×80?=40? 22B 例4 如图，已知?AOB=60?，OC是?AOB的平分线，OD、OED C分别平分?BOC和?AOC. EOA (1)求?DOE的大小; (2)当OC在?AOB内绕O点旋转时，OD、OE仍是?BOC和?AOC的平分线，问此时?DOE的大小是否和(1)中的答案相同，通过此过程你能 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 出怎样的结论. 分析 此题看起来较复杂，OC还要在?AOB内绕O点旋转，是一个动态问题.当你求出第(1)小题时，会发现?DOE是?AOB的一半，也就是说要求的?DOE， 和OC在?AOB内的位置无关. 解 (1)因为OC是?AOB的平分线，OD、OE分别平分?BOC和?AOC. 11所以?DOC=?BOC，?COE=?COA 22 1111所以?DOE=?DOC+?COE=?BOC+?COA=(?BOC+?COA)=?AOB2222 因为?AOB=60? 11所以?DOE =?AOB= ×60?=30? 22 1(2)由(1)知?DOE =?AOB，和OC在?AOB内的位置无关.故此时?DOE的大2 小和(1)中的答案相同. 【核心练习】 1、A、B、C、D、E、F是圆周上的六个点，连接其中任意两点可得到一条线段，这样的线段共可连出_______条. 2、在1小时与2小时之间，时钟的时针与分针成直角的时刻是1时 分. 【参考答案】 9621分或54分1、15条 2、. 1111 一元一次方程篇 【核心提示】 一元一次方程的核心问题是解方程和列方程解 应用题 小学应用题 下载一年级应用题应用题一年级一年级下册数学应用题一年级下册应用题 。解含分母的方程时要找出分母的最小公倍数，去掉分母，一定要添上括号，这样不容易出错.解含参数方程或绝对值方程 时，要学会代入和分类讨论。列方程解应用题，主要是列方程，要注意列出的方程必须能解、易解，也就是列方程时要选取合适的等量关系。 【典型例题】 例1已知方程2x+3=2a与2x+a=2的解相同，求a的值. 分析 因为两方程的解相同，可以先解出其中一个，把这个方程的解代入另一个方程，即可求解.认真观察可知，本题不需求出x，可把2x整体代入. 解 由2x+3=2a，得 2x=2a,3. 把2x=2a,3代入2x+a=2得 2a,3+a=2， 3a=5, 5a,所以 3 x,1x，1x,,2,例2 解方程 23 分析 这是一个非常好的题目，包括了去分母容易错的地方，去括号忘变号的情况. 解 两边同时乘以6，得 6x,3(x,1)=12,2(x+1) 去分母，得 6x,3x+3=12,2x,2 ,3x+2x=12,2,3 6x 5x=7 7 x= 5 例3某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4%，使得利润增加了8个百分点，求经销这种商品原来的利润率. 分析 这类问题我们应首先搞清楚利润率、销售价、进价之间的关系，因销售价=进价×(1+利润率)，故还需设出进价，利用销售价不变，辅助设元建立方程. 解:设原进价为x元，销售价为y元，那么按原进价销售的利润率为 y,93.6%xy,x,原进价降低后在销售时的利润率为,由题意得:，100%，100%x93.6%x y,93.6%xy,x+8%= ，100%，100%x93.6%x 解得 y=1.17x 1.17x,x故这种商品原来的利润率为，100%=17%. x 例4解方程 ?x,1?+?x,5?=4 分析 对于含一个绝对值的方程我们可分两种情况讨论，而对于含两个绝对值的方程，道理是一样的.我们可先找出两个绝对值的―零点‖，再把―零点‖放中数轴上对x进行讨论. 解:由题意可知，当?x,1?=0时，x=1;当?x,5?=0时，x=5.1和5两个―零点‖把x轴分成三部分，可分别讨论: 1)当x<1时，原方程可化为 –(x,1),(x,5)=4，解得 x=1.因x<1，所以x=1应舍去. 2)当1?x?5时，原方程可化为 (x,1),(x,5)=4，解得 4=4，所以x在1?x?5范围内可任意取值. 3)当x>5时，原方程可化为 (x,1)+(x,5)=4，解得 x=5.因x>5，故应舍去. 所以， 1?x?5是比不过的。 【核心练习】 3x，a1,5xa,,11、已知关于x的方程3[x,2(x,)]=4x和有相同的解，那么这个解3128 是 .(提示:本题可看作例1的升级版) 2、某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地，然后又以6千米/小时的速度从乙地返回甲地，那么某人往返一次的平均速度是____千米/小时. 【参考答案】 271、 2、4.8 28 生活中的数据篇 【核心提示】 生活中的数据问题，我们要分清三种统计图的特点，条形图表示数量多少，折线图表示变化趋势，扁形图表示所占百分比.学会观察，学会思考，这类问题相对是比较简单的. 【典型例题】 例1下面是两支篮球队在上一届省运动会上的4场对抗赛的比赛结果:(单位:分) 研究一下可以用哪些统计图来分析比较这两支球队，并回答下列问题: (1)你是怎样设计统计图的, (2)你是怎样评价这两支球队的,和同学们交流一下自己的想法. 分析 选择什么样的统计图应根据数据的特点和要达到的目的来决定.本题可以用复式条形统计图，达到直观、有效地目的. 解 用复式条形统计图:(如下图) 从复式条形图可知乙球队胜了3场输了1场. 例2根据下面三幅统计图(如下图)，回答问题: (1)三幅统计图分别表示了什么内容, (2)从哪幅统计图你能看出世界人口的变化情况, (3)2050年非洲人口大约将达到多少亿,你是从哪幅统计图中得到这个数据的, (4)2050年亚洲人口比其他各洲人口的总和还要多，你从哪幅统计图中可以明显地得到这个结论, 分析 这类问题可根据三种统计图的特点来解答. 解 (1)折线统计图表示世界人囗的变化趋势，条形统计图表示各洲人囗的多少，扇形统计图表示各洲占世界人囗的百分比. (2)折线统计图 (3)80亿，折线统计图. (4)扇形统计图 【核心练习】 1、如下图为第27届奥运会金牌扇形统计图，根据图中提供的信息回答下列问题: (1)哪国金牌数最多, (2)中国可排第几位, (3)如果你是中国队的总教练，将会以谁为下一次奥运会的追赶目标, 【参考答案】 1、(1)美国 (2)第3位 (3)俄罗斯. 平行线与相交线篇 【核心提示】 平行线与相交线核心知识是平行线的性质与判定.单独使用性质或判定的题目较简单，当交替使用时就不太好把握了，有时不易分清何时用性质，何时用判定.我们只要记住因为是条件，所以得到的是结论，再对照性质定理和判定定理就容易分清了. 这部分另一核心知识是写证明过程.有时我们认为会做了，但如何写出来呢,往往不知道先写什么，后写什么.写过程是为了说清楚一件事，是为了让别人能看懂，我们带着这种目的去写就能把过程写好了. 【典型例题】 例1平面上有5个点，其中仅有3点在同一直线上，过每2点作一条直线，一共可以作直线( )条. A(7 B(6 C(9 D(8 分析与解 这样的5个点我们可以画出来，直接查就可得到直线的条数.也可以设只有A、B、C三点在一条直线上，D、E两点分别和A、B、C各确定3条直线共6条，A、B、C三点确定一条直线，D、E两点确定一条直线，这样5个点共确定8条 BA直线.故选D. FGE DCO 例2已知?BED=60?, ?B=40?, ?D=20?,求证:AB?CD. 分析 要证明两条直线平行，可考虑使用哪种判定方法得到平行,已知三个角的度数，但这三个角并不是同位角或内错角.因此可以考虑作辅助线让他们建立联系.延长BE可用内错角证明平行.过点E作AB的平行线，可证明FG与CD也平行，由此得到AB?CD.连接BD，利用同旁内角互补也可证明. 解 延长BE交CD于O， ??BED=60?, ?D=20?， ??BOD=?BED,?D=60?,20?=40?, ??B=40?， ??BOD=?B， ?AB?CD. 其他方法，可自己试试～ 例3如图，在?ABC中，CE?AB于E，DF?AB于F，AC?ED，CE是?ACB的平分线，求证: ?EDF=?BDF. 分析 由CE、DF同垂直于AB可得CE?DF，又知AC?ED，利用内错角和同位角相等可得到结论. A 解 ?CE?AB，DF?AB， E F?CE?DF CB??EDF=?DEC， ?BDF=?DCE， D ?AC?ED， ??DEC=?ACE， ??EDF=?ACE. ?CE是?ACB的平分线， ??DCE=?ACE， ??EDF=?BDF. 例4如图，在?ABC中，?C=90?，?CAB与?CBA的平 分线相交于O点，求?AOB的度数. C 分析 已知?C=90?，由此可知?CAB与?CBA的和为90?，O BA 由角平分线性质可得?OAB与?OBA和为45?，所以可得?AOB的度数. 解 ?OA是?CAB的平分线，OB是?CBA的平分线， 11??OAB=?CAB，?OBA=?CBA， 22 1111??OAB+?OBA=?CAB+?CBA=(?CAB+?CBA)=(180?,?C)=45?，2222 ??AOB=180?,(?OAB+?OBA)=135?. 1(注:其实?AOB=180?,(?OAB+?OBA)=180?,(180?,?C)2 1=90?+?C. 2 所以?AOB的度数只和?C的度数有关，可以作为结论记住.) 【核心练习】 1、如图，AB?ED,α=?A+?E,β=?B+?C+?D,求证:β=2α.(提示:本题可看作例2的升级版) DE C2、如图，E是DF上一点，B是AC上一点，?1=?2， AB ?C=?D，求证:?A=?F. 【参考答案】 EFD21、可延长BC或DC，也可连接BD，也可过C做平行线.431 ACB2、先证BD?CE，再证DF?AC. 三角形篇 【核心提示】 三角形全等的核心问题是证全等.根据全等的5种判定方法，找出对应的边和角，注意一定要对应，不然会很容易出错.如用SAS证全等，必须找出两边和其夹角对应相等.有时为了证全等，条件中不具备两个全等的三角形，我们就需要适当作辅助构造全等. 【典型例题】 A例1如图，在?ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上，E 1B且?1=?B，AD=DE.求证:?ADB??DEC. CD分析 要证?ADB和?DEC全等，已具备AD=DE一对边，由 C，还需要一对边或一对角.由条件?1=?B知，找角比较容易.通过外角AB=AC可知?B=? 可得到?BDA=?CED. 证明 ?AB=AC， ??B=?C， ??1=?B， ??1=?C， ??BDA=?DAC+?C，?CED=?DAC+?1 ??BDA=?CED. 在?ADB和?DEC中 ，B,，C, ,，BDA,，CED， , ,AD,DE, ??ADB??DEC (AAS). 例2如图，AC?BD，EA、EB分别平分?CAB、?DBA，CD过点E，求证:AB=AC+BD. 分析 要证AB=AC+BD有两种思路，可以把AB分成两段分别和AC、BD相等，也可 以把AC、BD平移连接成一条线段，证明其与AB相等.下面给出第一种思路的过程. 证明 在AB上截取AF=AC，连接EF，DE C?EA别平分?CAB， ABF??CAE=?FAE， 在?ACE和?AFE中 AC,AF, ,，CAE,，FAE， , ,AE,AE, ??ACE??AFE(SAS)， ??C=?AFE. ?AC?BD， ??C+?D=180?， ??AFE+?BFE=180?， ??BFE=?D. ?EB平分?DBA, ??FBE=?DBE 在?BFE和?BDE中 ，FBE,DBE, ,，BFE,，D , ,BE,BE, ??BFE??BDE(AAS), ?BF=BD. ?AB=AF+BF, ?AB=AC+BD. 例3如图，BD、CE分别是?ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上， BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB.求证:(1)AP=AQ;(2)AP?AQ. 分析 观察AP和AQ所在的三角形，明显要证?ABP和?QCA全等.证出全等AP=AQ 可直接得到，通过角之间的等量代换可得?ADP=90?. AP DEQ 证明 (1)?BD、CE分别是?ABC的边AC和AB上的高， BC ??AEC=?ADB=90?， ??ABP+?BAC=?QCA+?CAB=90?， ??ABP=?QCA 在?ABP和?QCA中 BP,CA, ,，ABP,，QCA , ,CQ,BA, ??ABP??QCA(SAS), ?AP=AQ. (2)由(1)?ABP??QCA， ??P=?QAC， ??P+?PAD=90?， ??QAC+?PAD=90?， ?AP?AQ. 【核心练习】 1、如图，在?ABC中，AB=BC=CA，CE=BD，则?AFE=_____度. A EF BCD 、如图，在?ABC中，?BAC=90?AB=AC.D为AC中点，AE?BD，2 A垂足为E.延长AE交BC于F.求证:?ADB=?CDF DE BCF【参考答案】 1、60 2、提示:作?BAC的平分线交BD于P，可先证?ABP??CAF，再证?APD??CFD. 生活中的轴对称篇 【核心提示】 轴对称核心问题是轴对称性质和等腰三角形.轴对称问题我们要会画对称点和对称图形，会通过对称点找最短线路.等腰三角形的两腰相等及三线合一，好记但更要想着用，有时往往忽略性质的应用. 【典型例题】 例1判断下面每组图形是否关于某条直线成轴对称. 分析与解 根据轴对称的定义和性质，仔细观察，可知(1)是错误的，(2)是成轴对称的. 例2下列图形中对称轴条数最多的是( ) A.正方形 B.长方形 C.等腰三角形 D.等腰梯形 E.等边三角形 F.角 G.线段 H.圆 I.正五角星 分析与解 有一条对称轴的是C、D、F、G，有三条对称轴是E，有四条对称轴的是A，有两条对称轴的是B，有五条对称轴的是I，有无数条对称轴的是H.故选H. 例3 如图，AOB是一钢架，且?AOB=10?，为使钢架更加坚AMGE固，需在其内部添加一些钢管EF、FG、GH……添加的钢管长度都 OHFB与OE相等，则最多能添加这样的钢管______根. 分析 由添加的钢管长度都与OE相等，可知每增加一根钢管，就增加一个等腰三角形.由点到直线的所有线段中垂线段最短可知，当添加的钢管和OA或OB垂直时，就不能再添加了. 解 每添加一根钢管，就形成一个外角.如添加EF形成外角?FEA，添加FG形成外角?GFB.可列表找规律: 添加钢管数 1 2 3 4 … 8 形成的外角度数 20 30 40 50 … 90 当形成的外角是90?时，已添加8根这样的钢管，不能再添加了.故最多能添加这样的钢管8根. 例4小明利用暑假时间去居住在山区的外公家，每天外公都带领 小明去放羊，早晨从家出发，到一片草场放羊，天黑前再把羊牵到一 条小河边饮水，然后再回家，如图所示，点A表示外公家，点B表示草场，直线l表示小河，请你帮助小明和他外公设计一个 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 ，使他们每天所走路程最短, 分析 本题A(外公家)和B(草场)的距离已确定，只需找从B到l(小河)再到A的距离如何最小.因A和B在l的同侧，直接确定饮水处(C点)的位置不容易.本题可利用轴对称的性质把A点转化到河流的另一侧，设为A′，不论饮水处在什么位置，A点与它的对称点A′到饮水处前距离都相等，当A′到B的距离最小时，饮水处到A和B的距离和最小.也可作B的对称点确定C点. 解 如图所示，C点即为所求饮水处的位置. 【核心练习】 1、请用1个等腰三角形，2个矩形，3个圆在下面的方框内设计一个轴对称图形，并用简练的语言文字说明你的创意. 2、如图所示，AB=AC，D是BC的中点，DE=DF，BC?EF.这个图形是轴对称图形吗,为什么, 【参考答案】 1、略 2、是轴对称图形，?ABC与?DEF的对称轴都过点D，都与BC垂直，所以是两条对称轴是同一条直线. 通过这些核心题目的练习，如能做到举一反三，触类旁通，灵活应变.不仅会节约很多时间和精力，或许这样的练习会很有效.