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2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷3)
理科数学
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合
,
,则
中元素的个数为
A.3 B.2 C.1 D.0
2.设复数
满足
,则
A.
B.
C.
D.2
3.某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.
根据该折线图,下列结论错误的是
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳
4.
的展开式中
的系数为()
A.-80 B.-40 C.40 D.80
5.已知双曲线
的一条渐近线方程为
,且与椭圆
有公共焦点.则
的方程为()
A.
B.
C.
D.
6.设函数
,则下列结论错误的是()
A.
的一个周期为
B.
的图像关于直线
对称
C.
的一个零点为
D.
在
单调递减
7.执行右图的程序框图,为使输出
的值小于91,则输入的正整数
的最小值为
A.5
B.4
C.3
D.2
8.已知圆柱的高为1,它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为()
A.
B.
C.
D.
9.等差数列
的首项为1,公差不为0.若
成等比数列,则
前6项的和为
A.-24 B.-3 C.3 D.8
10.已知椭圆
(
)的左、右顶点分别为
,且以线段
为直径的圆与直线
相切,则
的离心率为()
A.
B.
C.
D.
11.已知函数
有唯一零点,则
()
A.
B.
C.
D.1
12.在矩形
中,
,动点
在以点
为圆心且与
相切的圆上.若
,则
的最大值为
A.3 B.
C.
D.2
二、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分)
13.若
满足约束条件
则
的最小值为________.
14.设等比数列
满足
,则
________.
15.设函数
则满足
的
的取值范围是________.
16.
为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形
的直角边
所在直线与
都垂直,斜边
以直线
为旋转轴旋转,有下列结论:
①当直线
与
成
角时,
与
成
角;
②当直线
与
成
角时,
与
成
角;
③直线
与
所成角的最小值为
;
④直线
与
所成角的最大值为
.
其中正确的是________(填写所有正确结论的编号)
三、解答题:(共70分.第17-20题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22,23题为选考题,考生根据要求作答)
(一)必考题:共60分.
17.(12分)
的内角
的对边分别为
,已知
(1)求
;
(2)设
为
边上一点,且
,求
的面积.
18.(12分)某超市
计划
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按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间
,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶,为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
:
最高气温
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量
(单位:瓶)的分布列;
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为
(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量(单位:瓶)为多少时,
的数学期望达到最大值?
19.(12分)如图,四面体
中,
是正三角形,
是直角三角形.
,
.
(1)证明:平面
平面
;
(2)过
的平面交
于点
,若平面
把四面体
分成体积相等的两部分.求二面角
的余弦值.
20.(12分)已知抛物线
,过点(2,0)的直线
交
于
,
两点,圆
是以线段
为直径的圆.
(1)证明:坐标原点
在圆
上;
(2)设圆
过点
(4,
),求直线
与圆
的方程.
21.(12分)已知函数
.
(1)若
,求
的值;
(2)设
为整数,且对于任意正整数
,
,求
的最小值.
(二)选考题:共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做,则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)
在直角坐标系
中,直线
的参数方程为
(
为参数),直线
的参数方程为
(
为参数),设
与
的交点为
,当
变化时,
的轨迹为曲线
.
(1)写出
的普通方程:
(2)以坐标原点为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,设
:
,
为
与
的交点,求
的极径.
23.[选修4-5:不等式选讲](10分)
已知函数
.
(1)求不等式
的解集;
(2)若不等式
的解集非空,求
的取值范围.
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2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国3)
理科数学参考答案
一、选择题
1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D
7.D 8.B 9.A 10.A 11.C 12.A
二、填空题
13.
14.
15.
16.
三、解答题
17.解:
(1)由已知可得
,所以
在
中,由余弦定理得
,即
解得
(舍去),
(2)由题设可得
,所以
故
面积与
面积的比值为
又
的面积为
,所以
的面积为
18.解:
(1)由题意知,
所有可能取值为200,300,500,由
表格
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数据知
,
,
.
因此
的分布列为:
200
300
500
0.2
0.4
0.4
(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500,至少为200,因此只需考虑200
500
当
时,
若最高气温不低于25,则
;
若最高气温位于区间[20,25),则
;
若最高气温低于20,则
因此
当
时,
若最高气温不低于20,则
;
若最高气温低于20,则
因此
所以
时,
的数学期望达到最大值,最大值为520元。
19.解:
(1)由题设可得,
,从而
又
是直角三角形,所以
取
的中点
,连结
,
则
又由于
是正三角形,故
所以
为二面角
的平面角
在
中,
又
,所以
,故
所以平面
平面
(2)由题设及(1)知,
两两垂直,以
为坐标原点,
的方向为
轴正方向,
为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系
,则
由题设知,四面体
的体积为四面体
的体积的
,从而
到平面
的距离为
到平面
的距离的
,即
为
的中点,得
,故
设
是平面
的法向量,则
同理可取
则
所以二面角
的余弦值为
20.解:
(1)设
由
可得
,则
又
,故
因此
的斜率与
的斜率之积为
,所以
故坐标原点
在圆
上
(2)由(1)可得
故圆心
的坐标为
,圆
的半径
由于圆
过点
,因此
,
故
,
即
由(1)可得
所以
,解得
或
当
时,直线
的方程为
,圆心
的坐标为
,圆
的半径为
,圆
的方程为
当
时,直线
的方程为
,圆心
的坐标为
,圆
的半径为
,圆
的方程为
21.解:
(1)
的定义域为
① 若
,因为
,所以不满足题意;
② 若
,由
知,当
时,
;当
时,
。所以
在
单调递减,在
单调递增。故
是
在
的唯一最小值点。
由于
,所以当且仅当
时,
故
(2)由(1)知当
时,
令
,得
,从而
故
而
,所以
的最小值为3
22.解:
(1)消去参数
得
的普通方程
;消去参数
得
的普通方程
设
,由题设得
消去
得
所以
的普通方程为
(2)
的极坐标方程为
联立
得
故
,从而
代入
得
,所以交点
的极径为
23.解:
(1)
当
时,
无解;
当
时,由
得,
,解得
;
当
时,由
解得
所以
的解集为
(2)由
得
,而
且当
时,
故
的取值范围为