江苏省南通等五市2013届高三5月第三次调研测试数学试题 Word版含答案

2013届南通市高三第三次模拟考试数学试卷（word版）（2013.5.2） 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合 ， ，则   ▲  ． 2． 设复数 满足 （ 是虚数单位），则复数 的 模为  ▲  ． 3． 右图是一个算法流程图，则输出的 的值是  ▲  ． 4． “ ”是“ ”成立的  ▲  条件． （从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写） 5． 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆 机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布 直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动 车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h，则该时 段内非正常行驶的机动车辆数为  ▲  ． 6． 在平面直角坐标系 中，抛物线 上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为  ▲  ． 7． 从集合 中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为  ▲  ． 8． 在平面直角坐标系 中，设点 为圆 ： 上的任意一点，点 (2 ， ) ( )，则线段 长度的最小值为  ▲  ． 9． 函数 ， ， 在 上 的部分图象如图所示，则 的值为  ▲  ． 10．各项均为正数的等比数列 中， ．当 取最小值时，数列 的通项公式an=  ▲  ． 11．已知函数 是偶函数，直线 与函数 的图象自左向右依次交于四个不同点 ， ， ， ．若 ，则实数 的值为  ▲  ． 12．过点 作曲线 ： 的切线，切点为 ，设 在 轴上的投影是点 ，过点 再作曲线 的切线，切点为 ，设 在 轴上的投影是点 ，…，依次下去，得到第 个切点 ．则点 的坐标为  ▲  ． 13．在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB ， ，CD ． 若 ，则 的值为  ▲  ． 14．已知实数a1，a2，a3，a4满足a1 a2 a3 ，a1a42 a2a4 a2 ，且a1 a2 a3，则a4的取值范围是  ▲  ． 二、解答题 15．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，四条侧棱长均相等． （1）求证： 平面 ； （2）求证：平面 平面 ． 16．在△ABC中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ，c．已知 ． （1）求角 的大小； （2）设 ，求T的取值范围． 17．某单位 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm；图2是双层中空玻璃，厚度均为4 mm，中间留有厚度为 的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为 的均匀介质，两侧的温度差为 ，单位时间内，在单位面积上通过的热量 ，其中 为热传导系数． 假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系数为 ，空气的热传导系数为 ．） （1）设室内，室外温度均分别为 ， ，内层玻璃外侧温度为 ，外层玻璃内侧温度为 ，且 ．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量（结果用 ， 及 表示）； （2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计 的大小？ 18．如图，在平面直角坐标系 中，椭圆 的右焦点为 ，离心率为 ．分别过 ， 的两条弦 ， 相交于点 （异于 ， 两点），且 ． （1）求椭圆的方程； （2）求证：直线 ， 的斜率之和为定值． 19．已知数列 是首项为1，公差为 的等差数列，数列 是首项为1，公比为 的等比数列． （1）若 ， ，求数列 的前 项和； （2）若存在正整数 ，使得 ．试比较 与 的大小，并说明理由． 20．设 是定义在 的可导函数，且不恒为0，记 ．若对定义域内的每一个 ，总有 ，则称 为“ 阶负函数”；若对定义域内的每一个 ，总有 ，则称 为“ 阶不减函数”（ 为函数 的导函数）． （1）若 既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数 的取值范围； （2）对任给的“2阶不减函数” ，如果存在常数 ，使得 恒成立，试判断 是否为“2阶负函数”？并说明理由． 数学附加题 21．【选做题】 A．选修4—1：几何证明选讲 如图，⊙ 的半径为3，两条弦 ， 交于点 ，且 ， ， ． 求证：△ ≌△ ． B．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵 不存在逆矩阵，求实数 的值及矩阵 的特征值． C．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，已知 ， ， ， ，其中 ．设直线 与 的交点为 ，求动点 的轨迹的参数方程（以 为参数）及普通方程． D．选修4—5：不等式选讲 已知 ， ， ．求证： ． 22．【必做题】 设 且 ，证明： ． 23．【必做题】 下图是某游戏中使用的材质均匀的圆形转盘，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ部分的面积各占转盘面积的 ， ， ， ．游戏规则如下： ① 当指针指到Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ，Ⅳ部分时，分别获得积分100分，40分，10分，0分； ② （ⅰ）若参加该游戏转一次转盘获得的积分不是40分，则按①获得相应的积分，游戏结束； （ⅱ）若参加该游戏转一次获得的积分是40分，则用抛一枚质地均匀的硬币的方法来决定是否继续游戏．正面向上时，游戏结束；反面向上时，再转一次转盘，若再转一次的积分不高于40分，则最终积分为0分，否则最终积分为100分，游戏结束． 设某人参加该游戏一次所获积分为 ． （1）求 的概率； （2）求 的概率分布及数学期望． 南通市2013届高三第三次调研测试 数学参考答案 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合 ， ，则   ▲  ． 【答案】 2． 设复数 满足 （ 是虚数单位），则复数 的 模为  ▲  ． 【答案】 3． 右图是一个算法流程图，则输出的 的值是  ▲  ． 【答案】 4． “ ”是“ ”成立的  ▲  条件． （从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写） 【答案】必要不充分 5． 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆 机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布 直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动 车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h，则该时 段内非正常行驶的机动车辆数为  ▲  ． 【答案】 6． 在平面直角坐标系 中，抛物线 上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦 点到准线的距离为  ▲  ． 【答案】4 7． 从集合 中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为 ▲  ． 【答案】 8． 在平面直角坐标系 中，设点 为圆 ： 上的任意一点，点 (2 ， ) ( )，则线段 长度的最小值为  ▲  ． 【答案】 9． 函数 ， ， 在 上 的部分图象如图所示，则 的值为  ▲  ． 【答案】 10．各项均为正数的等比数列 中， ．当 取最小值时，数列 的通项公式an=  ▲  ． 【答案】 11．已知函数 是偶函数，直线 与函数 的图象自左向右依次交 于四个不同点 ， ， ， ．若 ，则实数 的值为  ▲  ． 【答案】 12．过点 作曲线 ： 的切线，切点为 ，设 在 轴上的投影是点 ，过点 再作 曲线 的切线，切点为 ，设 在 轴上的投影是点 ，…，依次下去，得到第 个 切点 ．则点 的坐标为  ▲  ． 【答案】 13．在平面四边形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，且AB ， ，CD ． 若 ，则 的值为  ▲  ． 【答案】 14．已知实数a1，a2，a3，a4满足a1 a2 a3 ，a1a42 a2a4 a2 ，且a1 a2 a3，则a4的取值 范围是  ▲  ． 【答案】 二、解答题 15．如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，四条侧棱长均相等． （1）求证： 平面 ； （2）求证：平面 平面 ． 证明：（1）在矩形 中， ， 又 平面 ， 平面 ， 所以 平面 ．        ………6分 （2）如图，连结 ，交 于点 ，连结 ， 在矩形 中，点 为 的中点， 又 ， 故 ， ，                          ………9分 又 ， 平面 ， 所以 平面 ，                            ………12分 又 平面 ， 所以平面 平面 ．                        ………14分 16．在△ABC中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ，c．已知 ． （1）求角 的大小； （2）设 ，求T的取值范围． 解：（1）在△ABC中， ，          ………3分 因为 ，所以 ， 所以 ，            ………5分 因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ．                    ………7分            （2） ………11分 因为 ，所以 ， 故 ，因此 ， 所以 ．                          ………14分 17．某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm；图2是双层中空玻璃， 厚度均为4 mm，中间留有厚度为 的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为 的均匀介质， 两侧的温度差为 ，单位时间内，在单位面积上通过的热量 ，其中 为热传导系数． 假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系 数为 ，空气的热传导系数为 ．） （1）设室内，室外温度均分别为 ， ，内层玻璃外侧温度为 ，外层玻璃内侧温度为 ， 且 ．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过