2016_2017学年高中数学第三章导数应用3.1.2函数的极值学案含解析

3.1.2　函数的极值 1.理解极大值，极小值的概念.(难点) 2.掌握求极值的步骤.(重点) 3.会利用导数求函数的极值.(重点) [基础·初探] 教材整理　极值点与极值 阅读教材P59“练习”以下至P61“例3”以上部分，完成下列问题. 1.极大值点与极大值 如图3-1-6，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值. 图3-1-6 2.极小值点与极小值 如图3-1-7，在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于或等于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值. 图3-1-7 3.极值的判断方法 如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是增加的，在区间(x0，b)上是减少的，则x0是极大值点，f(x0)是极大值；如果函数y＝f(x)在区间(a，x0)上是减少的，在区间(x0，b)上是增加的，则x0是极小值点，f(x0)是极小值. 4.求函数y＝f(x)极值的步骤 (1)求出导数f′(x). (2)解方程f′(x)＝0. (3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0， 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点： ①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点； ②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点； ③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点. 判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有两个极值.(  ) (2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合.(  ) (3)函数f(x)＝ 有极值.(  ) 【答案】　(1)√　(2)√　(3)× [质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问 记录 混凝土 养护记录下载土方回填监理旁站记录免费下载集备记录下载集备记录下载集备记录下载 ，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：                                    解惑：                                    疑问2：                                    解惑：                                    疑问3：                                    解惑：                                    [小组合作型] 求函数的极值     求下列函数的极值. (1)f(x)＝x2－2x－1； (2)f(x)＝ － x3＋ －6； (3)f(x)＝|x|. 【自主解答】　(1)f′(x)＝2x－2，令f′(x)＝0，解得x＝1. 因为当x<1时，f′(x)<0， 当x>1时，f′(x)>0， 所以函数在x＝1处有极小值， 且y极小值＝－2. (2)f′(x)＝x3－2x2＋x＝x(x2－2x＋1)＝x(x－1)2. 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝1. 所以当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x (－∞，0) 0 (0，1) 1 (1，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 ＋ f(x) 单调 递减 极小值 单调 递增 无极值 单调 递增             所以当x＝0时，函数取得极小值，且y极小值＝－6. (3)f(x)＝|x|＝ 显然函数f(x)＝|x|在x＝0处不可导， 当x>0时，f′(x)＝x′＝1>0， 函数f(x)＝|x|在(0，＋∞)内单调递增； 当x<0时，f′(x)＝(－x)′＝－1<0， 函数f(x)＝|x|在(－∞，0)内单调递减. 故当x＝0时，函数取得极小值， 且y极小值＝0. 1.讨论函数的性质要注意定义域优先的原则. 2.极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点，导数值为0的点不一定是极值点. 点x0是可导函数f(x)在区间(a，b)内的极值点的充要条件： ①f′(x0)＝0； ②点x0两侧f′(x)的符号不同. (2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x＝0点)，也可能不是极值点(如y＝ ，在x＝0处不可导，在x＝0处也取不到极值)，所以函数的极值点可能是f′(x)＝0的根，也可能是不可导点. [再练一题] 1.已知函数f(x)＝x2－2ln x，则f(x)的极小值是__________. 【解析】　∵f′(x)＝2x－ ， 且函数定义域为(0，＋∞)， 令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1(舍去)， 当x∈(0，1)时，f′(x)<0， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， ∴当x＝1时，函数有极小值，极小值为f(1)＝1. 【答案】　1 利用函数的极值求参数     已知f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝1与x＝－ 时都取得极值. (1)求a，b的值； (2)若f(－1)＝ ，求f(x)的单调区间和极值. 【精彩点拨】　(1)求导函数f′(x)，则由x＝1和x＝－ 是f′(x)＝0的两根及根与系数的关系求出a，b. (2)由f(－1)＝ 求出c，再列表求解. 【自主解答】　(1)f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 令f′(x)＝0，由题设知x＝1与x＝－ 为f′(x)＝0的解. ∴ ∴a＝－ ，b＝－2. (2)由(1)知f(x)＝x3－ x2－2x＋c， 由f(－1)＝－1－ ＋2＋c＝ ，得c＝1， ∴f(x)＝x3－ x2－2x＋1， ∴f′(x)＝3x2－x－2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表： x － 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 单调递增 单调递减 － 单调递增             ∴f(x)的递增区间为 和(1，＋∞)，递减区间为 . 当x＝－ 时，f(x)有极大值为f ＝ ； 当x＝1时，f(x)有极小值为f(1)＝－ . 已知函数极值的情况，逆向应用确定函数的解析式时，应注意以下两点： (1)根据极值点处导数值为0和极值两个条件列方程组，利用待定系数法求解； (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. [再练一题] 2.已知函数f(x)＝ x3－ (m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m为常数)，在区间(1，＋∞)内有两个极值点，求实数m的取值范围. 【解】　f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6. 因为函数f(x)在(1，＋∞)内有两个极值点， 所以导数f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)内与x轴有两个不同的交点， 如图所示. 所以 解得m>3，故实数m的取值范围是(3，＋∞). [探究共研型] 函数极值的综合应用     探究1　导数为0的点都是极值点吗？ 【提示】　不一定，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x3的极值点.所以，当f′(x0)＝0时，要判断x＝x0是否为f(x)的极值点，还要看f′(x)在x0两侧的符号是否相反. 探究2　函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图3-1-8所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？ 图3-1-8 【提示】　一个.x1，x2，x3是极值点，其中x2是极小值点，x1，x3是极大值点. 探究3　函数y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？ 【提示】　不一定，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点. 已知函数f(x)＝x3－3x＋a(a为实数)，若方程f(x)＝0有三个不同实根，求实数a的取值范围. 【精彩点拨】　求出函数的极值，要使f(x)＝0有三个不同实根，则应有极大值大于0，极小值小于0，由此可得a的取值范围. 【自主解答】　令f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0， 解得x1＝－1，x2＝1. 当x<－1时，f′(x)>0； 当－11时，f′(x)>0. 所以当x＝－1时，f(x)有极大值f(－1)＝2＋a； 当x＝1时，f(x)有极小值f(1)＝－2＋a. 因为方程f(x)＝0有三个不同实根， 所以y＝f(x)的图像与x轴有三个交点，如图. 由已知应有 解得－20， x取足够小的负数时，有f(x)<0， 所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点. 由(1)知f(x)极大值＝f ＝ ＋a， f(x)极小值＝f(1)＝a－1. ∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点， ∴f(x)极大值<0或f(x)极小值>0， 即 ＋a<0或a－1>0， ∴a<－ 或a>1， ∴当a∈ ∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点. [构建·体系] — 1.函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图像如图3-1-9，则函数f(x)(  ) 图3-1-9 A.无极大值点，有四个极小值点 B.有三个极大值点，两个极小值点 C.有两个极大值点，两个极小值点 D.有四个极大值点，无极小值点 【解析】　有极值点的定义可知答案应选C. 【答案】　C 2.函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有(  ) A.极大值5，极小值－27 B.极大值5，极小值－11 C.极大值5，无极小值 D.极小值－27，无极大值 【解析】　由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3. 当x＜－1或x＞3时，y′＞0；由－1＜x＜3时，y′＜0， ∴当x＝－1时，函数有极大值5；3?(－2，2)，故无极小值. 【答案】　C 3.(2016·四川高考)已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝(  )