两条直线的位置关系
1.两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行:
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1、l2,若其斜率分别为k1、k2,则有l1∥l2?k1=k2.
(ⅱ)当直线l1、l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.
②两条直线垂直:
(ⅰ)如果两条直线l1、l2的斜率存在,设为k1、k2,则有l1⊥l2?k1·k2=-1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时,l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1与l2的交点坐标就是方程组
的解.
2.几种距离
(1)两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=
.
(2)点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离:d=
.
(3)两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(其中C1≠C2)间的距离d=
.
选择题:
设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 充分性:当a=1时,直线l1:x+2y-1=0与直线l2:x+2y+4=0平行;
必要性:当直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行时有a=-2或1;
所以“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的充分不必要条件
已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于( )
A.
B.2-
C.
-1 D.
+1
解析 依题意得
=1,解得a=-1+
或a=-1-
,∵a>0,∴a=-1+
.
已知直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8平行,则实数m的值为( )
A.-7 B.-1 C.-1或-7 D.
解析 l1的斜率为-
,在y轴上的截距为
,l2的斜率为-
,在y轴上的截距为
.
又∵l1∥l2,由-
=-
得,m2+8m+7=0,得m=-1或-7.
m=-1时,
=
=2,l1与l2重合,故不符合题意;m=-7时,
=
≠
=-4,符合题意
已知两条直线l1:(a-1)·x+2y+1=0,l2:x+ay+3=0平行,则a等于( )
A.-1 B.2 C.0或-2 D.-1或2
解析 若a=0,两直线方程为-x+2y+1=0和x=-3,此时两直线相交,不平行,所以a≠0.当a≠0时,若两直线平行,则有
=
≠
,解得a=-1或a=2,选D.
已知点O(0,0),A(0,b),B(a,a3).若△OAB为直角三角形,则必有( )
A.b=a3 B.b=a3+
C.(b-a3)
=0 D.|b-a3|+
=0
解析 若以O为直角顶点,则B在x轴上,则a必为0,此时O,B重合,不符合题意;若∠A=
,则b=a3≠0,若∠B=
,根据垂直关系可知a2·
=-1,所以a(a3-b)=-1,即b-a3-
=0,以上两种情况皆有可能,故只有C满足条件.
已知过点A(m+1,0),B(-5,m)的直线与过点C(-4,3),D(0,5)的直线平行,则m的值为( )
A.-1 B.-2 C.2 D.1
解析 由题意得:kAB=
=
,kCD=
=
.由于AB∥CD,即kAB=kCD,
所以
=
,所以m=-2
当0<k<
时,直线l1:kx-y=k-1与直线l2:ky-x=2k的交点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
解析 解方程组
得两直线的交点坐标为
,因为0<k<
,所以
<0,
>0,故交点在第二象限.
若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2经过定点( )
A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2)
解析 直线l1:y=k(x-4)经过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,故直线l2经过定点(0,2).
从点(2,3)射出的光线沿与向量a=(8,4)平行的直线射到y轴上,则反射光线所在的直线方程为( )
A.x+2y-4=0 B.2x+y-1=0 C.x+6y-16=0 D.6x+y-8=0
解析 由直线与向量a=(8,4)平行知:过点(2,3)的直线的斜率k=
,所以直线的方程为y-3=
(x-2),其与y轴的交点坐标为(0,2),又点(2,3)关于y轴的对称点为(-2,3),所以反射光线过点(-2,3)与(0,2),由两点式知A正确.
填空题
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已知a,b为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平行,则2a+3b的最小值为_____
解析 由于直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平行,所以a(b-3)=2b,即
+
=1(a,b均为正数),所以2a+3b=(2a+3b)
=13+6
≥13+6×2
=25(当且仅当
=
,即a=b=5时取等号)
若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,则a=________
解析 由两直线垂直的充要条件,得(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=0,解得a=0或a=1.
已知两直线方程分别为l1:x+y=1,l2:ax+2y=0,若l1⊥l2,则a=________.
解析 ∵l1⊥l2,∴k1k2=-1,即
=-1,解得a=-2.
已知直线y=kx+2k+1与直线y=-
x+2的交点位于第一象限,则实数k的取值范围是________
解析 由方程组
解得
(若2k+1=0,即k=-
,则两直线平行),∴交点坐标为
,
又∵交点位于第一象限,∴
解得-
<k<
.
直线l过点P(-1,2)且到点A(2,3)和点B(-4,5)的距离相等,则直线l的方程为______
解析 当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y-2=k(x+1),即kx-y+k+2=0.
由题意知
=
,即|3k-1|=|-3k-3|,∴k=-
.
∴直线l的方程为y-2=-
(x+1),即x+3y-5=0.
当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=-1,也符合题意.
过点P(0,1)作直线l,使它被直线l1:2x+y-8=0和l2:x-3y+10=0截得的线段被点P平分,则直线l的方程为________________
解析 设l1与l的交点为A(a,8-2a),则由题意知,点A关于点P的对称点B(-a,2a-6)在l2上,代入l2的方程得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4,即点A(4,0)在直线l上,所以直线l的方程为x+4y-4=0
与直线l1:3x+2y-6=0和直线l2:6x+4y-3=0等距离的直线方程是________
解析 l2:6x+4y-3=0化为3x+2y-
=0,所以l1与l2平行,设与l1,l2等距离的直线l的方程为3x+2y+c=0,则:|c+6|=|c+
|,解得c=-
,所以l的方程为12x+8y-15=0.
已知两直线l1:ax-by+4=0和l2:(a-1)x+y+b=0,若l1∥l2,且坐标原点到这两条直线的距离相等,则a+b=________
解析 由题意得
解得
或
经检验,两种情况均符合题意,∴a+b的值为0或
已知直线l1:ax+y-1=0,直线l2:x-y-3=0,若直线l1的倾斜角为
,则a=______;若l1⊥l2,则a=________;若l1∥l2,则两平行直线间的距离为_______
解析 若直线l1的倾斜角为
,则-a=k=tan45°=1,故a=-1;若l1⊥l2,则a×1+1×(-1)=0,故a=1;若l1∥l2,则a=-1,l1:x-y+1=0,两平行直线间的距离d=
=2
.
已知直线l:2x-3y+1=0,点A(-1,-2),则点A关于直线l的对称点A′的坐标为________
解析 设A′(x,y),由已知得
解得
故A′
.
解答题:
已知两直线l1:x+ysinα-1=0和l2:2x·sinα+y+1=0,求α的值,使得:
(1)l1∥l2;
(2)l1⊥l2.
解 (1)当sinα=0时,直线l1的斜率不存在,l2的斜率为0,显然l1不平行于l2.
当sinα≠0时,k1=-
,k2=-2sinα,要使l1∥l2,需-
=-2sinα,即sinα=±
.
所以α=kπ±
,k∈Z,此时两直线的斜率相等.故当α=kπ±
,k∈Z时,l1∥l2.
(2)因为A1A2+B1B2=0是l1⊥l2的充要条件,所以2sinα+sinα=0,即sinα=0,所以α=kπ,k∈Z.
故当α=kπ,k∈Z时,l1⊥l2.
如图,设一直线过点(-1,1),它被两平行直线l1:x+2y-1=0,l2:x+2y-3=0所截的线段的中点在直线l3:x-y-1=0上,求其方程.
解 与l1、l2平行且距离相等的直线方程为x+2y-2=0.
设所求直线方程为(x+2y-2)+λ(x-y-1)=0,即(1+λ)x+(2-λ)y-2-λ=0.又直线过(-1,1),
∴(1+λ)(-1)+(2-λ)·1-2-λ=0,解得λ=-
.∴所求直线方程为2x+7y-5=0.
正方形的中心为点C(-1,0),一条边所在的直线方程是x+3y-5=0,求其他三边所在直线的方程
解 点C到直线x+3y-5=0的距离d=
=
.
设与x+3y-5=0平行的一边所在直线的方程是x+3y+m=0(m≠-5),
则点C到直线x+3y+m=0的距离d=
=
,解得m=-5(舍去)或m=7,
所以与x+3y-5=0平行的边所在直线的方程是x+3y+7=0.
设与x+3y-5=0垂直的边所在直线的方程是3x-y+n=0,
则点C到直线3x-y+n=0的距离d=
=
,解得n=-3或n=9,
所以与x+3y-5=0垂直的两边所在直线的方程分别是3x-y-3=0和3x-y+9=0.
已知直线l:2x-3y+1=0,求直线m:3x-2y-6=0关于直线l的对称直线m′的方程
解 在直线m上任取一点,如M(2,0),则M(2,0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上.
设对称点M′(a,b),则
解得
∴M′
.
设直线m与直线l的交点为N,则由
得N(4,3).
又∵m′经过点N(4,3).∴由两点式得直线m′的方程为9x-46y+102=0.
求与直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线l的方程.
解 依题意,设所求直线方程为3x+4y+c=0 (c≠1),
又因为直线过点(1,2),所以3×1+4×2+c=0,解得c=-11.
因此,所求直线方程为3x+4y-11=0.
求经过两直线l1:x-2y+4=0和l2:x+y-2=0的交点P,且与直线l3:3x-4y+5=0垂直的直线l的方程.
解 解方程组
得P(0,2).
因为l3的斜率为
,且l⊥l3,所以直线l的斜率为-
,
由斜截式可知l的方程为y=-
x+2,即4x+3y-6=0.
已知△ABC的顶点A(5,1),AB边上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0,AC边上的高BH所在直线方程为x-2y-5=0,求直线BC的方程.
解 依题意知:kAC=-2,A(5,1),∴lAC为2x+y-11=0,
联立lAC、lCM得
∴C(4,3).
设B(x0,y0),AB的中点M为(
,
),
代入2x-y-5=0,得2x0-y0-1=0,∴
∴B(-1,-3),
∴kBC=
,∴直线BC的方程为y-3=
(x-4),即6x-5y-9=0.
已知直线l经过直线l1:2x+y-5=0与l2:x-2y=0的交点.
(1)若点A(5,0)到l的距离为3,求l的方程;
(2)求点A(5,0)到l的距离的最大值.
解 (1)易知l不可能为l2,可设经过两已知直线交点的直线系方程为(2x+y-5)+λ(x-2y)=0,即(2+λ)x+(1-2λ)y-5=0,
∵点A(5,0)到l的距离为3,∴
=3,
即2λ2-5λ+2=0,∴λ=2,或λ=
,∴l的方程为x=2或4x-3y-5=0.
(2)由
解得交点P(2,1),如图,过P作任一直线l,设d为点A到l的距离,则d≤PA(当l⊥PA时等号成立).
∴dmax=PA=
=
.
专项能力提升
若点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,则m2+n2的最小值是 ( )
A.2 B.2
C.4 D.2
解析 因为点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,所以4m+3n-10=0.
欲求m2+n2的最小值可先求
的最小值,而
表示4m+3n-10=0上的点(m,n)到原点的距离,如图.当过原点的直线与直线4m+3n-10=0垂直时,原点到点(m,n)的距离最小为2.所以m2+n2的最小值为4.
已知直线l:y=
x-1,
(1)求点P(3,4)关于l对称的点Q;
(2)求l关于点(2,3)对称的直线方程.
解 (1)设Q(x0,y0),由于PQ⊥l,且PQ中点在l上,有
解得
∴Q
.
(2)在l上任取一点,如M(0,-1),则M关于点(2,3)对称的点为N(4,7).
∵当对称点不在直线上时,关于点对称的两直线必平行,∴所求直线过点N且与l平行,
∴所求方程为y-7=
(x-4),即为x-2y+10=0.