圆锥曲线弦的一个性质及应用

圆锥曲线弦的一个性质及应用 杨同伟 (陕西省西安市昆仑中学 710043) 1.圆锥曲线弦的美妙性质： 定理1 是椭圆 的任意一条弦，其倾斜角为 ， 是弦 所在直线上任意一点，则有 证明 易知,弦 的参数方程为 （ 为参数），将其代入椭圆 的方程，化简，得 由参数 的几何意义可知， 定理2 是双曲线 的任意一条弦，其倾斜角为 ， 是弦 所在直线上任意一点，则有 证明 易知,弦 的参数方程为 （ 为参数），将其代入椭圆 的方程，化简，得 由参数 的几何意义可知， 定理3 是抛物线 的任意一条弦，其倾斜角为 ， 是弦 所在直线上任意一点，则有 证明 易知,弦 的参数方程为 （ 为参数），将其代入椭圆 的方程，化简，得 由参数 的几何意义可知， 2.两点说明： ①定理1、定理2、定理3中，当点 向点 无限逼近时，弦 会演化为切线，此时定理中的结论仍然是成立的. ②定理1、定理2、定理3结论中分子的绝对值是可以根据点 与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系而脱去的；定理2中分母的绝对值是可以根据 两点在双曲线 上的位置关系而脱去的. 但为了简单明了，定理及证明中没有进行讨论. 下面，我们不妨单独来讨论一下 的符号问 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 ： （i）当 分别位于两支上时，如图1所示，过原点 作 的 平行线 ，则 应位于两条渐近线形成的“左右对顶角”区域内，此时，焦点 到 的距离 应小于焦点 到渐近线的距离 即 所以 从而 （ii）当 位于同支上时，过原点 作 的平行线 ，则 应位于两条渐近线形成的“上下对顶角”区域内，此时，焦点 到 的距离 应大于焦点 到渐近线的距离 即 所以 从而 3.定理的应用： 例1 （2007年重庆市高考理科第16题）过双虚线 的右焦点 作倾斜角为 的直线交双曲线于 两点，则 的值为 . 解 原双曲线的右焦点 的坐标为 ，由定理2，可知 例2 （2011年全国高考大纲卷理科第21题）已知 为坐标原点， 为椭圆 在 轴正半轴上的焦点，过 且斜率为 的直线 与 交于 两点，点 满足 （I）证明：点 在 上； （II）设点 关于点 的对称点为 ，证明： 四点在同一圆上． 解 （I）易知 ， 的方程为 ， 由 解得 点 的坐标为 经验证，点 的坐标为 满足方程 故点 在椭圆C上. （II）由 和题设知， ， 于是，设 的倾斜角为 则 的倾斜角为 不妨设 与 相交于点 ,由定理2可知， ∴ 由圆的相交弦定理的逆定理可知 四点在同一圆上． 事实上，例2题还可以推广为下述命题： 标准圆锥曲线的两条弦的四个端点共圆的充要条件是这两条弦的倾斜角互补. 限于篇幅，本文不再证明，有兴趣的读者可以参阅文[1]，或者利用本文的定理1、2、3，再结合圆的相交弦定理、割线定理及逆定理来自行证明. 例3 已知抛物线 . 过点 的直线与抛物线相交于不同的两点 ，与 轴相交于点 ，如图2示，求证： 证明：设直线 的倾斜角为 ，一方面，在 中，有 另一方面，由定理3可知 ∴ 例4 若椭圆 的一条准线与对称轴的交点为 ,过 作椭圆的一条割线交椭圆于 两点，过焦点 作与割线的倾斜角互补的直线交椭圆于 两点，则 证明 不妨设 是左焦点， 是右准线与 轴的交点，割线 的倾斜角为 ，则 的倾斜角为 ， ， . 由定理1，可知 其实，例4的结论还可以推广到抛物线与双曲线之中，有兴趣的读者可以参看文[2]，或者利用本文的定理自行证明. 参考文献： [1] 徐广华. 两道关于圆锥曲线上四点共圆高考题的巧解与推广[J]. 中学数学研究，2008,3 [2] 王伯龙. 圆锥曲线的一个漂亮的统一性质[J]. 数学通讯（下半月）.2012，（2）. _1393442052.unknown _1393447996.unknown _1393501108.unknown _1393501707.unknown _1393507116.unknown _1396168296.unknown _1396168330.unknown _1396168783.unknown _1396168459.unknown _1396168305.unknown _1393507445.unknown _1393509994.unknown _1393510168.unknown _1393510355.unknown _1393508342.unknown _1393508383.unknown _1393508413.unknown _1393507557.unknown _1393507853.unknown _1393507472.unknown _1393507367.unknown _1393507405.unknown _1393507311.unknown _1393506747.unknown _1393506860.unknown _1393507013.unknown _1393506807.unknown _1393506609.unknown _1393506724.unknown _1393501806.unknown _1393501153.unknown _1393501485.unknown _1393501513.unknown _1393501553.unknown _1393501339.unknown _1393501441.unknown _1393501195.unknown _1393501212.unknown _1393501165.unknown _1393501130.unknown _1393498528.unknown _1393499186.unknown _1393499413.unknown _1393499523.unknown _1393499640.unknown _1393499447.unknown _1393499232.unknown _1393499036.unknown _1393499175.unknown _1393498545.unknown _1393448732.unknown _1393449156.unknown _1393449536.unknown _1393449656.unknown _1393450015.unknown _1393449260.unknown _1393449013.unknown _1393448562.unknown _1393448664.unknown _1393448008.unknown _1393442743.unknown _1393446190.unknown _1393446922.unknown _1393447038.unknown _1393447528.unknown _1393447187.unknown _1393446959.unknown _1393446503.unknown _1393446839.unknown _1393446329.unknown _1393444064.unknown _1393445888.unknown _1393445937.unknown _1393446065.unknown _1393446141.unknown _1393446073.unknown _1393446055.unknown _1393445899.unknown _1393445197.unknown _1393445302.unknown _1393445697.unknown _1393445794.unknown _1393445755.unknown _1393445392.unknown _1393445243.unknown _1393444837.unknown _1393444930.unknown _1393444502.unknown _1393444800.unknown _1393444421.unknown _1393442911.unknown _1393442535.unknown _1393442690.unknown _1393442628.unknown _1393442068.unknown _1369311429.unknown _1369311613.unknown _1369311624.unknown _1393441922.unknown _1369311614.unknown _1369311435.unknown _1369311612.unknown _1368975486.unknown _1368975604.unknown _1368975387.unknown