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数学排列组合解题技巧
河南开封尉氏县第三高级中学洧川校区 黄周伟
摘要：排列组合问题的内容比较抽象，解题方法比较灵活，很多学生感到难学，尤其在解应用题时不知从何入手。针对上述情况，本文从排列组合问题的解题原则和解题策略两方面阐述了解排列组合应用题的方法，并附以相应的例题。
关键词：高中数学 排列组合 解题技巧
排列组合问题历来是高中数学教学的一个难点，其思考方法独特,求解思路灵活,因而在解题中极易出现“重复”或“遗漏”的错误.虽然近几年高考将侧重点放在两个计数原理的考察上,但当对问题类型把握准确时,解答的准确性上将会有很大的提升,解答速度也会大大提高，本文结合教学实践探讨数学排列组合试题的解题技巧。
一、在具体的教学过程中一定要引导学生注意以下几点:
1、使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定，“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。
2、处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每步独立，达到分类
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明确，分步层次清楚，不重不漏。
3、在解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练地对问题进行分类，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗漏计数。
二、具体的操作方法:
1、相邻捆绑、不邻插空法
对于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。
例1 6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有（ ）种。
A、720 B、360 C、240 D、120
解：因甲、乙两人要排在一起，故将甲乙两人捆在一起视作一人，与其余四人进行全排列，由乘法原理可知，共有240种不同排法，故选（C）。
【解析】：从上述解法可以看出，所谓“捆绑法”，就是对元素进行整体处理的形象化表述，体现数学中的整体思想。对于以“某些元素必须相邻”为附加条件的排列组合问题，只要把必须相邻的元素“捆”成一个整体，视作一个“大”元素，再考虑相邻元素内部的排列或组合，就能保证这些元素相邻而不散乱。
2、插板法
一般解决相同元素分配问题，而且对被分成的元素限制很弱(一般只要求不等于零)，只对分成的份数有要求。
例2 把20台电脑分给18个村，要求每村至少分一台，共有多少种分配方法？
A.190 B.171 C.153 D.19
【答案】B。【解析】此题的想法即是插板思想：在20电脑内部所形成的19个空中任意插入17个板，这样即把其分成18份，那么共有： C(19，17)=C(19，2)=171 种。
3、特殊位置和特殊元素优先法
对有限制的排列组合问题中的特殊元素或特殊位置优先考虑。
例3 从6名运动员中选4人参加4×100米接力，甲不跑第一棒和第四棒的参赛
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各有多少种？
A.120 B.240 C.180 D.60
【答案】B。【解析】方法一：特殊位置优先法：首先填充第一棒，第一棒共有5个元素可供选择，其次第4棒则有4个元素可以选择；然后第2棒则有4个元素可以选择，第3棒则有3个元素可以选择。则共有5×4×4×3=240种。
方法二：特殊元素优先法：首先考虑甲元素的位置
第一类，甲不参赛有A(5,4)=120种排法；
第二类，甲参赛，因只有两个位置可供选择，故有2种排法；其余5人占3个位置有A(5,3)=60种占法，故有2×60=120种方案。
所以有120+120=240种参赛方案。
4、分类法
解含有约束条件的排列组合问题，应按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。
例4 三边长均为整数,且最大边长为11的三角形有多少个?
解:设三角形的另外两个边分别为x和y,要构成三角形,则分类讨论如下：
当y为11时，x可以为：1,2,3,…,11,可有11个三角形；
当y为10时，x可以为：2,3,4,…,10,可有9个三角形；
当y为9时，x可以为：3,4,5,…,9,可有7个三角形；
当y为8时，x可以为：4,5,6,7,8,可有5个三角形；
当y为7时，x可以为：5,6,7,可有3个三角形；
当y为6时，x可以为：6,只有1个三角形；
所以所求的三角形有11+9+7+5+3+1=36个。
总之，课堂教学中教师应该发挥学生的主体意识和主观能动性，让学生从具体问题的
分析
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过程中得到启发，逐步适应排列组合题的解题规律，从而做到以不变应万变。
参考文献：
[1] 汪家玲. 排列组合题型及解题策略[J]. 数学学习与研究. 2010(13)
[2] 陆剑波. 例谈排列问题的解题策略[J]. 师范教育. 2003(03)
[3] 马素萍. 浅析学生数学解题策略的培养[J]. 时代教育(教育教学). 2011(05)
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