2010陕西高考数学最新模拟试题分类汇编—圆锥曲线

第 1 页 2010 陕西高考数学最新模拟试题分类汇编—圆锥曲线 一、选择题 1.（陕西 2010 高三第四次适应训练）双曲线 2 2 2 2 1 y a b x− = 的一条渐近线方程为 43y x= ，则双曲线的离心率为 A． 53 B． 4 3 C． 5 4 D． 7 4 解：C 2.（陕西 2010 高三第五次适应训练）直线 0Ax By C+ + = 与圆 2 2 4x y+ = 相交于两点 M、N， 若满足 2 2 2 C A B= + ， 则OM ·ON（Ｏ为坐标原点）等于（ ） A．－2 B．－1 C．0 D．1 解：A 3.（陕西 2010 高三第五次适应训练）如图， 1F 、 2F 分别是双曲线 )0,0(12 2 2 2 >>=− ba b y a x 的两个焦点，以坐标原点 O 为圆心， 1FO 为半径的圆与该双曲线左支交于 A、 B两点， 若△ ABF2 是等边三角形，则双曲线的离心率为（ ） A． 3 B．2 C． 3 1− D．1 3+ 解：D 4.（陕西 2010 高三第六次适应训练）已知 P 点是双曲线 22 2 2 1( 0, 0) y x a b a b− = > > 上一点， 1F 、 2F 是它的左、 右焦点，若 2 1| | 3 | |PF PF= ，则双曲线的离心率的取值范围是 A． ( )1, 2 B． ( )2,+∞ C． ( ]1, 2 D． [ )2,+∞ 解：C 5.（陕西宝鸡 2010 高三质量检测三）点 P在直线 0632 =−+ yx 上，若存在过点 P的直线交椭圆 1 49 22 =+ yx 于 A、B 两点，且|PA|=|AB|，则称点 P 为“好点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A．直线 l 上的所有点都是“好点” B．直线 l 上仅有有限个点是“好点” C．直线 l 上有无穷多个点是“好点” D．直线 l 上的所有点都不是“好点” 解：C 6.（陕西宝鸡中学 2010 届高三适应性训练）已知椭圆 C．： 1 2 2 2 2 =+ b y a x 以抛物线 xy 162 = 的焦点为焦点， 且短轴一个端点与两个焦点可组成一个等边三角形，那么椭圆 C．的离心率为 （ ） A． 2 1 B． 2 3 C． 3 3 D． 4 3 解：A 7.（陕西师大附中2010高三第九次模拟）若 P 为双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b − = > > 左支上一点, 1 2,F F 为双曲 线的左右焦点,且 1 2 2 1 5 cos sin 5 PFF PF F∠ = ∠ = ,则此双曲线离心率是 A. 5 B.5 C. 2 5 D.3 解：A 8.（陕西师大附中 2010 高三第七次模拟）若双曲线经过坐标原点,且两个焦点分别为 1( 1,0)F − , 2 (3,0)F ,则 该双曲线的离心率为 A. 2 B. 3 2 C. 4 3 D.3 第 2 页 解：A 9.（陕西五校 2010 高三第一次模拟）双曲线 2 2 1 4 3 x y − = 的右焦点到直线 3y x= 的距离是 （ ） A． 3 2 B． 3 C． 5 3 2 D．5 3 解：C 10.（陕西西工大附中 2010 高三第七次适应性训练）若双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0) x y a b a b − = > > 的两个顶点三等分焦 距，则该双曲线的渐近线方程是 A． 2 4 y x= ± B． 2 2y x= ± C． 2y x= ± D． 2 2 y x= ± 解：B 11. （ 陕 西 西 工 大 附 中 2010 高 三 第 八 次 适 应 性 训 练 ）若抛物线 )0(22 >= ppxy 与双曲线 )0,(1 2 2 2 2 >=− ba b y a x 有相同的焦点F，点 A是两曲线的一个交点，且 xAF ⊥ 轴，若 l为双曲线的一条渐 近线，则 l 的倾斜角所在的区间可能是 A． ) 4 ,0( π B． ) 4 , 6 ( ππ C． ) 3 , 4 ( ππ D． ) 2 , 3 ( ππ 解：D 12.（陕西西工大附中 2010 高三第九次适应性训练）已知椭圆 2 2 1 4 x y+ = 的焦点为 1F 、 2F ，在长轴 1 2A A 上 任取一点M ，过M 作垂直于 1 2A A 的直线交椭圆于 P，则使得 1 2 0PF PF⋅ < ���� ����� 的M 点的概率为 A． 23 B． 2 6 3 C． 6 3 D． 1 2 解：C 二、填空题 13.（陕西 2010 高三第六次适应训练）已知抛物线恒经过 ( 1,0)A − 、 (1,0)B 两定点，且以圆 2 2 4x y+ = 的 任一条切线 ( 2x = ± 除外)为准线，则该抛物线的焦点 F 的轨迹方程为： ； 解： 2 2 1( 2) 4 3 x y x+ = ≠ ± 14.（陕西 2010 高三最后冲刺）已知 21 ,FF 分别是双曲线 )0,0(120 2 2 2 >>=− ba y a x 的左右焦点，且其中一 条渐近线方程是 025 =− yx ，点 p在该双曲线上， ,91 =PF 则 =2PF 解 ：（ 理 ） 172 =∴ PF ∵ 渐 近 线 方 程 为 xy 2 5 = ， 162 =∴a ∴ 双 曲 线 方 程 为 ,1 2016 22 =− yx )10(91 =+<= caPF∵ p∴ 在双曲线的左支上， 8212 ==−∴ aPFPF ， 172 =∴ PF 15.（陕西西工大附中 2010 高三第八次适应性训练）设 21 ,FF 为双曲线 )0,0(12 2 2 2 >>=− ba b y a x 的左右焦 点，P为双曲线右支上任一点，当 || || 2 2 1 PF PF 最小值为 a8 时，该双曲线离心率e的取值范围是 ； (1,3] 16. 三、解答题 17.（陕西 2010 高三第四次适应训练）已知定点 ( 1,0)C − 及椭圆 2 23 5x y+ = ，过点 C 的动直线与该椭圆相 交于 ,A B两点． 第 3 页 （1）若线段 AB中点的横坐标是 12− ，求直线 AB的方程； （2）在 x轴上是否存在点M ，使MA MB⋅ ���� ���� 为常数？若存在，求出点M 的坐标；如果不存在，请说明理 由． 解：（1）设直线 : ( 1)AB y k x= + ，将 : ( 1)AB y k x= + 代入椭圆的方程 2 23 5x y+ = ， 消去 y整理得 2 2 2 2(3 1) 6 3 5 0k x k x k+ + + − = ， 设 1 1( , )A x y ，， 则 2 2 4 2 2 6 1 2 3 1 36 4(3 1)(3 5) 0 k k k k k x x + ⎧∆ = − + − >⎪ ⎨ + = −⎪⎩ 因为线段 AB的中点的横坐标为 12− ，解得 3 3k = ± 所以直线 AB的方程为 3 1 0x y± + = （2）假设在 x轴上存在点 ( ,0)M m ，使得MA MB⋅ ���� ���� 位常数， （1）当直线 AB 与 x轴不垂直时，由（1）知 2 2 6 1 2 3 1 k k x x + + = − ， 2 2 3 5 1 2 3 1 k k x x − + ⋅ = 所以 1 2 1 2( )( )MA MB x m x m y y⋅ = − − + ���� ���� = 2 2 2 21 2 1 2( 1) ( )( )k x x k m x x k m+ + − + + + 2 2 6 141 3 3(3 1) 2 m k m m + + = + − − ， 因为MA MB⋅ ���� ���� 是与 k无关的常数，从而有 736 4 0,m m+ = = − ，此时 4 9MA MB⋅ = ���� ���� ， （2）当直线 AB 与 x轴垂直时,此时结论成立， 综上可知，在 x轴上存在定点 73( ,0)M − ，使 4 9MA MB⋅ = ���� ���� 为实数。 18.（陕西 2010 高三第五次适应训练）已知椭圆 C的中心在坐标原点，离心率 22e = ，且其中一个焦点与抛 物线 214y x= 的焦点重合． (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 S( 13− ，0)的动直线 l 交椭圆 C 于 A、B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点 T，使得 无论 l 如何转动，以 AB 为直径的圆恒过点 T，若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(Ⅰ)设椭圆的方程为 ( ) 2 2 2 2 1 0 x y a b b a + = > > ，离心率 22e = ， 2 2 c a = ，抛物线 214y x= 的焦点为 ( )0,1 ， 所以 1, 2, 1c a b= = = ，椭圆 C 的方程是 x2+ 2 2 y =1. …………（4分） (Ⅱ)若直线 l与 x轴重合，则以 AB 为直径的圆是 x2+y2=1，若直线 l 垂直于 x 轴，则以 AB 为直径的圆是 (x+ 1 3 )2+y2= 16 9 ． 由 2 2 2 2 1, 1 16 ( ) , 3 9 x y x y ⎧ + = ⎪ ⎨ + + =⎪⎩ 解得 1, 0. x y =⎧ ⎨ =⎩ 即两圆相切于点(1，0)． 因此所求的点 T 如果存在，只能是(1，0)．…………（6分） 事实上，点 T(1，0)就是所求的点．证明如下： 当直线 l 垂直于 x 轴时，以 AB 为直径的圆过点 T(1，0)． 若直线 l 不垂直于 x轴，可设直线 l：y=k(x+ 1 3 )． 由 2 2 1 ( ), 3 1. 2 y k x y x ⎧ = +⎪⎪ ⎨ ⎪ + = ⎪⎩ 即 (k2+2)x2+ 2 3 k 2 x+ 1 9 k 2-2=0. 记 点 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 第 4 页 2 1 2 2 2 1 2 2 2 3 , 2 1 2 9 . 2 k x x k k x x k ⎧ −⎪ + =⎪⎪ + ⎨ ⎪ − ⎪ =⎪ +⎩ …………（9分） 又因为 TA ��� =(x1-1, y1), TB ��� =(x2-1, y2), TA ��� · TB ��� =(x1-1)(x2-1)+y1y2=(x1-1)(x2-1)+k 2(x1+ 1 3 )(x2+ 1 3 ) =(k2+1)x1x2+( 1 3 k 2-1)(x1+x2)+ 1 9 k 2+1=(k2+1) 2 2 1 2 9 2 k k − + +( 1 3 k 2-1) 2 2 2 3 2 k k − + + 2 1 9 k +1=0， 所以 TA⊥TB，即以 AB 为直径的圆恒过点 T(1，0)． 所以在坐标平面上存在一个定点 T(1，0)满足条件． …………（13 分） 19.（陕西 2010 高三第六次适应训练）双曲线的中心是原点 O，它的虚轴长为 62 ，相应于焦点 F（c,0）（c ＞0）的准线 l 与 x 轴交于点 A，且|OF|=3|OA|,过点 F的直线与双曲线交于 P、Q 两点. （1）求双曲线的方程； （2）若 AP AQ⋅ ���� ���� =0，求直线 PQ 的方程. 解．（1）由题意，设曲线的方程为 2 2 2 2 b y a x − = 1（a＞0,b＞0） 由已知 2 2 2 6 3 a c a c c ⎧ + = ⎪ ⎨ =⎪ ⎩ 解得 a = 3 ，c = 3 所以双曲线的方程为 63 22 yx − = 1…(6 分) （2）由（1）知 A（1，0），F（3，0）， 当直线 PQ 与 x 轴垂直时，PQ 方程为 x = 3 .此时, AP AQ⋅ ���� ���� ≠0,应舍去. 当直线 PQ 与 x 轴不垂直时,设直线 PQ 的方程为 y =k ( x – 3 ). 由方程组 ( )⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −= =− 3 1 63 22 xky yx 得 ( ) 06962 2222 =++−− kxkxk 由于过点 F 的直线与双曲线交于 P、Ｑ两点， 则 2 k －２≠０，即 k≠ 2± ， 由于△＝36 4 k -4( 2 k -2)(9 2 k +6)=48( 2 k +1)＞0 即 k∈R. ∴k∈R且 k≠ 2± （*） ………………………(８分) 设Ｐ（ 1x ， 1y ），Ｑ（ 2x ， 2y ），则 ( ) ( ) 2 2 69 1 2 6 2 2 21 2 2 21 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ − + = − =+ k k xx k k xx 由直线 PQ 的方程得 1y = k（ 1x -3）， 2y = k（ 2x -3） 于是 1y 2y = 2 k （ 1x -3）（ 2x -3）= 2 k [ 1x 2x -3（ 1x + 2x ）+ 9] （3） ∵ AP AQ⋅ ���� ���� = 0，∴（ 1x -1， 1y ）·（ 2x -1， 2y ）= 0 即 1x 2x -（ 1x + 2x ）+ 1 + 1y 2y = 0 （4） 由（1）、（2）、（3）、（4）得 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − − − + ++ − − − + 9 2 6 3 2 69 1 2 6 2 69 2 2 2 2 2 2 2 2 2 k k k k k k k k k = 0 第 5 页 O E D C B A 整理得 2 k = 2 1 ，∴k = 2 2 ± 满足（*） ∴直线 PQ 的方程为 x - y2 -3 = 0 或 x + y2 -3 = 0………(13 分) 20.（陕西宝鸡 2010 高三质量检测三）已知 )0,1(),0,1( 21 FF − 是椭圆 12 2 2 2 =+ b y a x 的两个焦点，点 G 与 F2关 于直线 042: =+− yxl 对称，且 GF1与 l 的交点 P 在椭圆上. （I）求椭圆方程； （II）若 P、 ),(),,( 2211 yxNyxM 的椭圆上的不同三点，直线 PM、PN 的倾斜角互补，问直线 MN 的斜率 是否是定值？如果是，求出该定值，如果不是，说明理由. 解：（I）F2（1，0）关于直线 042: =+− yxl 对称点 G（-1，4） …………3 分 又 GF1与 l 的交点 P 在椭圆上， 4||||||2 121 ==+=∴ GFPFPFa .3 222 =−=∴ cab 因此，所求椭圆方程为 .1 34 22 =+ yx …………5 分 （II）由条件知直线 PM，PN 的斜率存在且不为 0， 易得点 ) 2 3 ,1(−P ，设直线 PM 的方程为 2 3 )1( ++= xky ， 由椭圆方程与直线 PM 方程联立消去 y， 整理得 ,03124)32(4)34( 222 =−+++++ kkxkkxk ∵P在椭圆上，∴方程两根为 1，x1， . 34 3124 , 34 3124 1 2 2 12 2 1 + −+ −= + −+ −=⋅∴ k kk x k kk x …………9 分 ∵直线 PM，PN 的倾斜角互补， ∴直线 PM，PN 的斜率互为相反数， . 34 3124 2 2 2 + −− −=∴ k kk x …………11 分 则 . 34 86 , 34 24 2 2 21221 + − =+ + − =− k k xx k k xx 又 , 2 3 )1(, 2 3 )1( 2211 ++−=++= xkyxky . 34 12 )2 34 86 ()2( 22 2 2121 + =+ + − =++=−∴ k k k k kxxkyy ∴直线 MN 的斜率 2 1 21 21 −= − − = xx yy K MN （定值） …………13 分 21.（陕西宝鸡中学 2010 届高三适应性训练）如图，在等边 ABC∆ 中，O为边长 AB的中点， 4=AB ， ED, 为 ABC∆ 的高OC 上的点，且 →→ = ODOC 32 ， →→ = OEOC 3 ；若以 BA, 为焦点，O为中心的椭 圆过 D 点，建立恰当的直角坐标系，记椭圆为 M （Ⅰ）求椭圆 M 的轨迹方程； （Ⅱ）过点 E的直线 l 与椭圆M 交于不同的两点 QP, ，点 P在点 QE, 之间，且 →→ = EQEP λ ，求实数 λ 的取值范围。 第 6 页 EEEE DDDD YYYY XXXX OOOO CCCC BBBB AAAA 解：建立如图所示的直角坐标系， 由于 →→ = ODOC 32 ， →→ = OEOC 3 ,1 32 1 == →→ OCOD 2 3 1 == →→ OCOE ( ) ( )2,0,1,0 ED∴ 设椭圆方程为 ( )0,1 2 2 2 2 >>=+ ba b y a x 1,242 ==⇒=∴ bcc 5=a 即椭圆方程为 ;1 5 2 2 =+ y x 设 ),( 11 yxp ),( 22 yxQ )2,0(E∵ ，即 ( ) ( )2,2, 2221 −=−= → yxQEyxEP � →→ = EQEP λ∵ ⎩ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ +−= = ⇒ −=− = ∴ 22)2(2 21 21 22 21 λλ λ λ λ yy xx yy xx ① 又 PQ∵ 都在圆上 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ =+ =+ ∴ 1 5 1 5 2 2 2 2 2 2 1 1 y x y x ② 由①②得 ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ =+ =+−+ ∴ 1 5 1)22( 5 )( 2 2 2 2 2 2 2 2 y x xy x λ λ 消去 2x 得 λ λ λλλλ 4 35 1)22( 2 22 2 22 2 − =⇒−=−+− yyy 11 2 ≤≤− y∵ 33 1 ≤≤∴ λ 又 P∵ 在 QE, 之间，是 10, <<∴= →→ λλ EQEP λ∴ 范围为 ⎟ ⎠ ⎞ ⎢⎣ ⎡ 1, 3 1 22.（陕西 2010 高三最后冲刺）如图所示，椭圆过点 ( )5,0B ，点 F 、 A分别为椭圆的右焦点和右顶点 且 有 →→→ == FOFMAF 2 1 。 （1）求椭圆的方程。 （2）若动点 ( ) yxP , ，符合条件： 0=• →→ PAPM ，当 0≠y 时，求证：动点 ( ) yxP , 一定在椭圆内部。 Y B F O A X M 解析 第 7 页 x xx x y yy y BAE S O C D （1）依题意得： 5,2,3 === bca ， 故椭圆的方程 1 59 22 =+ yx （5分） （2）由动点 ( )yxP , 符合条件 0=• →→ PAPM ， ( )0,2F 、 ( )0,1M 、 ( )0,3A 得 ( )yxP , 的轨迹方程： ( ) 12 22 =+− yx ，是以 ( )0,2F 为圆心，1为半径的圆。（8 分）联立椭圆的方程 1 59 22 =+ yx 得：公共 点仅为 ( )0,3A 又 0≠y 所以 ( )0,3A 舍去，从而该圆始终在椭圆内部。故动点 ( )yxP , 一定在椭圆内部。（12 分） 7、（陕西师大附中2010高三第九次模拟）如图,已知 (1,1)S 是抛物线 2 2 ( 0)y px p= > 上的一点,弦 ,SC SD分 别交 x轴于 ,A B两点,且 SA SB= . （1）求证：直线 CD 的斜率为定值； （2）延长 DC 交 x轴于点 E ,若 1 | | | | 3 EC DE= ,求 cos 2 CSD∠ 的值. 解：（1）将点（1，1）代入 pxy 22 = ，得 12 =p ,故抛物线方程 为 xy =2 设 )1(1 −=− xkySA的方程为直线 ， ),( 11 yxC 与抛物线方程 xy =2 联立得： 012 =−+− kyky k y 1 11 =+∴ 1 1 1 −=∴ k y , )1 1 , )1( ( 2 2 − − ∴ kk k C 由题意有 SBSA = ， kSB −∴ 的斜率为直线 , )1 1 , )1( ( 2 2 −− + ∴ kk k D . 2 1 )1()1( 1 1 1 1 2 2 2 2 −=+ − − ++− =∴ k k k k kk K CD （2）设 )0,(tE EDEC 3 1 =∵ )11,)1(( 3 1 )1 1 , )1( ( 2 22 2 −−− + =−− − ∴ k t k k k t k k )1 1 ( 3 1 1 1 −−=− kk , 2=∴k . 12 −=∴ xySA的方程为直线 , )0, 2 1 (A∴ .同理 )0, 2 3 (B 5 3 2 coscos 222 = ⋅ −+ =∠=∠∴ SASB ABSBSA ASBCSD , 25 7 1cos22cos 2 −=−∠=∠∴ ASBCSD . 23.（陕西师大附中 2010 高三第七次模拟）设动圆P过点 ( 1,0)A − ,且与圆 B : 2 2 2 7 0x y x+ − − = 相切. (1)求动圆圆心 P的轨迹Ω的方程； (2)设点 ( , )Q m n 在曲线Ω上,求证:直线 l : 2 2mx ny+ = 与曲线Ω有唯一的公共点； (3)设(2)中的直线 l 与圆 B 交于点 ,E F ,求证:满足 AR AE AF= + ���� ���� ���� 的点 R 必在圆 B 上. 解:(1)由于点 A 在圆 B 内,因此动圆 P 与圆 B : 2 2( 1) 8x y− + = 内切,从而可知: 圆 B的圆心为 (1,0)B ,半 径为 2 2 .故 2 2PB PA= − ,即 2 2PA PB+ = ,由椭圆的定义可知:动圆的圆心 P的轨迹Ω的方程为 第 8 页 2 2 1 2 x y+ = .……………………………………………4 分 (2)由点 ( , )Q m n 在曲线 Ω 上可知: 2 2 1 2 m n+ = ,即 2 22 2m n+ = .又联立直线 l 与曲线 Ω 的方程 2 2 2 2 2 2 mx ny x y + =⎧ ⎨ + =⎩ ,可得: 2 2 2 2(2 4 ) 8 8 8 0m n x mx n+ − + − = ,即 2 22 0x mx m− + = .由 2 22 0x mx m− + = 的 两实数根相等易知直线 l 与曲线Ω有唯一公共点.……………9 分 (3)设点 ,E F 的坐标分别为 1 1 2 2( , ), ( , )E x y F x y ,则由题意可知 1 2,x x 是由直线 l 与圆 B 所得的方程组 2 2 2 2 2 7 0 mx ny x y x + =⎧ ⎨ + − − =⎩ 所 得 方 程 2 2 2 2 2( 4 ) 4( 2 ) 4 28 0m n x m n x n+ − + + − = 的 两 个 不 同 实 根 , 故 2 2 1 2 2 2 2 2 4( 2 ) 4( 2 ) 4( 1) 4 4 2 2 m n m m m x x m n m m m + + − + + = = = + + − + .又由于 1 12 2mx ny+ = , 2 22 2mx ny+ = ,因此 1 2 1 2 4 ( ) 4( 2) 4 ( 1) 4 2 2 ( 2) 2 m x x m m m n y y n n m m − + + − + + = = = + + . 因 AR AE AF= + ���� ���� ���� ,故 1 2 1 22 ( , )BR BA AR AO AE AF OE OF x x y y= + = + + = + = + + ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� ���� , 故 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 16( 1) 16 16( 1) 16 8 | | ( ) ( ) 8 ( 2) ( 2) ( 2) m n m m BR x x y y m m m + + + − = + + + = + = = + + + ���� ,即 | | 2 2BR = ���� ,所以点 R 在圆 B 上. ………………………………………………………………………14 分 24.（陕西五校 2010 高三第一次模拟）已知椭圆 C 的焦点在 x 轴上，一个顶点的坐标是 (0,1) ，离心率等于 5 52 ． （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）过椭圆 C 的右焦点 F 作直线 l 交椭圆 C 于 ,A B 两点，交 y 轴于M 点，若 AFMA 1λ= ， BFMB 2λ= ，求证： 21 λλ + 为定值． 【解答】：（Ⅰ）设椭圆 C 的方程为 )0(1 2 2 2 2 >>=+ ba b y a x ，则由题意知 1=b ． ∴ 5 52 2 22 = − a ba ．即 5 521 1 2 =− a ．∴ 52 =a ． ∴ 椭圆 C 的方程为 1 5 2 2 =+ y x ． ---------------5 分 （Ⅱ）方法一：设 , ,A B M 点的坐标分别为 1 1 2 2 0( , ), ( , ), (0, )A x y B x y M y ， 又易知 F 点的坐标为 (2,0)． ∵ AFMA 1λ= ，∴ 1 1 0 1 1 1( , ) (2 , )x y y x yλ− = − − ． ∴ 1 1 1 1 2 λ λ + =x ， 1 0 1 1 λ+ = y y ． ----------------7 分 第 9 页 将 A 点坐标代入到椭圆方程中得： 1) 1 () 1 2 ( 5 1 2 1 02 1 1 = + + + λλ λ y ， 去分母整理得： 05510 201 2 1 =−++ yλλ ． ---------------10 分 同理，由 BFMB 2λ= 可得： 05510 2 02 2 2 =−++ yλλ ． ∴ 1λ ， 2λ 是方程 05510 2 0 2 =−++ yxx 的两个根， ∴ 1021 −=+ λλ ． -----------------13 分 方法二：设 , ,A B M 点的坐标分别为 1 1 2 2 0( , ), ( , ), (0, )A x y B x y M y ， 又易知 F 点的坐标为 (2,0)． 显然直线 l 存在斜率，设直线 l 的斜率为 k ，则直线 l 的方程是 )2( −= xky ． 将直线 l 的方程代入到椭圆 C 的方程中，消去 y 并整理得 052020)51( 2222 =−+−+ kxkxk ． ------------8 分 ∴ 2 2 21 51 20 k k xx + =+ ， 2 2 21 51 520 k k xx + − = ． 又∵ AFMA 1λ= ， BFMB 2λ= ， 将各点坐标代入得 1 1 1 2 x x − =λ ， 2 2 2 2 x x − =λ ．---------10 分 10 )(24 2)(2 22 2121 2121 2 2 1 1 21 −==++− −+ = − + − =+ ⋯ xxxx xxxx x x x x λλ ．------13 分 25.（陕西西工大附中 2010 高三第七次适应性训练）已知椭圆 2 2 2 2 1( 0) x y a b a b + = > > 的两焦点 1 2F F、 和短轴 的两端点 1 2B B、 正好是一正方形的四个顶点，且焦点到椭圆上一点的最近距离为 2 1− . （1）求椭圆的 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程；（2）设 P 是椭圆上任一点，MN 是圆 C： 2 2( 2) 1x y+ − = 的任一条直径，求 PM PN ����� ���� i 的最大值. 解：（1）由题意知 , c 2-1, a 2,c=b 1,b c a= − = =解得 = 故椭圆的标准方程为 2 2 1 2 x y+ = .5 分 （2） ( ) ( ) ( ) ( )PM PN PC CM PC CN PC CM PC CM= + + = + − ����� ���� ���� ����� ���� ���� ���� ����� ���� ����� i i i = 2 1PC − ���� 从而只需求出 PC ���� 的最大值………（9 分）设 P 0 0( , )x y ，则有 2 20 0 12 x y+ = ，即有 2 20 02 2x y= − ，又 C（0， 2），所以 2 2 2 2 0 0 0( 2) ( 2) 10PC x y y= + − = − + + ���� ，而 [ ]0 1,1y ∈ − ， 所以 0 1y = − 时， 2 PC ���� 最大值为 9，故 PM PN ����� ���� i 的最大值为 8。…………（13 分） 26.（陕西西工大附中 2010 高三第八次适应性训练）已知椭圆 C 的中心在原点，焦点 21 ,FF 在 x轴上，离心 率 2 2 =e ,且经过点 )1,2(M 。 (1)求椭圆 C 的方程； (2) 若直线 l 经过椭圆 C 的右焦点 2F ，且与椭圆C交于 BA, 两点， 使得 11 ,, BFABAF 依次成等差数列，求直线 l的方程。 第 10 页 解： (1)设椭圆C的方程为 1 2 2 2 2 =+ b y a x ， （其中 0>> ba ）由题意得 2 2 == a c e ， 且 2 2 2 1 1 a b + = ，解得 2,2,4 222 === cba ， 所以椭圆 C 的方程为 1 24 22 =+ yx ………５分 （2）设直线 l 的方程为 )2( −= xky ，代入椭圆C的方程 1 24 22 =+ yx 化简得 08828)42( 2222 =−+−+ kxkxk 设 ),(),,( 2211 yxByxA ，则 2 2 21 42 28 k k xx + =+ ， 2 2 21 42 88 k k xx + − =⋅ 由于 11 ,, BFABAF 依次成等差数列，则 ABBFAF 211 =+ 而 8411 ==++ aBFABAF ，所以 3 8 =AB . 2121 2 21 2 4)(11 xxxxkxxkAB −+⋅+=−+= 3 8 21 )1(4 21 14 1 2 2 2 2 2 = + + = + + += k k k k k ，解得 1k = ± ； …………11 分 当直线 l x⊥ 轴时， 2=x ，代入得 1±=y ， 2=AB ,不合题意． 所以，直线 l 的方程为 ( 2)y x= ± − ． ……………………13 分 27.（陕西西工大附中 2010 高三第九次适应性训练）已知双曲线 C ： 2 2 2 2 1 x y a b − = ( 0, 0)a b> > 的右焦点是 F ，右顶点是 A ，虚轴的上端点是 B ，且 1AB AF⋅ = − ���� ���� ， 0120BAF∠ = . （1）求双曲线 C 的方程； （2）过点 (0, 4)P 的直线 l交双曲线于M 、 N 两点，交 x轴于点Q（点Q与双曲线C的顶点不重合）.当 1 2PQ QM QNλ λ= = ���� ����� ���� ，且 1 2 32 7 λ λ+ = − 时，求点Q的坐标. 解：（1）由条件知 ( ,0)A a ， (0, )B b ， ( ,0)F c 。 ( , ) ( ,0) ( ) 1AB AF a b c a a a c⋅ = − ⋅ − = − = − ���� ���� ① 0( ) 1cos cos120 ( ) 2| | | | AB AF a a c a BAF c c a c AB AF ⋅ − ∠ = = = − = = − −⋅ ���� ���� ���� ���� 2c a= ② 解 ①② 得 1a = ， 2c = 。则 2 2 2 3b c a= − = ， 故双曲线C的方程为 2 2 1 3 y x − = 。 …………………… 5分 （2）由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零。 设 l的方程为： 4y kx= + ， 1 1( , )M x y ， 2 2( , )N x y ，则 4 ( ,0)Q k − . ∵ 1PQ QMλ= ���� ����� ， ∴ 1 1 1 4 4 ( , 4) ( , )x y k k λ− − = + 第 11 页 ∴ 1 1 1 1 4 4 ( ) 4 x k k y λ λ ⎧− = +⎪ ⎨ ⎪ − =⎩ ⇒ 1 1 1 1 4 4 4 x k k y λ λ ⎧ = − −⎪⎪ ⎨ ⎪ = − ⎪⎩ 。 …………………… 7 分 ∵ 1 1( , )M x y 在双曲线C上， ∴ 21 2 2 1 1 116 16 ( ) 1 0 3k λ λ λ + − − = ， ∴ 2 2 21 1 16 (16 ) 32 16 0 3 k kλ λ− + + − = 。 同理 2 2 22 2 16 (16 ) 32 16 0 3 k kλ λ− + + − = 。 …………………… 9分 若 216 0k− = ，则直线 l过顶点，不合题意， ∴ 216 0k− ≠ 。………10分 ∴ 1λ 、 2λ 是二次方程 2 2 216(16 ) 32 16 0 3 k x x k− + + − = 的两根。 ∴ 1 2 2 32 32 16 7k λ λ+ = = − − ， ∴ 2 9k = ，此时 0>△ ， ∴ 3k = ± . ∴ 所求Q点的坐标为 4 ( ,0) 3 ± . …………………… 14分