数学解题思想

高中数学解题思想方法 　　 　　我们遇到一个新问题时，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头脑和眼光。 　　高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： 　　常用数学方法：配方法、消去法、换元法、待定系数法、数学归纳法、坐标法、参数法等； 　　数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； 　　数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等； 　　常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想等。 　　 反证法 与前面所讲的方法不同，反证法是属于“间接证明法”一类，是从反面的角度思考问题的证明方法，即：肯定题设而否定结论，从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadamard)对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”。具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明。 反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”。反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假。再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的。 反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是： 第一步，反设：作出与求证结论相反的假设； 第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾； 第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。 在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法。用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”。 在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显。具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能解决得十分干脆。 示 范例 企业形象设计范例幼儿园招生计划范例交接检查记录填写范例软件开发需求文档范例公路资料填写范例 题 例1. 设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点.求证：AC与平面SOB不垂直. 【分析】结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”. 【证明】 假设AC⊥平面SOB， ∵ 直线SO在平面SOB内， ∴ AC⊥SO， ∵ SO⊥底面圆O， ∴ SO⊥AB， ∴ SO⊥平面SAB， ∴平面SAB∥底面圆O， 这显然出现矛盾，所以假设不成立. 即AC与平面SOB不垂直. 【注】否定性的问题常用反证法.例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾. 例2. 若下列方程：x ＋4ax－4a＋3＝0， x ＋（a－1）x＋a ＝0， x ＋2ax－2a＝0至少有一个方程有实根.试求实数a的取值范围. 【分析】 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根.先求出反面情况时a的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案. 【解】 设三个方程均无实根，则有： ，解得 ，即－ ＜a＜－1. 所以当a≥－1或a≤－ 时，三个方程至少有一个方程有实根. 【注】“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单.本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（△≥0）a的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集.两种解法， 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻. 例3. 给定实数a，a≠0且a≠1，设函数y＝ （其中x∈R且x≠ ），证明：①.经过这个函数图像上任意两个不同点的直线不平行于x轴； ②.这个函数的图像关于直线y＝x成轴对称图像.（88年全国理）. 【分析】“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而推翻假设. 【证明】 ① 设M （x ，y ）、M （x ，y ）是函数图像上任意两个不同的点，则x ≠x ， 假设直线M M 平行于x轴，则必有y ＝y ，即 ＝ ，整理得a（x －x ）＝x －x ∵x ≠x ∴ a＝1， 这与已知“a≠1”矛盾， 因此假设不对，即直线M M 不平行于x轴. ② 由y＝ 得axy－y＝x－1，即（ay－1）x＝y－1，所以x＝ ， 即原函数y＝ 的反函数为y＝ ，图像一致. 由互为反函数的两个图像关于直线y＝x对称可以得到，函数y＝ 的图像关于直线y＝x成轴对称图像. 【注】对于“不平行”的否定性结论使用反证法，在假设“平行”的情况下，容易得到一些性质，经过正确无误的推理，导出与已知a≠1互相矛盾.第②问中，对称问题使用反函数对称性进行研究，方法比较巧妙，要求对反函数求法和性质运用熟练. 再现题组 已知函数f（x）在其定义域内是减函数，则方程f（x）＝0 ______. A.至多一个实根 B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根 已知a＜0，－1＜b＜0，那么a、ab、ab 之间的大小关系是_____. A. a＞ab＞ ab B. ab ＞ab＞a C. ab＞a＞ ab D. ab＞ ab ＞a 已知α∩β＝l，a α，b β，若a、b为异面直线，则_____. A. a、b都与l相交 B. a、b中至少一条与l相交 C. a、b中至多有一条与l相交 D. a、b都与l相交 四面体顶点和各棱的中点共10个，在其中取4个不共面的点，不同的取法有_____.（97年全国理） A. 150种 B. 147种 C. 144种 D. 141种 答案 1小题：从结论入手，假设四个选择项逐一成立，导出其中三个与特例矛盾，选A； 2小题：采用“特殊值法”，取a＝－1、b＝－0.5，选D； 3小题：从逐一假设选择项成立着手分析，选B； 4小题：分析清楚结论的几种情况，列式是：C －C ×4－3－6，选D. 数形结合思想方法 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化。 中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一类是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何。 数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；或者是借助于数的精确性和 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。 恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。 数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。 示范例题 例1. 若方程lg（－x ＋3x－m）＝lg（3－x）在x∈（0，3）内有唯一解，求实数m的取值范围. 【分析】将对数方程进行等价变形，转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决. 【解】 原方程变形为 即： 设曲线y ＝（x－2） ， x∈（0，3）和直线y ＝1－m，图像如图所示.由图可知： ① 当1－m＝0时，有唯一解，m＝1； ②当1≤1－m＜4时，有唯一解，即－3＜m≤0， ∴ m＝1或－3＜m≤0 此题也可设曲线y ＝－（x－2） ＋1 ， x∈（0，3）和直线y ＝m后画出图像求解. 【注】 一般地，方程的解、不等式的解集、函数的性质等进行讨论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了.此题也可用代数方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图像分析只一个x值）. 例2. 设|z |＝5，|z |＝2， |z － |＝ ，求 的值. 【分析】 利用复数模、四则运算的几何意义，将复数问题用几何图形帮助求解. 【解】 如图，设z ＝ 、z ＝ 后，则 ＝ 、 ＝ 如图所示. 由图可知，| |＝ ，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得： cos ∠AOD＝ ＝ ∴ ＝ （ ± i）＝2± i 【另解】设z ＝ 、 ＝ 如图所示. 则| |＝ ，且 cos ∠AOD＝ ＝ ，sin ∠AOD＝± ， 所以 ＝ （ ± i）＝2± i，即 ＝2± i. 【注】本题运用“数形结合法”，把共轭复数的性质与复平面上的向量表示、代数运算的几何意义等都表达得淋漓尽致，体现了数形结合的生动活泼. 一般地，复数问题可以利用复数的几何意义而将问题变成几何问题，也可利用复数的代数形式、三角形式、复数性质求解. 本题设三角形式后转化为三角问题的求解过程是：设z ＝5（cos θ ＋isin θ ），z ＝＋isin θ ），则|z － |＝|（5cos θ －2cos θ ）＋（5sin θ ＋2sin θ ）i|＝ ＝ ，所以cos （θ ＋θ ）＝ ，sin （θ ＋θ ）＝± ， ＝ ＝ [cos （θ ＋θ ）＋isin （θ ＋θ ）]＝ （ ± i）＝2± i. 本题还可以直接利用复数性质求解，其过程是：由|z － |＝ 得： （z － ）（ －z ）＝z EMBED Equation.2 ＋z EMBED Equation.2 －z z － EMBED Equation.2 ＝25＋4－z z － EMBED Equation.2 ＝13， 所以z z ＋ EMBED Equation.2 ＝16，再同除以z EMBED Equation.2 得 ＋ ＝4，设 ＝z，解得z＝2± i. 几种解法，各有特点，由于各人的立足点与思维方式不同，所以选择的方法也有别.一般地，复数问题可以应用于求解的几种方法是：直接运用复数的性质求解；设复数的三角形式转化为三角问题求解；设复数的代数形式转化为代数问题求解；利用复数的几何意义转化为几何问题求解. 例3. 直线L的方程为：x＝－ （p＞0），椭圆中心D（2＋ ，0），焦点在x轴上，长半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为A.问p在什么范围内取值，椭圆上有四个不同的点，它们中每一个点到点A的距离等于该点到直线L的距离？ 【分析】 由抛物线定义，可将问题转化成：p为何值时，以A为焦点、L为准线的抛物线与椭圆有四个交点，再联立方程组转化成代数问题（研究方程组解的情况）. 【解】 由已知得：a＝2，b＝1， A（ ，0），设椭圆与双曲线方程并联立有： ，消y得：x －（4－7p）x＋（2p＋ ）＝0 所以△＝16－64p＋48p ＞0，即6p －8p＋2＞0，解得：p＜ 或p＞1. 结合范围（ ，4＋ ）内两根，设f（x）＝x －（4－7p）x＋（2p＋ ）， 所以 ＜ ＜4＋ 即p＜ ，且f（ ）＞0、f（4＋ ）＞0即p＞－4＋3 . 结合以上，所以－4＋3 ＜p＜ . 【注】 本题利用方程的曲线将曲线有交点的几何问题转化为方程有实解的代数问题.一般地，当给出方程的解的情况求参数的范围时可以考虑应用了“判别式法”，其中特别要注意解的范围.另外，“定义法”、“数形结合法”、“转化思想”、“方程思想”等知识都在本题进行了综合运用. 例4. 设a、b是两个实数，A＝{（x，y）|x＝n，y＝na＋b} （n∈Z），B＝{（x，y）|x＝m，y＝3m ＋15} （m∈Z），C＝{（x，y）|x ＋y ≤144}，讨论是否，使得A∩B≠φ与（a，b）∈C同时成立.（85年高考） 【分析】集合A、B都是不连续的点集，“存在a、b，使得A∩B≠φ”的含意就是“存在a、b使得na＋b＝3n ＋15（n∈Z）有解（A∩B时x＝n＝m）.再抓住主参数a、b，则此问题的几何意义是：动点（a，b）在直线L：nx＋y＝3n ＋15上，且直线与圆x ＋y ＝144有公共点，但原点到直线L的距离≥12. 【解】 由A∩B≠φ得：na＋b＝3n ＋15 ； 设动点（a，b）在直线L：nx＋y＝3n ＋15上，且直线与圆x ＋y ＝144有公共点， 所以圆心到直线距离d＝ ＝3（ ＋ ）≥12 ∵ n为整数 ∴ 上式不能取等号，故a、b不存在. 【注】 集合转化为点集（即曲线），而用几何方法进行研究.此题也属探索性问题用数形结合法解，其中还体现了主元思想、方程思想，并体现了对有公共点问题的恰当处理方法. 本题直接运用代数方法进行解答的思路是： 由A∩B≠φ得：na＋b＝3n ＋15 ，即b＝3n ＋15－an （①式）； 由（a，b）∈C得，a ＋b ≤144 （②式）； 把①式代入②式，得关于a的不等式： （1＋n ）a －2n（3n ＋15）a＋（3n ＋15） －144≤0 （③式）， 它的判别式△＝4n （3n ＋15） －4（1＋n ）[（3n ＋15） －144]＝－36（n －3） 因为n是整数，所以n －3≠0，因而△＜0，又因为1＋n ＞0，故③式不可能有实数解. 所以不存在a、b，使得A∩B≠ 与（a，b）∈C同时成立 再现题组 设命题甲：0＜x＜5；命题乙：|x－2|＜3，那么甲是乙的_____. （90年全国文） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 若log 2＜log 2＜0，则_____.（92年全国理） A. 0＜a＜b＜1 B. 0＜b＜a＜1 C. a＞b＞1 D. b＞a＞1 如果|x|≤ ，那么函数f（x）＝cos x＋sin x的最小值是_____. （89年全国文） A. B. － C. －1 D. 如果奇函数f（x）在区间[3，7]上是增函数且最小值是5，那么f（x）的[－7，－3]上是____.（91年全国） A.增函数且最小值为－5 B.增函数且最大值为－5 C.减函数且最小值为－5 D.减函数且最大值为－5 设全集I＝{（x，y）|x，y∈R}，集合M＝{（x，y）| ＝1}，N＝{（x，y）|y≠x＋1}，那么 等于_____. （90年全国） A. φ B. {（2，3）} C. （2，3） D. {（x，y）|y＝x＋1 如果θ是第二象限的角，且满足cos －sin ＝ ，那么 是_____. A.第一象限角 B.第三象限角 C.可能第一象限角，也可能第三象限角 D.第二象限角 已知集合E＝{θ|cosθ＜sinθ，0≤θ≤2π}，F＝{θ|tanθ＜sinθ}，那么E∩F的区间是_____.（93年全国文理） A. （ ，π） B. （ ， ） C. （π， ） D. （ ， ） 若复数z的辐角为 ，实部为－2 ，则z＝_____. A. －2 －2i B. －2 ＋2i C. －2 ＋2 i D. －2 －2 i 如果实数x、y满足等式（x－2） ＋y ＝3，那么 的最大值是_____. （90年全国理） A. B. C. D. 满足方程|z＋3－ i|＝ 的辐角主值最小的复数z是_____. 答案 1小题：将不等式解集用数轴表示，可以看出，甲＝＞乙，选A； 2小题：由已知画出对数曲线，选B； 3小题：设sin x＝t后借助二次函数的图像求f（x）的最小值，选D； 4小题：由奇函数图像关于原点对称画出图像，选B； 5小题：将几个集合的几何意义用图形表示出来，选B； 6小题：利用单位圆确定符号及象限；选B； 7小题：利用单位圆，选A； 8小题：将复数表示在复平面上，选B； 9小题：转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问题；选D； 10小题：利用复平面上复数表示和两点之间的距离 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 求解，答案－ ＋ i. 【注】 以上各题是历年的高考客观题，都可以借助几何直观性来处理与数有关的问题，即借助数轴（①题）、图像（②、③、④、⑤题）、单位圆（⑥、⑦题）、复平面（⑧、⑩题）、方程曲线（⑨题）. 分类讨论思想方法 在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法.分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置. 引起分类讨论的原因主要是以下几个方面： ① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的.如|a|的定义分a＞0、a＝0、a＜0三种情况.这种分类讨论题型可以称为概念型. ② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的.如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况.这种分类讨论题型可以称为性质型. ③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论.如解不等式ax＞2时分a＞0、a＝0和a＜0三种情况讨论.这称为含参型. 另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性. 进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的， 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不漏不重”. 解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论. 示范例题 例1. 设0＜x＜1，a＞0且a≠1，比较|log （1－x）|与|log （1＋x）|的大小. 【分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a有关，所以对底数a分两类情况进行讨论. 【解】 ∵ 0＜x＜1 ∴ 0＜1－x＜1 ， 1＋x＞1 当0＜a＜1时，log （1－x）＞0，log （1＋x）＜0，所以 |log （1－x）|－|log （1＋x）|＝log （1－x）－[－log （1＋x）]＝log （1－x ）＞0； 当a＞1时，log （1－x）＜0，log （1＋x）＞0，所以 |log （1－x）|－|log （1＋x）|＝－log （1－x） －log （1＋x）＝－log （1－x ）＞0； 由①、②可知，|log （1－x）|＞|log （1＋x）|. 【注】本题要求对对数函数y＝log x的单调性的两种情况十分熟悉，即当a＞1时其是增函数，当0＜a＜1时其是减函数.去绝对值时要判别符号，用到了函数的单调性；最后差值的符号判断，也用到函数的单调性. 例2. 已知集合A和集合B各含有12个元素，A∩B含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数： ①. C A∪B且C中含有3个元素； ②. C∩A≠φ . 【分析】 由已知并结合集合的概念，C中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A而属于B的元素.并由含A中元素的个数1、2、3，而将取法分三种. 【解】 C ·C ＋C ·C ＋C ·C ＝1084 【注】本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的分类，达到分类完整及每类互斥的要求，还有一个关键是要确定C中元素如何取法.另一种解题思路是直接使用“排除法”，即C －C ＝1084. 例3. 设{a }是由正数组成的等比数列，S 是前n项和. ①. 证明： ＜lgS ； ②.是否存在常数c＞0，使得 ＝lg（S －c）成立？并证明结论.（95年全国理） 【分析】 要证的不等式和讨论的等式可以进行等价变形；再应用比较法而求解.其中在应用等比数列前n项和的公式时，由于公式的要求，分q＝1和q≠1两种情况. 【解】 设{a }的公比q，则a ＞0，q＞0 ①.当q＝1时，S ＝na ，从而S S －S EMBED Equation.2 ＝na （n＋2）a －（n＋1） a EMBED Equation.2 ＝－a EMBED Equation.2 ＜0； 当q≠1时，S ＝ ，从而 S S －S EMBED Equation.2 ＝ － ＝－a EMBED Equation.2 q ＜0； 由上可得S S ＜S EMBED Equation.2 ，所以lg（S S ）＜lg（S EMBED Equation.2 ），即 ＜lgS . ②. 要使 ＝lg（S －c）成立，则必有（S －c）（S －c）＝（S －c） ， 分两种情况讨论如下： 当q＝1时，S ＝na ，则 （S －c）（S －c）－（S －c） ＝（na －c）[（n＋2）a －c]－[（n＋1）a －c] ＝－a EMBED Equation.2 ＜0 当q≠1时，S ＝ ，则（S －c）（S －c）－（S －c） ＝[ －c][ －c]－[ －c] ＝－a q [a －c（1－q）] ∵ a q ≠0 ∴ a －c（1－q）＝0即c＝ 而S －c＝S － ＝－ ＜0 ∴对数式无意义 由上综述，不存在常数c＞0， 使得 ＝lg（S －c）成立. 【注】 本例由所用公式的适用范围而导致分类讨论.该题文科考生改问题为：证明 ＞log S ，和理科第一问类似，只是所利用的是底数是0.5时，对数函数为单调递减. 例1、例2、例3属于涉及到数学概念、定理、公式、运算性质、法则等是分类讨论的问题或者分类给出的，我们解决时按要求进行分类，即题型为概念、性质型. 例4. 设函数f（x）＝ax－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f（x）＞0，求实数a的取值范围. 【分析】含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解. 【解】当a＞0时，f（x）＝a（x－）＋2－ ∴或 或 ∴ a≥1或＜a＜1或φ 即 a＞； 当a＜0时，，解得φ； 当a＝0时，f（x）＝－2x＋2， f（1）＝0，f（4）＝－6，∴不合题意 由上而得，实数a的取值范围是a＞ . 【注】本题分两级讨论，先对决定开口方向的二次项系数a分a＞0、a＜0、a＝0三种情况，再每种情况结合二次函数的图像，在a＞0时将对称轴与闭区间的关系分三种，即在闭区间左边、右边、中间.本题的解答，关键是分析符合条件的二次函数的图像，也可以看成是“数形结合法”的运用. 例5. 解不等式 ＞0 （a为常数，a≠－ ） 【分析】 含参数的不等式，参数a决定了2a＋1的符号和两根－4a、6a的大小，故对参数a分四种情况a＞0、a＝0、－ ＜a＜0、a＜－ 分别加以讨论. 【解】 2a＋1＞0时，a＞－ ； －4a＜6a时，a＞0 . 所以分以下四种情况讨论： 当a＞0时，（x＋4a）（x－6a）＞0，解得：x＜－4a或x＞6a； 当a＝0时，x ＞0，解得：x≠0； 当－ ＜a＜0时，（x＋4a）（x－6a）＞0，解得： x＜6a或x＞－4a； 当a＞－ 时，（x＋4a）（x－6a）＜0，解得： 6a＜x＜－4a . 综上所述，当a＞0时，x＜－4a或x＞6a；当a＝0时，x≠0；当－ ＜a＜0时，x＜6a或x＞－4a；当a＞－ 时，6a＜x＜－4a . 【注】 本题的关键是确定对参数a分四种情况进行讨论，做到不重不漏.一般地，遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义及对结果的影响而进行分类讨论，此种题型为含参型. 例6. 设a≥0，在复数集C中，解方程：z ＋2|z|＝a . （90年全国高考） 【分析】由已知z ＋2|z|＝a和|z|∈R可以得到z ∈R，即对z分实数、纯虚数两种情况进行讨论求解. 【解】 ∵ |z|∈R，由z ＋2|z|＝a得：z ∈R； ∴ z为实数或纯虚数 当z∈R时，|z| ＋2|z|＝a，解得：|z|＝－1＋ ∴ z＝±（－1＋ ）； 当z为纯虚数时，设z＝±yi （y＞0）， ∴ －y ＋2y＝a 解得：y＝1± （0≤a≤1） 由上可得，z＝±（－1＋ ）或±（1± ）i 【注】本题用标准解法（设z＝x＋yi再代入原式得到一个方程组，再解方程组）过程十分繁难，而挖掘隐含，对z分两类讨论则简化了数学问题. 【另解】 设z＝x＋yi，代入得 x －y ＋2 ＋2xyi＝a； ∴ 当y＝0时，x ＋2|x|＝a，解得x＝±（－1＋ ），所以z＝±（－1＋ ）； 当x＝0时，－y ＋2|y|＝a，解得y＝±（1± ），所以±（1± ）i. 由上可得，z＝±（－1＋ ）或±（1± ）i 【注】此题属于复数问题的标准解法，即设代数形式求解.其中抓住2xy＝0而分x＝0和y＝0两种情况进行讨论求解.实际上，每种情况中绝对值方程的求解，也渗透了分类讨论思想. 例7. 在xoy平面上给定曲线y ＝2x，设点A（a，0），a∈R，曲线上的点到点A的距离的最小值为f（a），求f（a）的函数表达式. （本题难度0.40） 【分析】 求两点间距离的最小值问题，先用公式建立目标函数，转化为二次函数在约束条件x≥0下的最小值问题，而引起对参数a的取值讨论. 【解】 设M（x，y）为曲线y ＝2x上任意一点，则 |MA| ＝（x－a） ＋y ＝（x－a） ＋2x＝x －2（a－1）x＋a ＝[x－（a－1）] ＋（2a－1） 由于y ＝2x限定x≥0，所以分以下情况讨论： 当a－1≥0时，x＝a－1取最小值，即|MA} EMBED Equation.2 ＝2a－1； 当a－1＜0时，x＝0取最小值，即|MA} EMBED Equation.2 ＝a ； 综上所述，有f（a）＝ . 【注】本题解题的基本思路是先建立目标函数.求二次函数的最大值和最小值问题我们十分熟悉，但含参数a，以及还有隐含条件x≥0的限制，所以要从中找出正确的分类标准，从而得到d＝f（a）的函数表达式. 再现题组 1.集合A＝{x||x|≤4，x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A B，那么a的范围是_____. A. 0≤a≤1 B. a≤1 C. a＜1 D. 0＜a＜1 2.若a＞0且a≠1，p＝log （a ＋a＋1），q＝log （a ＋a＋1），则p、q的大小关系是_____. A. p＝q B. p＜q C. p＞q D.当a＞1时，p＞q；当0＜a＜1时，p＜q 3.函数y＝ ＋ ＋ ＋ 的值域是_________. 4.若θ∈（0， ），则 EMBED Equation.2 的值为_____. A. 1或－1 B. 0或－1 C. 0或1 D. 0或1或－1 5.函数y＝x＋ 的值域是_____. A. [2，＋∞） B. （－∞，－2]∪[2，＋∞） C. （－∞，＋∞） D. [－2，2] 6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____. A. EMBED Equation.2 B. EMBED Equation.2 C. EMBED Equation.2 D. EMBED Equation.2 或 EMBED Equation.2 7.过点P（2，3），且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____. A. 3x－2y＝0 B. x＋y－5＝0 C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0 D.不能确定 答案 1小题：对参数a分a＞0、a＝0、a＜0三种情况讨论，选B； 2小题：对底数a分a＞1、0＜a＜1两种情况讨论，选C； 3小题：分x在第一、二、三、四象限等四种情况，答案{4，－2，0}； 4小题：分θ＝ 、0＜θ＜ 、 ＜θ＜ 三种情况，选D； 5小题：分x＞0、x＜0两种情况，选B； 6小题：分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D； 7小题：分截距等于零、不等于零两种情况，选C. 函数与方程的思想方法 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解.有时，还实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的. 笛卡尔的方程思想是：实际问题→数学问题→代数问题→方程问题.宇宙世界，充斥着等式和不等式.我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值问题是通过解方程来实现的……等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关.而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数y＝f(x)，就可以看作关于x、y的二元方程f(x)－y＝0.可以说，函数的研究离不开方程.列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程思想时需要重点考虑的. 函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关系型的数学模型，从而进行研究.它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点.一般地，函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f (x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性.在解题中，善于挖掘题目中的隐含条件，构造出函数解析式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键.对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型.另外，方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题. 函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是高考中考查的重点.我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题；有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，应用函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n的函数，数列问题也可以用函数方法解决. 示范例题 例1. 设a＞0，a≠1，试求方程log （x－ak）＝log （x －a ）有实数解的k的范围.（89年全国高考） 【分析】由换底公式进行换底后出现同底，再进行等价转化为方程组，分离参数后分析式子特点，从而选用三角换元法，用三角函数的值域求解. 【解】 将原方程化为：log （x－ak）＝log EMBED Equation.2 ， 等价于 （a＞0，a≠1） ∴ k＝ － （ | |＞1 ）， 设 ＝cscθ， θ∈（－ ，0）∪（0， ），则 k＝f（θ）＝cscθ－|cot θ| 当θ∈（－ ，0）时，f（θ）＝cscθ＋cot θ＝cot ＜－1，故k＜－1； 当θ∈（0， ）时，f（θ）＝cscθ－cotθ＝tan ∈（0，1），故0＜k＜1； 综上所述，k的取值范围是：k＜－1或0＜k＜1. 【注】 求参数的范围，分离参数后变成函数值域的问题，观察所求函数式，引入新的变量，转化为三角函数的值域问题，在进行三角换元时，要注意新的变量的范围.一般地，此种思路可以解决有关不等式、方程、最大值和最小值、参数范围之类的问题.本题还用到了分离参数法、三角换元法、等价转化思想等数学思想方法. 另一种解题思路是采取“数形结合法”： 将原方程化为：log （x－ak）＝log EMBED Equation.2 ，等价于x－ak＝ （x－ak＞0），设曲线C ：y＝x－ak，曲线C ：y＝ （y＞0），如图所示. 由图可知，当－ak＞a或－a＜－ak＜0时曲线C 与C 有交点，即方程有实解.所以k的取值范围是：k＜－1或0＜k＜1. 还有一种思路是直接解出方程的根，然后对方程的根进行讨论，具体过程是：原方程等价变形为 后，解得： ，所以 ＞ak，即 －k＞0，通分得 ＜0，解得k＜－1或0＜k＜1.所以k的取值范围是：k＜－1或0＜k＜1. 例2. 设不等式2x－1＞m（x －1）对满足|m|≤2的一切实数m的取值都成立.求x的取值范围. 【分析】 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x的不等式讨论.然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式（x －1）m－（2x－1）＜0在[－2，2]上恒成立的问题.对此的研究，设f（m）＝（x －1）m－（2x－1），则问题转化为求一次函数（或常数函数）f（m）的值在[－2，2]内恒为负值时参数x应该满足的条件 . 【解】问题可变成关于m的一次不等式：（x －1）m－（2x－1）＜0在[－2，2] 恒成立，设f（m）＝（x －1）m－（2x－1）， 则 解得x∈（ ， ） 【注】 本题的关键是变换角度，以参数m作为自变量而构造函数式，不等式问题变成函数在闭区间上的值域问题.本题有别于关于x的不等式2x－1＞m（x －1）的解集是[－2，2]时求m的值、关于x的不等式2x－1＞m（x －1）在[－2，2]上恒成立时求m的范围. 一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化.或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参数，而参数作为函数，更具有灵活性，从而巧妙地解决有关问题. 例3. 设等差数列{a }的前n项的和为S ，已知a ＝12，S ＞0，S ＜0 . ①.求公差d的取值范围； ②.指出S 、S 、…、S 中哪一个值最大，并说明理由.（92年全国高考） 【分析】 ①问利用公式a 与S 建立不等式，容易求解d的范围；②问利用S 是n的二次函数，将S 中哪一个值最大，变成求二次函数中n为何值时S 取最大值的函数最值问题. 【解】① 由a ＝a ＋2d＝12，得到a ＝12－2d，所以 S ＝12a ＋66d＝12（12－2d）＋66d＝144＋42d＞0， S ＝13a ＋78d＝13（12－2d）＋78d＝156＋52d＜0. 解得：－ ＜d＜－3. ② S ＝na ＋ n（n1－1）d＝n（12－2d）＋ n（n－1）d ＝ [n－ （5－ ）] － [ （5－ ）] 因为d＜0，故[n－ （5－ ）] 最小时，S 最大.由－ ＜d＜－3得6＜ （5－ ）＜6.5，故正整数n＝6时[n－ （5－ ）] 最小，所以S 最大. 【注】 数列的通项公式及前n项和公式实质上是定义在自然数集上的函数，因此可利用函数思想来分析或用函数方法来解决数列问题.也可以利用方程的思想，设出未知的量，建立等式关系即方程，将问题进行算式化，从而简洁明快.由次可见，利用函数与方程的思想来解决问题，要求灵活地运用、巧妙的结合，发展了学生思维品质的深刻性、独创性. 本题的另一种思路是寻求a ＞0、a ＜0 ，即：由d＜0知道a ＞a ＞…＞a ，由S ＝13a ＜0得a ＜0，由S ＝6（a ＋a ）＞0得a ＞0.所以，在S 、S 、…、S 中，S 的值最大. 例4. 如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上任一点，设∠BAC＝θ，PA＝AB＝2r，求异面直线PB和AC的距离. 【分析】 异面直线PB和AC的距离可看成求直线PB上任意一点到AC的距离的最小值，从而设定变量，建立目标函数而求函数最小值. 【解】 在PB上任取一点M，作MD⊥AC于D，MH⊥AB于H， 设MH＝x，则MH⊥平面ABC，AC⊥HD . ∴MD ＝x ＋[（2r－x）sinθ] ＝（sin θ＋1）x －4rsin θx＋4r sin θ ＝（sin θ＋1）[x－ ] ＋ 即当x＝ 时，MD取最小值 为两异面直线的距离. 【注】 本题巧在将立体几何中“异面直线的距离”变成“求异面直线上两点之间距离的最小值”，并设立合适的变量将问题变成代数中的“函数问题”.一般地，对于求最大值、最小值的实际问题，先将文字说明转化成数学语言后，再建立数学模型和函数关系式，然后利用函数性质、重要不等式和有关知识进行解答.比如再现性题组第8题就是典型的例子. 例5. 已知△ABC三内角A、B、C的大小成等差数列，且tan A·tan C＝2＋ ，又知顶点C的对边c上的高等于4 ，求△ABC的三边a、b、c及三内角. 【分析】已知了一个积式，考虑能否由其它已知得到一个和式，再用方程思想求解. 【解】 由A、B、C成等差数列，可得B＝60°； 由△ABC中tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC，得 tan A＋tanC＝tanB（tanA·tanC－1）＝ （1＋ ） 设tanA、tanC是方程x －（ ＋3）x＋2＋ ＝0的两根，解得x ＝1，x ＝2＋ 设A＜C，则tan A＝1，tan C＝2＋ ， ∴A＝ ，C＝ 由此容易得到a＝8，b＝4 ，c＝4 ＋4. 【注】本题的解答关键是利用“△ABC中tan A＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC”这一条性质得到tanA＋tanC，从而设立方程求出tanA和tanC的值，使问题得到解决. 例6. 若（z－x） －4（x－y）（y－z）＝0，求证：x、y、z成等差数列. 【分析】 观察题设，发现正好是判别式b －4ac＝0的形式，因此联想到构造一个一元二次方程进行求解. 【证明】 当x＝y时，可得x＝z， ∴x、y、z成等差数列； 当x≠y时，设方程（x－y）t －（z－x）t＋（y－z）＝0，由△＝0得t ＝t ，并易知t＝1是方程的根. ∴t ·t ＝ ＝1 ， 即2y＝x＋z ， ∴x、y、z成等差数列 【注】一般地，题设条件中如果已经具备或经过变形整理后具备了“x ＋x ＝a、x ·x ＝b”的形式，则可以利用根与系数的关系构造方程；如果具备b －4ac≥0或b －4ac≤0的形式，可以利用根的判别式构造一元二次方程.这种方法使得非方程问题用方程思想来解决，体现了一定的技巧性，也是解题基本方法中的一种“构造法”. 例7. △ABC中，求证：cosA·cosB·cosC≤ . 【分析】考虑首先使用三角公式进行变形，结合三角形中有关的性质和定理，主要是运用“三角形的内角和为180°”.变形后再通过观察式子的特点而选择和发现最合适的方法解决. 【证明】 设k＝cosA·cosB·cosC＝ [cos（A＋B）＋cos（A－B）]·cosC＝ [－cosC＋cos（A－B）]cosC 整理得：cos C－cos（A－B）·cosC＋2k＝0，即看作关于cosC的一元二次方程. ∴ △＝cos （A－B）－8k≥0 即 8k≤cos （A－B）≤1 ∴ k≤ 即cosA·cosB·cosC≤ 【注】本题原本是三角问题，引入参数后，通过三角变形，发现了其等式具有“二次”特点，于是联想了一元二次方程，将问题变成代数中的方程有实解的问题，这既是“方程思想”，也体现了“判别式法”、“参数法”. 此题的另外一种思路是使用“放缩法”，在放缩过程中也体现了“配方法”，具体解答过程是：cosA·cosB·cosC＝ [cos（A＋B）＋cos（A－B）]·cosC ＝－ cos C＋ cos（A－B）·cosC＝－ [cosC－ ] ＋ cos （A－B）≤ cos （A－B）≤ . 例8. 设f（x）＝lg ，如果当x∈（－∞，1]时f（x）有意义，求实数a的取值范围. 【分析】当x∈（－∞，1]时f（x）＝lg 有意义的函数问题，转化为1＋2 ＋4 a＞0在x∈（－∞，1]上恒成立的不等式问题. 【解】 由题设可知，不等式1＋2 ＋4 a＞0在x∈（－∞，1]上恒成立， 即：（ ） ＋（ ） ＋a＞0在x∈（－∞，1]上恒成立. 设t＝（ ） ， 则t≥ ， 又设g（t）＝t ＋t＋a，其对称轴为t＝－ ∴ t ＋t＋a＝0在[ ，＋∞）上无实根， 即 g（ ）＝（ ） ＋ ＋a＞0，得a＞－ 所以a的取值范围是a＞－ . 【注】对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想.一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化. 在解决不等式（ ） ＋（ ） ＋a＞0在x∈（－∞，1]上恒成立的问题时，也可使用“分离参数法”： 设t＝（ ） ， t≥ ，则有a＝－t －t∈（－∞，－ ]，所以a的取值范围是a＞－ .其中最后得到a的范围，是利用了二次函数在某区间上值域的研究，也可属应用“函数思想”. 再现题组 1.方程lgx＋x＝3的解所在的区间为_____. A. （0，1） B. （1，2） C. （2，3） D. （3，＋∞） 2.如果函数f（x）＝x ＋bx＋c对于任意实数t，都有f（2＋t）＝f（2－t），那么_____. A. f（2）＜f（1）＜f（4） B. f（1）＜f（2）＜f（4） C. f（2）＜f（4）＜f（1） D. f（4）＜f（2）＜f（1） 3.已知函数y＝f（x）有反函数，则方程f（x）＝a （a是常数） ______. A.有且仅有一个实根 B.至多一个实根 C.至少一个实根 D.不同于以上结论 4.已知sinθ＋cosθ＝ ，θ∈（ ，π），则tanθ的值是_____. A. － B. － C. D. 5.已知等差数列的前n项和为S ，且S ＝S （p≠q，p、q∈N），则S ＝_________. 6.关于x的方程sin x＋cos x＋a＝0有实根，则实数a的取值范围是__________. 7.正六棱锥的体积为48，侧面与底面所成的角为45°，则此棱锥的侧面积为___________. 8. 建造一个容积为8m ，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，则水池的最低造价为___________. 答案 1小题：图像法解方程，也可代入各区间的一个数（特值法或代入法），选C； 2小题：函数f（x）的对称轴为2，结合其单调性，选A； 3小题：从反面考虑，注意应用特例，选B； 4小题：设tan ＝x （x＞0），则 ＋ ＝ ，解出x＝2，再用万能公式，选A； 5小题：利用 是关于n的一次函数，设S ＝S ＝m， ＝x，则（ ，p）、（ ，q）、（x，p＋q）在同一直线上，由两点斜率相等解得x＝0，则答案：0； 6小题：设cos x＝t，t∈[－1，1]，则a＝t －t－1∈[－ ，1]，所以答案：[－ ，1]； 7小题：设高h，由体积解出h＝2 ，答案：24 ； 8小题：设长x，则宽 ，造价y＝4×120＋4x×80＋ ×80≥1760，答案：1760. 等价转化思想方法 　　等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。 　　转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正（如无理方程化有理方程要求验根），它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。 　　著名的数学家，莫斯科大学教授C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什