2012年深圳市高三年级第一次调研考试 理科数学 (含答案)

绝密★启用前 试卷类型：A 2012年深圳市高三年级第一次调研考试 数学（理科） 2012.2 本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损． 2．选择题每小题选出 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式： 如果事件 互斥，那么 ； 如果事件 相互独立，那么 ； 若锥体的底面积为 ，高为 ，则锥体的体积为 ． 一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1．若 （ 为虚数单位），则 的虚部是 A． B． C． D． 2．已知 ， 是平面 内的两条直线，则“直线 ”是“直线 ，直线 ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知直线 的斜率为 ，在 轴上的截距为1，则 A． B． C． D． 4．执行图1的程序框图，如果依次输入函数： 、 、 、 ，那么输出 的函数 为 A． B． C． D． 5．已知符号函数 ，则函数 的零点个数为 A． B． C． D． 6．已知变数 满足约束条件 ，若目标函数 仅在点 处取到最大值，则实数 的取值范围为 A． B． C． D． 7．“ ”含有数字 ，且有两个数字2．则含有数字 ，且有两个相同数字的四位数的个数为 A． B． C． D． 8．设 是实数集 的非空子集，如果 有 ，则称 是一个“和谐集”．下面命题为假命题的是 A．存在有限集 ， 是一个“和谐集” B．对任意无理数 ，集合 都是“和谐集” C．若 ，且 均是“和谐集”，则 D．对任意两个“和谐集” ，若 ，则 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分． （一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道 试题 中考模拟试题doc幼小衔接 数学试题 下载云南高中历年会考数学试题下载N4真题下载党史题库下载 考生都必须作答． 9． ． 10．某中学组织了“迎新杯”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出若干名学生，并将其成绩绘制成频率分布直方图（如图2），其中成绩的范围是[50，100]，样本数据分组为[50，60），[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，已知样本中成绩小于70分的个数是36，则样本中成绩在 内的学生人数为 ． 11．已知抛物线 的准线 与双曲线 相切，则双曲线 的离心率 ． 12．已知等比数列 的第 项是二项式 展开式的常数项，则 ． 13．如图3所示的几何体中，四边形 是矩形，平面 平面 ，已知 ， ，且当规定主（正）视 方向垂直平面 时，该几何体的左（侧）视图的面积为 ．若 、 分别是线段 、 上的动点，则 的最小值为 ． （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分． 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点 到曲线 上的点的最短距离为 ． 15．（几何证明选讲选做题）如图4， 是圆 上的两点，且 ， ， 为 的中点，连接 并延长交圆 于点 ，则 ． 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数 ， （其中 ），其部分图像如图5所示． （1）求函数 的解析式； （2）已知横坐标分别为 、 、 的三点 、 、 都在函数 的图像上，求 的值． 17．（本小题满分13分） 随机调查某小区 个人，以研究这一小区居民在 时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表： 休闲方式 性别 看电视 看书 合计 男 女 合计 （1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查 名在该小区的男性，设调查的 人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量 ，求 的分布列和期望； （2）根据以上资料，能否有 %的把握认为“在 时间段的休闲方式与性别有关系”？ 参考公式： ，其中 ． 参考数据： 18．（本小题满分13分） 如图6，平行四边形 中， ， ， ，沿 将 折起，使二面角 是大小为锐角 的二面角，设 在平面 上的射影为 ． （1）当 为何值时，三棱锥 的体积最大？最大值为多少？ （2）当 时，求 的大小． 19．（本小题满分14分） 如图7，已知椭圆 ： 的离心率为 ，以椭圆 的左顶点 为圆心作圆 ： ，设圆 与椭圆 交于点 与点 ． （1）求椭圆 的方程； （2）求 的最小值，并求此时圆 的方程； （3）设点 是椭圆 上异于 的任意一点，且直线 分别与 轴交于点 ， 为坐标原点，求证： 为定值． 20．（本小题满分14分） 已知函数 ，设曲线 在与 轴交点处的切线为 ， 为 的导函数，满足 ． （1）求 ； （2）设 ， ，求函数 在 上的最大值； （3）设 ，若对一切 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 21．（本小题满分14分） 已知数列 满足： ， （其中 为自然对数的底数）． （1）求数列 的通项 ； （2）设 ， ，求证： ， ． 2012年深圳市高三年级第一次调研考试 数学(理科)答案及评分标准 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 一、选择题：本大题每小题5分，满分40分． 1 2 3 4 5 6 7 8 A A D C C B B D 二、填空题：本大题每小题5分，满分30分． 9． ； 10． ； 11． ； 12． ； 13． ；　 14． ；　 　15． ． 三、解答题 16．（本小题满分12分） 已知函数 ， （其中 ），其部分图像如图所示． (1) 求函数 的解析式； (2) 已知横坐标分别为 、 、 的三点 、 、 都在函数 的图像上，求 的值． 解：（1）由图可知， ， ……………………………………………………1分 最小正周期 所以 ………………………………3分 又 ，且 所以 ， ………………5分 所以 ． …………………6分 (2) 解法一: 因为 ， 所以 ， ……………………………………………8分 ， 从而 ， ……………………………………………10分 由 ，得 . ………………12分 解法二: 因为 ， 所以 ， ……………………………………………8分 , , , 则 . ……………………10分 由 ，得 . ……………12分 【说明】 本小题主要考查了三角函数 的图象与性质，以及余弦定理，同角三角函数关系式，平面向量的数量积等基础知识，考查了简单的数学运算能力． 17．（本小题满分13分） 随机调查某社区 个人，以研究这一社区居民在 时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表： 性别 休闲方式 看电视 看书 合计 男 女 合计 （1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查 名在该社区的男性，设调查的 人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量 ，求 的分布列和期望； （2）根据以上数据，能否有 %的把握认为“在 时间段的休闲方式与性别有关系”？ 参考公式： ，其中 ． 参考数据： 解：（1）依题意，随机变量 的取值为： ，且每个男性在这一时间段以看书为休闲方式的概率为 ． …………………………………………2分 方法一： ， ， ， ． ……………6分 的分布列为: ． …………………………8分 方法二：根据题意可得 ， ……………………………………4分 ， ． …………………………………6分 ． ………………………………………8分 (2) 提出假设 ：休闲方式与性别无关系． 根据样本提供的 列联表得 ． 因为当 成立时， 的概率约为 ，所以我们有 %的把握认为“在 时间段性别与休闲方式有关”． ………………………13分 【说明】本题主要考察读图表、随机事件的概率、二项分布以及数学期望、独立性检验等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力和应用意识． 18．（本小题满分13分） 如图，平行四边形 中， ， ， ，沿 将 折起，使二面角 是大小为锐角 的二面角，设 在平面 上的射影为 ． （1）当 为何值时，三棱锥 的体积最大？最大值为多少？ （2）当 时，求 的大小． 解：（1）由题知 为 在平面 上的射影， ∵ ， 平面 ，∴ ， ∴ ， ……………………2分 ……………4分 EMBED Equation.DSMT4 ， ……………………5分 当且仅当 ，即 时取等号， ∴当 时，三棱锥 的体积最大，最大值为 ． ………6分 (2)(法一)连接 ， ……………………7分 ∵ 平面 ， ， ∴ 平面 ， ∴ ， ………………………9分 ∴ ， 故 ， ∴ ， ………………11分 ∴ ， ∴ ， ………………………………………………12分 在 中， ，得 ．…………………13分 (法二) 过 作 于 ，则 为矩形， 以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 ， ， ………9分 于是 ， ， ……………10分 由 ，得 ， ∴ ， …………………12分 得 ，又 为锐角，∴ ． ……………………………13分 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，棱锥的体积、二面角及三角函数等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力． 19．（本小题满分14分） 如图，已知椭圆 ： 的离心率为 ，以椭圆 的左顶点 为圆心作圆 ： ，设圆 与椭圆 交于点 与点 ． （1）求椭圆 的方程； （2）求 的最小值，并求此时圆 的方程； （3）设点 是椭圆 上异于 , 的任意一点，且直线 分别与 轴交于点 ， 为坐标原点，求证： 为定值． 解：（1）依题意，得 ， ， ； 故椭圆 的方程为 ． ……………………………………3分 （2）方法一：点 与点 关于 轴对称，设 ， ， 不妨设 ． 由于点 在椭圆 上，所以 ． （*） …………………4分 由已知 ，则 ， ， ． …………………………………6分 由于 ，故当 时， 取得最小值为 ． 由（*）式， ，故 ，又点 在圆 上，代入圆的方程得到 ． 故圆 的方程为： ． …………………8分 方法二：点 与点 关于 轴对称，故设 ， 不妨设 ，由已知 ，则 ． …………………………………………………6分 故当 时， 取得最小值为 ，此时 ， 又点 在圆 上，代入圆的方程得到 ． 故圆 的方程为： ． …………………8分 (3) 方法一：设 ，则直线 的方程为： ， 令 ，得 ， 同理： ， …………………10分 故 （**） …………………11分 又点 与点 在椭圆上，故 ， ，…………………12分 代入（**）式，得： ． 所以 为定值． …………………14分 方法二：设 ，不妨设 ， ，其中 ．则直线 的方程为： ， 令 ，得 ， 同理： ， ………………………12分 故 ． 所以 为定值． …………………14分 【说明】本题主要考查椭圆的方程与性质、圆的方程、向量、圆与椭圆的位置关系、直线方程等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 问题、解决问题的能力，考查数形结合思想、化归与转化思想． 20．（本小题满分14分） 已知函数 ，设曲线 在与 轴交点处的切线为 ， 为 的导函数，满足 ． （1）求 ； （2）设 ， ，求函数 在 上的最大值； （3）设 ，若对一切 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 解：（1） ， ……………………………1分 EMBED Equation.3 ， 函数 的图像关于直线 对称，则 ．……2分 直线 与 轴的交点为 ， EMBED Equation.DSMT4 ，且 ， 即 ，且 ， 解得 ， ． …………………………………………4分 则 ． …………………………………………5分 （2） ， ………………………………………7分 其图像如图所示． 当 时， ，根据图像得： （ⅰ）当 时， 最大值为 ； （ⅱ）当 时， 最大值为 ； （ⅲ）当 时， 最大值为 ． ………………………………10分 （3）方法一： ， ， ， 当 时， ， 不等式 恒成立等价于 且 恒成立， 由 恒成立，得 恒成立， 当 时， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ， …………………………………………12分 又 当 时，由 恒成立，得 ， 因此，实数 的取值范围是 ． ………………………………14分 方法二：（数形结合法）作出函数 的图像，其图像为线段 （如图）， EMBED Equation.3 的图像过点 时， 或 ， 要使不等式 对 恒成立， 必须 ， …………………………………12分 又 当函数 有意义时， ， 当 时，由 恒成立，得 ， 因此，实数 的取值范围是 ． ………………………………14分 方法三： ， 的定义域是 ， 要使 恒有意义，必须 恒成立， EMBED Equation.3 ， ，即 或 ． ………………① ………………12分 由 得 ， 即 对 恒成立， 令 ， 的对称轴为 ， 则有 或 或 解得 ． ………………② 综合①、②，实数 的取值范围是 ． ………………………………14分 【说明】本题主要考查函数导数运算法则、导数的几何意义、二次函数和分段函数的图像及其性质的运用、不等式的求解与证明等基础知识，考查分类讨论思想和数形结合思想，考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力和创新意识． 21．（本小题满分14分） 已知数列 满足： ， （其中 为自然对数的底数）． （1）求数列 的通项 ； （2）设 ， ，求证： ， ． 解：（1） ， ，即 ． …………………………………3分 令 ，则 ， ， 因此，数列 是首项为 ，公差为 的等差数列． ， …………………………………5分 ． …………………………………6分 （2）（方法一）先证明当 时， ． 设 ，则 ， 当 时， ， 在 上是增函数，则当 时， ，即 ．………8分 因此，当 时， ， ， …………9分 当 时， ， ． …………………10分 ． ………………………12分 ． ……………………14分 （方法二）数学归纳法证明 （1） ， ， 当 时， 成立； ， ， 又 ， ， 当 时， 成立． …………………………………………8分 （2）设 时命题成立，即 ， ， 当 时， ， 要证 ， 即证 ， 化简，即证 ． …………………………9分 设 ，则 ， 当 时， ， 在 上是增函数，则当 时， ，即 ． 因此，不等式 成立，即当 时 成立． …………………11分 当 时， ， 要证 ， 即证 ， 化简，即证 ． 根据前面的证明，不等式 成立，则 时 成立． 由数学归纳法可知，当 时，不等式 ， 成立．……………14分 【说明】考查了数列的递推公式的处理、等差数列的通项公式、数学归纳法等知识，考查学生的构造数列和函数解决问题的意识，考查了学生变形的能力，化归与转化的思想以及创新意识． � EMBED Equation.3 ��� B O � EMBED Equation.3 ��� 90 C D B 80 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 70 � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 60 D C A O C D � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 50 � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSM 4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� B 100 图6 频率/组距 输出函数� EMBED Equation.DSMT4 ��� 结束 是 对任意实数� EMBED Equation.DSMT4 ���及任意 正数� EMBED Equation.DSMT4 ���,均有� EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� 图4 分数 D C B A O 开始 C 输入函数� EMBED Equation.DSMT4 ��� 否 _ 0.030 0.025 0.020 0.015 0.010 图1 图2 图3 D B A B A 图7 A A 图5 C O A B D C O x y z E � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.DSMT4 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� � EMBED Equation.3 ��� 2012年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科）试题 第17页 共17页 _1386526874.unknown _1386577136.unknown _1386624946.unknown _1387100009.unknown _1388241449.unknown _1389608710.unknown _1390721106.unknown _1390721259.unknown _1390721348.unknown _1390721415.unknown _1390721442.unknown _1390721461.unknown _1390721472.unknown _1390721451.unknown _1390721425.unknown _1390721371.unknown _1390721384.unknown _1390721359.unknown _1390721301.unknown _1390721324.unknown _1390721337.unknown _1390721314.unknown _1390721281.unknown _1390721292.unknown _1390721261.unknown _1390721150.unknown _1390721202.unknown _1390721243.unknown _1390721162.unknown _1390721128.unknown _1390721138.unknown _1390721148.unknown _1390721116.unknown _1389782090.unknown _1390721040.unknown _1390721074.unknown _1390721095.unknown _1390721060.unknown _1390720996.unknown _1390721020.unknown _1390720847.unknown _1390720899.unknown _1389782091.unknown _1389781673.unknown _1389781688.unknown _1389781695.unknown _1389781681.unknown _1389611423.unknown _1389781484.unknown _1389781608.unknown _1389609141.unknown _1389609251.unknown _1389609126.unknown _1388517670.unknown _1389375456.unknown _1389378185.unknown _1389462135.unknown _1389608606.unknown _1389608620.unknown _1389462137.unknown _1389462138.unknown _1389462136.unknown _1389420053.unknown _1389461849.unknown _1389462134.unknown _1389420146.unknown _1389419915.unknown _1389420044.unknown _1389378346.unknown _1389419621.unknown _1389375869.unknown _1389376028.unknown _1389375819.unknown _1388518472.unknown _1388519067.unknown _1388520894.unknown _1388521390.unknown _1388520438.unknown _1388519078.unknown 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