三角函数求值的几种方法

第19卷 第6期 延边教育学院学报 Vol.19 No.6 2005年12月 Journal of Yanbian Institute of Education Dec . 2005 97 三角函数求值的几种方法 宋来彬 汪清县第四中学 吉林 汪清 133200 摘要 三角函数主要体现了等价的数学思想 三角函数问题无论是以三角求值题 求最值题 综合 题 探索题还是应用题 均以考查三角变换为核心 熟练掌握并能灵活运用有关三角函数的 方式 掌握变换技巧与方法对高中生来说是很必要的 关键词 三角函数 求值 三角变换技巧 求最值 中图分类号 G633.64 文献标识码 B 文章编号 1673 4564(2005)06 0097 04 三角函数是中学数学学习中一个重要的内容 是以后进一步深入学习数学所必需的知识 同时 由 于三角和代数 几何知识的密切联系 它又是研究其他相关知识的重要工具 在复数的三角形式 参数 方程 几何计算以及某些代数问题中都有着十分广泛的应用 三角函数主要体现了等价的数学思想 三角函数问题无论是三角函数的求值题 求最值题 综合题 探索题还是应用题 均以考查三角变换为核心 所以熟练掌握并能灵活应用有关三角函数的公式 掌握 变换技巧与方法对高中生来说是很必要的 下面就关于三角函数的求值问题 三角变换技巧问题 三角 函数的求最值问题分类解析如下 一 三角函数的求值问题 最近几年 高考三角函数的题型由原来的恒等式证明改为求值 常见题型有三种 <1> 给出一个比较简单的三角函数式的值 求一个比较复杂的三角函数式的值 <2> 考察三角变换问题 <3> 三角形中的求值问题 解上述三种类型题应注重四点 一 要严格讨论角的范围 二 选择的公式与解题方向必须吻合 三 要熟悉变换方向 四 要掌握变换技巧 例 1 如果 sin cos = 1/5 且 2 则 tan = A 4/3 B 3/4 C 3/4或 4/3 D 3/4或 4/3 解法 (sincos)2 (sincos)2=2 又sin cos= 1/5 知sin cos= 7/5 若sin cos= 7/5求得sin= 4/5cos=3/5 而此时 ( ,2)符合题意 则tan= 4/3 若sin cos=7/5 求得sin=3/5cos= 4/5与 ( ,2)矛盾 故本题应选 A 答案 A 收稿日期 2005 1020 万方数据 延边教育学院学报 2005年 98 解法 将sin cos= 1/5两边平方 sin2 2sincos cos2 =1/25 即(sin2 2sincos cos2 )/(sin2 cos2 )=1/25 cos2 0 (tan2 2tan1)/tan2 =1/25 解得 tan= 3/4或tan= 4/3 又由sin cos= 1/50 ( ,2) 可知3 /2 7 /4 tan= 4/3 解法 用万能公式 sin=2tan(/2)/[1tan2( /2)]; cos=[1tan2( /2)]/[1tan2( /2)]; 2tan(/2)/[1tan2( /2)][1tan2( /2)]/[1tan2( /2)]=1/5 2tan2( /2)5tan3=0 tan(/2)=3或tan(/2)=1/2 tan=2tan(/2)/[1tan2( /2)]=(23)/(19)=6/8=3/4 tan(/2)=[2( 1/2)]/(11/4)=1/(3/4)=4/3 又由sin cos= 1/50 ( ,2) 可知3 /2 7/4 tan= 4/3 例2 已知tan= 4/3 求2sin2 sincos 3cos2 的值 解法 将 要求 对教师党员的评价套管和固井爆破片与爆破装置仓库管理基本要求三甲医院都需要复审吗 值的式用tan来表示 然后将值代入表达式计算 2sin2 sincos 3cos2 =cos2 (2sin2 sincos 3cos2 )/cos2 =(1/sec2 ) (2tan2 tan 3) =(2tan2 tan 3)/(tan2 1) =[2( 4/3)2 ( 4/3)3]/[(4/3)2 1] = 7/25 解法 化切 tan= 4/3为弦得 3sin= 4cos 原式=1/9[2(3sin)2 9sincos 27cos2 ] =1/9(32cos2 12cos2 27cos2 ) = 7/9cos2 =(7/9)[1/(1tan2 )] =(7/9)[1/(1( 4/3)2)] = 7/25 万方数据 第6期 宋来彬 三角函数求值的几种方法 99 解法 2sin2 sincos 3cos2 =(2sin2 sincos 3cos2 )/(sin2 cos2 ) cos2 0 上式=(2tan2 tan 3)/(tan2 1) =[2( 4/3)2 ( 4/3)3]/[(4/3)2 1] = 7/25 二 三角变换技巧问题 例3. 求sin220 cos250 sin20cos50的值 解法 降幂法 sin220 cos250 sin20cos50 =(1cos40)/2(1cos100)/2(1/2)(sin70sin30) =3/4sin70sin301/2sin70 =3/4 解法 配方法 sin220 cos250 sin20cos50 =[sin20(1/2)cos50]2 (3/4)cos250 =[sin(50) (1/2)cos50]2 (3/4)cos250 =(sin50cos30)2 (3/4)cos250 =(3/4)sin250 (3/4)cos250=3/4 解法 构造法 设三角形ABC的外接圆半径为1 A=20 B=40则 C=120 由正弦定理知 sin2A sin2B 2sinAsinBcosC=sin2C 即sin220 sin240 2sin20sin40cos120=sin2120=3/4 sin220 cos250 sin20cos50=3/4 解法 设X=sin220 cos250 sin20cos50 Y=cos220 sin250 cos20sin50 则X Y=3/2 X Y=cos100cos40sin70=0 解得X=Y=3/4 sin220 cos250 sin20cos50=3/4 三 三角形中的求值问题 例4 已知三角形的三个内角A B C满足A C=2B1/cosA1/cosC=2/cosB 求cos(AC)/2的值 解 由已知可知 3B=180B=60A C=120 万方数据 延边教育学院学报 2005年 100 1/cosA1/cosC=2/cosB 1/cosA1/cosC=2/cos60 2 2cosAcosC=cosAcosC 2[cos(AC)cos(AC)]=2cos(AC)/2cos(AC)/2 将cos(AC)/2=cos60=1/2 cos(AC)=cos120= cos60= 1/2 代入 得 cos(AC)/2=2/2 2cos(AC) 将cos(AC)=2cos2(AC)/21代入 得 4 2cos2(AC)/22cos(AC)/23 2=0 解得cos(AC)/2=2/2或cos(AC)/2=3 2/2舍 四 三角函数的最值问题 三角函数的最值问题是三角函数基础知识的综合应用 是与三角函数求值问题并重的三角中的重要 题型 是高考必考内容 解这类题不仅要用到三角中的各种知识 而且涉及到求最值的诸多方法 这种 题型可分为三类 化为某一个三角函数的二次函数形式 运用配方法求最值 化为一个角的正 余弦的形式 利用正 余弦函数的有界性求最值 通过换元法转化为代数形式求最值 1 利用二次函数求最值 例5 求函数 y=cos2x 3cos x 2的最小值 解 y=cos2 x 3cos x 2= (cos x 3/2)2 1/4 当cos x =1时 y达到最小值为 y=(13/2)2 1/4=0 2 利用三角函数的有界性求最值 例 6. 求函数 y=sin2 x 2sin x cos x 3cos2 x的最大值 解 y=sin2 x 2sin x cos x 3cos2 x =1 2sin x cos x 2cos2 x =1 sin2 x 1 cos2 x =2 2 sin(2 x /4) 当 sin(2 x /4)=1时 y达到最大值 2 2 3 换元法求最值 例7 求函数 y=sin x cos x sin x cos x的最大值 解法 设t=sin x cos x则 2 t 2 由t=sin x cos x两边平方得 sin x cos x =(t2 1)/2 Y=(t2 1)/2t=1/2(t1)2 1 (2 t 2) 当t=2时 y取得最大值1/2 2 解法 设sin x =st cos x =st 下转102页 万方数据 延边教育学院学报 2005年 102 应用的广泛性特点 数学学法指导还要指导学生建立和操作数学模型 以及进行检验和 评价 LEC评价法下载LEC评价法下载评价量规免费下载学院评价表文档下载学院评价表文档下载 二 数学学法指导的策略 数学教学一般可分为概念教学 命题 主要有定理 公式 法则 性质 教学 例题教学 习题教 学 总结 初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf 与复习等五类 相应地 数学学法指导的实施亦需分别落实到这五类教学之中 这里仅就例题 教学中如何实施数学学法指导谈几点认识 1 根据学生的学习情况安排例题 学习新知必须建立在已有的基础之上 从内容上讲 这个基础 既包括知识基础 又包括认知水平和认知能力 还包括学习兴趣 认知意识 乃至学习态度等有关学习 动力系统方面的准备 因此 无论是选配例题 还是安排例题 都要考虑到学生的学习情况 尤其是要 考虑激发学生认知兴趣和认知需求的原则 在例题选配和安排中 可采取增 删 调的策略 力求既突 出重点 又符合学生的学习情况 所谓增 即根据学生的认知缺陷增补铺垫性例题 或者为突破某个难 点增加过渡性例题 所谓删 即根据学生情况 删去比较简单的例题或要求过高的难题 所谓调 即根 据学生的实际水平 将后面的例题调至前面先教 或者将前面的例题调到后面后教 2 根据学习目标和任务精选例题 例题的作用是多方面的 最基本的莫过于理解知识 应用知识 巩固知识 莫过于训练数学技能 培养数学能力 发展数学观念 为发挥例题的这些基本作用 就要根 据学习目标和任务选配例题 具体的策略是 增 删 并 这里的增 即为突出某个知识点 某项数学 技能 某种数学能力等重点内容而增补强化性例题 或者根据 联系社会发展的需要 增加补充性例题 这里的删 即指删去那些作用不大或者过时的例题 所谓并 即为突出某项内容把单元内前后的几个例 题合并为一个例题 或者为突出知识间的联系打破单元界限而把不同内容的例题综合在一起 3 根据解题的心理过程设计例题教学程序 按照波利亚的解题理论 一般把解题过程分为弄清问 题 拟定计划 实现计划 回顾等 4个阶段 这是针对解题过程本身而言的 但就解题教学来说 还应 当增加一个步骤 也是首要环节 即要使学生 进入问题情境 让学生产生一种认知的需要 对于 进 入问题情境 环节 要求教师用简短的语言承上启下 提出学习目标 明确学习任务 激起认知冲突 而对其余 4个环节 教师的行为可按波利亚的 怎样解题表 中的要求去构思 一般教师和学生都能够 注意做到做好前 3个环节 却容易忽视 回顾 环节 严格说来 回顾环节对解题能力的提高 对例题 教学目的的实现起着不可替代的作用 对回顾环节来讲 除波利亚提出的几条以外 更为主要的是对解 题方法的概括和反思 并使其能迁移到其它问题的解决之中 学生掌握了数学学习方法 数学学习就不再是吸取知识并通过反复练习 强化储存知识的过程 而 是学生用原有的知识处理每项新任务 同化新知识并构建他们自己的认知结构的过程 可使学生逐步知 道什么是课程中主要的 内部的东西 能够构造出前后知识之间的关系 能够学会如何去学习 从而发 展学生的数学能力 上接100页 由sin2 x cos2 x =1得t2=1/2s2 t2 0 ∣s∣ 2/2于是 y=s2 t2 2s=s2 1/2s2 2s=2(s1/2)2 1 当s=2/2时 ymax=1/22 解法 应用[(a b)/2]2 (a2 b2)/2 sin x cos x 1/2(sin2 x cos2 x) sin x cos x )cos(sin2 22 xx + y 1/2(sin2 x cos2 x) )cos(sin2 22 xx + =1/2 2 仅当sin x =cos x =2/2时 = 成立 ymax=1/22 万方数据 三角函数求值的几种方法 作者： 宋来彬 作者单位： 汪清县第四中学,吉林,汪清,133200 刊名： 延边教育学院学报 英文刊名： JOURNAL OF YANBIAN EDUCATION COLLEGE 年，卷(期)： 2005,19(6) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_ybjyxyxb200506036.aspx