判别式法求值域的问题分析与评价

判别式法求值域的问题分析与评价科技信息。教学研究o SC砸NcE肿。砌．I枷oN 2006年第6期判别式法求值域的问题分析与评价于丽娜 (河北省邯郸市一中河北邯郸056000) 摘要：判别式法求值城、最值或变量的取值范围是中学教学中常用又易出错的方法，文[1]指出了“利用△法求函数值域应注意的问题”读后感觉意犹未尽，现对孝唾用判别式法求值域作以详尽的分析与评价。供参考。关键词：判别式法：值域 Di鼹dmi玎丑nto沪棚ainA岫lys萱sando舢ents YULi一眦 (No．1Mid珊esc怕'ol'H粕出mH...

科技信息。教学研究o SC砸NcE肿。砌．I枷oN 2006年第6期判别式法求值域的问题分析与评价于丽娜 (河北省邯郸市一中河北邯郸056000) 摘要：判别式法求值城、最值或变量的取值范围是中学教学中常用又易出错的方法，文[1]指出了“利用△法求函数值域应注意的问题”读后感觉意犹未尽，现对孝唾用判别式法求值域作以详尽的分析与评价。供参考。关键词：判别式法：值域 Di鼹dmi玎丑nto沪棚ainA岫lys萱sando舢ents YULi一眦 (No．1Mid珊esc怕'ol'H粕出mHebei0560呻Chi咖) Abst讯ct：DiscriIIIin蛐tseekingco—do眦inlaw，themostvalue0rvariablesscopeisalsocommonlyandwrondyusedinsecondarymathematics， Article【1】pointsthatfI∞meproblemthat8holIldbeawa糟bytakingadv锄tage0ftheIawtofuncti伽Co—d0Ⅱmin”Afterre8dingit，lfindinte删nin it．Sohe陀aremydetailed蜘alysis明dco嗍ent8onuseofDiscTilIlinantseekingCo—domainforiIlj确ation． Keywo—s：DiscriIIlin帅t；Co—domain 一、方法探源求函数y=“x)的定义域只需要解出使f(x)有意义的x的取值范围，同理求值域可由y=“x)经同解变形反解出x=g(y)，再解出使g(y)有意义的的取值范围即为值域(反鳃法)。如果y=f“)可同解变形为x的二次方程“2+bx+c=0※，解出x=型生!单有意义，即方程※有解，△≥o，由△≥o解出y的取值范围即为值域(判别式法)，不需解出x_g(y)，判别式法求值域是反解法的捷径。二、必须是同解变形例1．求值域 (1)y=生；}(2)y=一2x+、幡f 解：(1)原式同乘x+l得yx+y-x2-x—l即f—O+1)x—y—l=O① 由△=(y+1)2—4(一y一1)≥0解得y≤一5或y≥一l值域为{yly≤一5或 y≥一1}(2)错解：由y=一2x+、／酉得y+2x=、／T=夏一平方得：4x2+(4y+2)x+y2-l-o(x≤睾) ，， f△=(4y+2)2．4×4(产1)≥o ·’。4刈争一(4y+2拉争+产1≤o或I一号导≤} 苟y≥一}值域为[一}，扣] 正解l：令t=、／F乏■≥o则y=“卜l=(t+导)2_孚≥一1 ．‘．值域为『一1。+*] 正解2：y=一2x+、／l一2x递减，又1—2x≥o即x≤} ．’．v≥一1值域为[一1，+一] 分析：(1)题中因为分子、分母中没有公因式，所以同乘分母x+1 后x+l=O，即x=一1仍不是二次方程(D中x，y的对应关系等价，所以y 的取值范围也没改变。是同解变形。 (2)题错解中平方则改变了x同时也改变了v的取值范围，所以解法错误．如果用判别式法求最值．不是同解变形也行。只须且必须验证△≥0中等号成立。如例2：求函数y=2x+4、／叠乏i万(x>0)的最小值解：由y=2x“、压亏!iiF得12x2+(4y一32)x+32一y2==o 由△=(4y一32)2—4×12(32一y2)≥o得y≥2+2订或y≤2—2、／丁 (舍‘．‘y>0) 孙2+2订帅-l_孚>o舶-1-孚时y舻2+2订法2：y=2(x一1)+2“、／匹ji盯，设、／耳了再r=8”a他E(-孚，罢)) 则x—l吼an旺，弘2tan旺+2“sec瑾_2业墅生+2 而堑咝是点(0，一2)到点(co“，sinx)连线的斜率，其最小值为 CoBX 、仃故y一“2、万三、分子分母有公因式例3：求函数y=措的值域釉=釜黯=黜={端(x≠1) 号x=筹≠l考y≠l且y≠2 ．’．值域为{vIy≠l且y≠2I 启示：若函数的分子分母有公因式，应先约去公因式(注意同解性)．再用反解法、判别式法或其他方法，求解时应注意去掉原分母为零的x的值对应的约分后的函数值。本题直接用判别式法求值域需处理不同解问题，较繁。四、二次项系数是否为零例4：求值域． (1)y：妻箅 (2)y：呈!≥吐域。解．(1)由y=萎毒暑得¨)x2_¨)x+y-3=o① 当y=1时，方程①无解．当y≠1时，方程(D有实数解则 △=(y一1)‘—4(y一1)(y一3)≥oo≠1)=}loI‘．{丢≥2 或y．22-2+y-l≤o；值域为(o，})靴搬t-何埋忆勉则y_器2志当t≥2即t+l≥3时递减．‘应对，y，一翥}=}{下转第165页} 169 万方数据科技信叁。教学研究o scIENcE玳FoRMAll0『N 2006年第6期 “引导学生主动探索”方法谈高慧辉 (郑州市上街区新建小学河南郑州450000) 摘要：根据教学知识的认识过程进行引发诱导，引导学生主动探索。探索的方法有：观察比较法、新旧联系法、动手操作法、论文交流法等。引导学生大胆探索，积极、主动参与学习，促使对知识的理解更加透彻，更加扎实。现代教学论认为：“教学不单是传授知识，更重要的是培养学生独立获取知识和运用知识的能力。”所以，在数学教学过程中，要注意根据数学知识的认识过程进行启发与引导．积极引导学生探索．努力教给学生寻找真理和发现真理的手段。教学实践证明，积极探索知识的奥秘是学生获取知识的动力。下面谈谈在数学教学过程中．引导学生大胆探索，主动获取知识的方法。一、观察比较中探索在教学过程中，教师要善于创设情景，引导学生主动观察、比较，从中发现各种变化的规律。例如：“分数的基本性质”一课，每人发给长短相等的红、黄、绿三种颜色的长方形纸条，要求剪下红色的2，3，黄色的4／6，绿色的6／9，然后，比一比哪种纸条最长。同学们通过比较、观察，结果是同样长，于是得出：2／3=4，6=6，9；再让学生想一想。上式的分子、分母在怎样的变化?分数的值又是怎样的变化?引导学生从等式右边往左边观察，再从左边往右边观察。发现： 2／3=2×2，3×2=4，6反之4／6=4÷2，6÷2=2，3 2，3=2×3，3×3=6纷反之6，9=6÷3纷÷3=2，3 这样在运动变化的情景中观察其不变的因素，再把这些共同点既不变因素联结起来，就能让学生自己发现番薯的基本性质。二、新旧联系中探索数学知识的相互联系十分紧密．旧知识是获得新知识的基础和起点，新知识是旧知识的引申和发展。因此，我们可以利用旧知识让学生探索新知识，例如数学小数除法时．可先复习除数是整数的除法和商不变性质，之后再导入新课：汁算3．22÷0．14，教师进行探索性提问： “可惜除数是个小数，如果是整数10该有多好啊!"然后让学生探索能否计算3．22÷O．14。学生踊跃发言，各抒己见，这样通过已有知识与经验进行探索．·F子就成功了，即只要把除数O．14和被除数3．22同时扩大100倍，就能把除数是小数的除法转化成除数是整数的除法。三、动手操作中探索根据小学生好奇好动的心理特点，在教学过程中有目的、有组织地让学生自己动手摆⋯摆、量一量，通过这些实践活动，可以促进学生主动探索。例如“长方形面积”一课，可以先让学生用1平方厘米的小正方形在几个大小不同的长方形内铺摆，接着交换司可设疑：如果长方形再大一些要知道它的面积那不是更麻烦了．这时学生回顾摆时的情景，不难发现每一排放几个与长方形的长有关，放几排与长方形的宽有关，进而发现，每排个数与长的厘米数相同。放凡排与宽的厘米数相同，所以要求长方形的面积，只要用长方形的长乘它的宽。同样求 “长方形周长”一课，通过测量她的边长，自己找出三种计算周长的方法：(1)长+宽+长+宽(根据周长的意义)；(2)长×2+宽×2(根据长方形的特征)；(3)(长+宽)×2(根据乘法分配率)。通过讨沧，求得共识，认为第三种方法最简明。这样通过自己探索得出长方形周长、面积的计算公式不仅能使学生养成主动探索的习惯，而且印象深刻，记忆保留时间长。四、讨论、交流中探索数学学习心理研究成果表明，数学交流对数学学习本身十分重要。数学交流是多方面的，有教师与学生交流，学生与学生交流，让学生去表述自己的思想和接受别人的表达，无疑会帮助学生理解和掌握数学知识。开发学生的智力。数学中可通过学生小组活动和大组交流，让学生自己去探索、去发现、去获取知识。例如教学“用字母表示数”这一节，可先组织学生阅读教材，思考：“为什么要用字母表示数?用字母表示数有什么用?”让他们展开讨论。在讨论中有学生提出：“生活中买 2斤苹果，20千克大米，哪有说买a斤苹果，b斤大米的呢?”认为没有必要学习用字母表示数：另外一位学生反驳：不对!我们平时买东西，虽然都用到具体的数，但这并不能说明用字母表示数没有作用。如： “运用定律”，学了用字母表示数+可以将它们即简明，叉概括地表达出来，由此激发学生探索交流的欲望。同学们纷纷举手，例如：a+b=b十a 能很清楚地表达加法的交换律，S=ab，即表示长方形的面积，又表示长与宽的关系，等等。讨论中同学们提出的各种问题，有正确的也有错误的．教师都应满腔热情地倾听和解答．积极鼓励学生进行这种有意义的讨论和探索。五、激发兴趣中探索学生对某一问题感兴趣，思维就会活跃起来．因此，在教学中应该千方百汁激发学生探索的兴趣，通过提出．解决各种问题的可能，鼓励学生大胆探索、尝试。例如“能被3整除的数的特征”一课。可先用l、 2、3三个数字让学生摆出一个能被三整除的三个数．结果学生只发现 123、213能被3整除，接着问，那么个位是3、6、9的数一定能被3整除?有学生发现不一定。如；13不能被3整除，26也不能被3整除，再叫学生用l、2、3三个数摆三位数．如果3不放在个位上还有没有能被 3整除的，学生计算后发现132、23l、312、32l都能被3整除，由此产生疑问：“为什么这三个数字不论怎么排列都能被3整除?”进而激起对这个问题进行探索的兴趣。教师趁机让学生说一个数，老师很快地作出能不能被3整除的判断，更觉得惊奇，于是萌发需要探索并解决问题的愿望，然后请同学们各自拿出小棒在一张数位顺序表上任意摆数，让他们自己去探索去寻找能被3整除的数的特征，操作结果，同学们发现凡是用3根、6根、9根⋯⋯小棒摆出的数都能被3整除。如：36 用9根小棒，能被3整除，104用5根小棒，不能被3整除，102用3根小棒，能被3整除，1020呢?也是用3根小棒仍能被3整除。现在你能说一说怎样的数能被3整除吗?通过这样的大胆的探索．使学生豁然开朗，问题自然就解决了。因此，运用各种方法引导学生主动探索是数学教学的有效途径。通过学生对知识的探索，寻找解决问题的方法或一般规律，能促使学生真正参与学习，对知识的理解也会更透彻，更扎实。E8 (上接第169页)又p+m时y川，故值域为(o，}) 启示：当x的取值范围不是二次方程的所有解时，用判别式法求值域，必须结合实根分布的限制。这种情况用函数的单调性或均值不等式较为简便。六、弄清x、y问的对应关系例6：已知幽数y=lI)＆里鐾譬竽旦_的定义域是R，值域是[o，2]，求 X十1 m、n的值．解：设u=絮产 ① 由y∈[O，2]知u∈[I，9] 由①得(u—m)x2_8x+u—n=O (1)当u—m=0当u=m时由△=(一8)2—4(u—m)(u—n)≥0得u2一(m+n)u+mn一16≤O ’．‘u∈[1，9卜1，9是方程uz-fm+n)u+mn—16=O的根由韦达定理得{。+“亍17jm：n：5 【Hln=lXy (2)当m=n=5时，代人①得x=0 即u=5是x=0对应的函数值．+．m=n=5时，u的取值范围是[1，9]，y的值域是[O，2] 综上所述，只有能把函数式同解变形为x的二次方程．且x可取二次方程的所有解时，用判别式法求值域较为简单。当x的取值范围不是二次方程的所有解，函数分子、分母有公因式，或二次项系数可为零时运用判别式法要处理好x取值限制和x、y问的对应关系。e 参考文献 [1]高英东．利用法求函数值域应注意的问题‘中学数学教学参考，2004，7． 165 万方数据判别式法求值域的问题分析与评价作者：于丽娜， YU Li-na 作者单位：河北省邯郸市一中,河北,邯郸,056000 刊名：科技信息（科技教育版）英文刊名： SCIENCE INFORMATION 年，卷(期)： 2006(6) 参考文献(1条) 1.高英东利用法求函数值域应注意的问题冲学 2004(07) 本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_kjxx200606153.aspx

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