近五年(06-10)福建高考数学理科试卷

2006年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题 福建卷 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 （1）设 则复数 为实数的充要条件是 （A） 　　（B） 　　（C） 　　（D） （2）在等差数列 中，已知 则 等于 （A）40　　　　（B）42　　　　（C）43　　　　（D）45 （3）已知 则 等于 （A） 　　　　（B） 　　　　（C） 　　　　（D） （4）已知全集 且 则 等于 （A） 　　　　（B） 　　　　（C） 　　　　（D） （5）已知正方体外接球的体积是 ，那么正方体的棱长等于 （A） 　　　　（B） 　　　　（C） 　　　　（D） （6）在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同 从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于 （A） 　　　（B） 　　　　（C） 　　　　（D） （7）对于平面 和共面的直线 、 下列命题中真命题是 （A）若 则 　　　　（B）若 则 （C）若 则 　　　　（D）若 、 与 所成的角相等，则 （8）函数 的反函数是 （A） 　　　　（B） （C） 　　　　（D） （9）已知函数 在区间 上的最小值是 ，则 的最小值等于 （A） 　　　　（B） 　　　　（C）2　　　　（D）3 （10）已知双曲线 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 （A） 　　　　（B） 　　　　（C） 　　　　（D） （11）已知 点C在 EMBED Equation.DSMT4 设 ，则 等于 （A） 　　　　（B）3　　　　（C） 　　　　（D） 　 （12）对于直角坐标平面内的任意两点 ，定义它们之间的一种“距离”： 给出下列三个命题： ①若点C在线段AB上，则 ②在 中，若 则 ③在 中， 其中真命题的个数为 （A）0　　　　（B）1　　　　（C）2　　　　（D）3 二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分 把答案填在答题卡的相应位置 （13） 展开式中 的系数是 （用数字作答） （14）已知直线 与抛物线 相切，则 （15）一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2 将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是 （16）如图，连结 的各边中点得到一个新的 又连结 的各边中点得到 ，如此无限继续下去，得到一系列三角形： ， ， ， ，这一系列三角形趋向于一个点M 已知 EMBED Equation.DSMT4 则点M的坐标是 三、解答题：本大题共6小题，共74分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）（本小题满分12分） 已知函数 （I）求函数 的最小正周期和单调增区间； （II）函数 的图象可以由函数 的图象经过怎样的变换得到？ （18）（本小题满分12分） 如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点， （I）求证： 平面BCD； （II）求异面直线AB与CD所成角的大小； （III）求点E到平面ACD的距离 （19）（本小题满分12分） 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗 油量 （升）关于行驶速度 （千米/小时）的函数解析式可以表示为： 已知甲、乙两地相距100千米 （I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ （20）（本小题满分12分） 已知椭圆 的左焦点为F，O为坐标原点 （I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线 相切的圆的方程； （II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与 轴交于点G，求点G横坐标的取值范围 （21）（本小题满分12分） 已知函数 （I）求 在区间 上的最大值 （II）是否存在实数 使得 的图象与 的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出 的取值范围；若不存在，说明理由 （22）（本小题满分14分） 已知数列 满足 （I）求数列 的通项公式； （II）若数列{bn}滿足 证明：数列{bn}是等差数列； （Ⅲ）证明： 2006年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题答案 福建卷 源头学子小屋 一．选择题：本大题考查基本概念和基本运算 每小题5分，满分60分 （1）D　　　（2）B　　　（3）A　　　（4）C　　　（5）D　　　（6）A （7）C　　　（8）A　　　（9）B　　　（10）C　　（11）B　　　（12）B 1． 复数 = 为实数，∴ ，选D. 2．在等差数列 中，已知 ∴ d=3，a5=14， =3a5=42，选B. 3．已知 则 ， = ，选A. 4．全集 且 EMBED Equation.DSMT4 ∴ = ，选C. 5．正方体外接球的体积是 ，则外接球的半径R=2，正方体的对角线的长为4，棱长等于 ，选D. 6．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同 从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于 = ，选A 7．对于平面 和共面的直线 、 真命题是“若 则 ”，选C. 8．对于x>1，函数 >0，解得 ， = ，∴ 原函数的反函数是 ，选A. 9．函数 在区间 上的最小值是 ，则ωx的取值范围是 ， ∴ 或 ，∴ 的最小值等于 ，选B. 10．已知双曲线 的右焦点为F，若过点F且倾斜角为 的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率 ，∴ ≥ ，离心率e2= ，∴ e≥2，选C 11．已知 点C在AB上，且 EMBED Equation.DSMT4 设A点坐标为(1，0)，B点的坐标为(0， )，C点的坐标为(x，y)=( ， )， ，则∴ m= ，n= ， =3，选B. 12．对于直角坐标平面内的任意两点 ，定义它们之间的一种“距离”： ①若点C在线段AB上，设C点坐标为(x0，y0)，x0在x1、x2之间，y0在y1、y2之间，则 = ③在 中， > = ∴命题① ③成立，而命题②在 中，若 则 明显不成立，选B. 二．填空题：本大题考查基础知识和基本运算 每小题4分满分16分 （13）10　　　（14） 　　　（15） 　　　（16） 13． 展开式中， 项为 ，该项的系数是10. 14．已知直线 与抛物线 相切，将y=x－1代入抛物线方程得 ，∴ ，a= 15．一个均匀小正方体的6个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2 将这个小正方体抛掷2次，向上的数之积可能为ξ=0，1，2，4，则 ， ， ， ， ∴ . 16．如图，连结 的各边中点得到一个新的 又连结 的各边中点得到 ，如此无限继续下去，得到一系列三角形： ， ， ， ，这一系列三角形趋向于一个点M 已知 EMBED Equation.DSMT4 则点M的坐标是 的重心，∴ M= 三．解答题：本大题共6小题，共74分 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 （17）本小题主要考查三角函数的基本公式、三角恒等变换、三角函数的图象和性质等基本知识，以及推理和运算能力 满分12分 解：（I） 　　　　　　　　　 的最小正周期 由题意得 即　 的单调增区间为 （II） 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 一： 先把 图象上所有点向左平移 个单位长度，得到 的图象，再把所得图象上所有的点向上平移 个单位长度，就得到 的图象 方法二： 把 图象上所有的点按向量 平移，就得到 的图象 （18）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力 满分12分 方法一： （I）证明：连结OC 在 中，由已知可得 而 即 平面 （II）解：取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知 直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角 在 中， 是直角 斜边AC上的中线， 异面直线AB与CD所成角的大小为 （III）解：设点E到平面ACD的距离为 在 中， 而 点E到平面ACD的距离为 方法二： （I）同方法一 （II）解：以O为原点，如图建立空间直角坐标系，则 异面直线AB与CD所成角的大小为 （III）解：设平面ACD的法向量为 则 令 得 是平面ACD的一个法向量 又 点E到平面ACD的距离 （19）本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识，考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力 满分12分 解：（I）当 时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时， 要耗没 （升） 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升 （II）当速度为 千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，设耗油量为 升， 依题意得 令 得 当 时， 是减函数； 当 时， 是增函数 当 时， 取到极小值 因为 在 上只有一个极值，所以它是最小值 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升 （20）本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力 满分12分 解：（I） 圆过点O、F， 圆心M在直线 上 设 则圆半径 由 得 解得 所求圆的方程为 （II）设直线AB的方程为 代入 整理得 直线AB过椭圆的左焦点F， 方程有两个不等实根 记 中点 则 的垂直平分线NG的方程为 令 得 点G横坐标的取值范围为 （21）本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研究函数性质 的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力 满分12分 解：（I） 当 即 时， 在 上单调递增， 当 即 时， 当 时， 在 上单调递减， 综上， （II）函数 的图象与 的图象有且只有三个不同的交点，即函数 的图象与 轴的正半轴有且只有三个不同的交点 当 时， 是增函数； 当 时， 是减函数； 当 时， 是增函数； 当 或 时， 当 充分接近0时， 当 充分大时， 要使 的图象与 轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须 　　即 所以存在实数 ，使得函数 与 的图象有且只有三个不同的交点， 的取值范围为 （22）本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力 满分14分 （I）解： 是以 为首项，2为公比的等比数列 即　 （II）证法一： 　　　　　　　　　　　　　① 　 　　　　　② ②－①，得 即 　 ③－④，得　 即　 是等差数列 证法二：同证法一，得 　 令 得 设 下面用数学归纳法证明　 （1）当 时，等式成立 （2）假设当 时， 那么 这就是说，当 时，等式也成立 根据（1）和（2），可知 对任何 都成立 是等差数列 （III）证明： EMBED Equation.DSMT4 2007年高考数学试题福建卷（理工） 第I卷（选择题　共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．复数 QUOTE 等于 A． B．－ QUOTE D．－ QUOTE C． 2．数列{ }的前n项和为SL，若 QUOTE ，则 A． 1 B． QUOTE C． D． 3．已知集合A＝ ，B＝ ，且 QUOTE ，则实数a的取值范围是 A．a≤1 B．a<1 C．a≥2 D．a>2 4．对于向量，a 、b、c和实数 ，下列命题中真命题是 A．若a·b=0，则a=0或b=0 B．若a=0，则 =0或a=0 C．若a2=b2，则a=b或a=-b D．若a·b=a·c 5．已知函数 的最小正周期为 ，则该函数的图象 A．关于点（ QUOTE ，0）对称 B．关于直线x＝ C．关于点（ ，0）对称 D．关于直线x ＝对称 6．以双曲线 QUOTE 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是 A．x2+y2-10x+9=0 C．x2+y2+10x+16=0 D．x2+y2+10x+9=0 7．已知f（x）为R上的减函数，则满足 的实数 的取值范围是 A．（-1，1） B．（0，1） C．（-1，0） （0，1） D．（-∞，-1） 8．已知m、n为两条不同的直线，a、β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是 A． m∥β，n∥β a∥β B．a∥β， EMBED Equation.DSMT4 m∥n C．m⊥a,m⊥n n∥a D．n∥m,n⊥a m⊥a 9．把 展开成关于x的多项式，其各项系数和为 ，则 QUOTE 等于 A． 　　 　B． C．1 D．2 10．顶点在同一球面上的正四棱柱 － 中，AB＝1， ，则A、C两点间的球面距离为 A． B． C． QUOTE D． 11．已知对任意实数x有f（-x）=-f（x），g（-x）=g（x），且x＞0时， ， ，则x＜0时 A． ， B． ， C． ， D． ， 12．如图，三行三列的方阵有9个数 （i＝1，2，3；j＝1，2，3），从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是 A． B． QUOTE C． D． 第Ⅱ卷（非选择题　共90分） 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。 13．已知实数x、y满足 14．已知正方形ABCD，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为_______。 15．两封信随机投入A、B、C三个空邮箱，则A邮箱的信件数 的数学期望 =_______。 16．中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等，如果集合A中元素之间的一个关系“～”满足以下三个条件： （1）自反性：对于任意a A，都有a～a； （2）对称性：对于a，b A，若a～b，则有b～a； （3）传递性：对于a，b，c A，若a～b，b～c则有a～c 则称“ ”是集合A的一个等价关系，例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立），请你再列出三个等价关系：​​​___________________。 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分） 在△ABC中， ， 。 （Ⅰ）求角C的大小； （Ⅱ）若△ABC最大边的边长为 ，求最小边的边长。 18．（本小题满分12分） 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点。 （Ⅰ）求证：AB1⊥面A1BD； （Ⅱ）求二面角A-A1D-B的大小； （Ⅲ）求点C到平面A1BD的距离。 19．（本小题满分12分） 某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交 元（3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为（12-x）2万件。 （Ⅰ）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x的函数关系式； （Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q（a）。 20．（本小题满分12分） 如图，已知点 （1，0），直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过 作直线l的垂线，垂足为点 ，且 （Ⅰ）求动点 的轨迹C的方程； （Ⅱ）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知 QUOTE ，求的值。 21．（本题满分12分） 等差数列 的前 项和为 ，，。 （I）求数列{ QUOTE }的通项与前 项和为 ； （II）设（ ），求证：数列{ QUOTE }中任意不同的三项都不可能成为等比数列。 22．（本小题满分14分） 已知函数 ，x∈R （Ⅰ）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间； （Ⅱ）若k>0，且对于任意 恒成立，试求实数k的取值范围； （Ⅲ）设函数F（x）=f（x）+f（x）+f（-x），求证： （ ） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．D　　2．B　　3．C　　4．B　　5．A　　6．A 7．C　　8．D　　9．D　　10．B　 11．B　 12．D 二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置。 13．[-5，7]　　14． 　　15． 16．答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等。 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分） 解： （Ⅰ）∵C=π-（A+B）, ∴tanC=-tan（A+B）=- 又∵0 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 种数为 A.14 B.24 C.28 D.48 (8)若实数x、y满足 x-y+1≤0，则 的取值范围是 x>0 A. (0,1) B. (0,1) C. (1,+∞) D. [1, +∞] (9)函数f(x)=cosx(x)(x R)的图象按向量(m,0) 平移后，得到函数y= -f′(x)的图象，则m的值可以为 A. B. C.－ D.－ (10)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c, 若(a2+c2-b2)tanB= ,则角B的值为 A. B. C. 或 D. 或 (11)双曲线 （a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为 A.(1,3) B. C.(3,+ ) D. (12)已知函数y=f(x), y=g(x)的导函数的图象如下图，那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡的相应位置. （13）若(x-2)5=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0,则a1+a2+a3+a4+a5=__________.(用数字作答) x=1+cos (14)若直线3x+4y+m=0与圆 y=-2+sin （ 为参数）没有公共点，则实数m的取值范围是 . （15）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为 ，则其外接球的表面积是　　　　. （16）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a、b∈P，都有a+b、a-b， ab、 　∈P（除数b≠0），则称P是一个数域.例如有理数集Q是数域；数集 也是数域.有下列命题： 　　　①整数集是数域； ②若有理数集 ，则数集M必为数域； ③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域. 其中正确的命题的序号是　　　　.（把你认为正确的命题的序号都填上） 三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分） 　　　已知向量m=(sinA,cosA),n= ，m·n＝1，且A为锐角. （Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）求函数 的值域. （18）（本小题满分12分） 　　　如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD＝ ，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD, AB⊥AD, AD=2AB=2BC=2, O为AD中点. （Ⅰ）求证：PO⊥平面ABCD； （Ⅱ）求异面直线PB与CD所成角的大小； （Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为 ？若存在，求出 　的值；若不存在，请说明理由. （19）（本小题满分12分） 　　　已知函数 . 　　（Ⅰ）设{an}是正数组成的数列，前n项和为Sn，其中a1=3.若点 (n∈N*)在函数y=f′(x)的图象上，求证：点（n, Sn）也在y=f′(x)的图象上； 　　（Ⅱ）求函数f(x)在区间（a-1, a）内的极值. （20）（本小题满分12分） 某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参加科目B的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证 书 关于书的成语关于读书的排比句社区图书漂流公约怎么写关于读书的小报汉书pdf 。现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为 ，科目B每次考试成绩合格的概率均为 。假设各次考试成绩合格与否均互不影响。 　　（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率； 　　（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为 ，求 的数学期望E . （21）（本小题满分12分） 　　　如图、椭圆 （a>b>0）的一个焦点是F（1，0），O为坐标原点. 　　　 （Ⅰ）已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形，求椭圆的方程； 　　（Ⅱ）设过点F的直线l交椭圆于A、B两点。若直线l绕点F任意转动，恒有 ,求a的取值范围. （22）（本小题满分14分） 　　　已知函数f(x)=ln(1+x)-x 　　　　（Ⅰ）求f(x)的单调区间； 　　（Ⅱ）记f(x)在区间 （n∈N*）上的最小值为bx令an=ln(1+n)-bx. （Ⅲ）如果对一切n，不等式 恒成立，求实数c的取值范围； （Ⅳ）求证： 数学试题（理工农医类）参考答案 一、选择题：本大题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分60分. （1）B （2）A （3）C （4）B （5）B （6）D （7）A （8）C （9）A （10）D （11）B （12）D 二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算.每小题4分，满分16分. （13）31 （14） （15）9 （16）③④ 三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）本小题主要考查平面向量的数量积计算、三角函数的基本公式、三角恒等变换、一元二次函数的最值等基本知识，考查运算能力.满分12分. 　　　解：（Ⅰ）由题意得 　　　　　 　　　　　由A为锐角得 　　　　（Ⅱ）由（Ⅰ）知 　　　　　　　所以 　　　　　　　因为x∈R，所以 ，因此，当 时，f(x)有最大值 . 　当sinx= -1时，f(x)有最小值-3，所以所求函数f(x)的值域是 . （18）本小题主要考查直线与平面的位置关系、异面直线所成角、点到平面的距离等基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.满分12分. 　　　解法一： 　　（Ⅰ）证明：在△PAD中PA=PD, O为AD中点，所以PO⊥AD, 又侧面PAD⊥底面ABCD, 平面 平面ABCD=AD, 平面PAD， 所以PO⊥平面ABCD. （Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中、BC∥AD，AD=2AB=2BC, 有OD∥BC且OD=BC, 所以四边形OBCD是平行四边形， 所以OB∥DC. 由（Ⅰ）知，PO⊥OB,∠PBO为锐角， 所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角. 因为AD=2AB=2BC=2, 在Rt△AOB中，AB=1,AO=1, 所以OB＝ ， 在Rt△POA中，因为AP＝ ，AO＝1，所以OP＝1， 在Rt△PBO中，tan∠PBO＝ 所以异面直线PB与CD所成的角是 . （Ⅲ）假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为 . 　　　设QD＝x，则 ，由（Ⅱ）得CD=OB= ， 　　　在Rt△POC中， 所以PC=CD=DP, S△PCD= , 由Vp-DQC=VQ-PCD,得 ，解得x= ，所以存在点Q满足题意，此时 . 解法二： (Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)以O为坐标原点， 的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0), P(0,0,1), 所以 cos< 所以异面直线PB与CD所成的角是arccos ， (Ⅲ)假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为 ， 由(Ⅱ)知 设平面PCD的法向量为n=(x0,y0,z0). 则 所以 即 ， 取x0=1,得平面PCD的一个法向量为n=(1,1,1). 设 由 ,得 解y=- 或y= (舍去)， 此时 ，所以存在点Q满足题意，此时 . (19)本小题主要考查函数极值、等差数列等基本知识，考查分类与整合、转化与化归等数学思想方法，考查分析问题和解决问题的能力.满分12分. (Ⅰ)证明：因为 所以 ′(x)=x2+2x, 由点 在函数y=f′(x)的图象上, 得 ，即 又 所以 ，又因为 ， 所以 ,又因为 ′(n)=n2+2n,所以 , 故点 也在函数y=f′(x)的图象上. (Ⅱ)解: , 由 得 . 当x变化时, ﹑ 的变化情况如下表: 注意到 ,从而 ①当 ,此时 无极小值； ②当 的极小值为 ,此时 无极大值； ③当 既无极大值又无极小值. (20)本小题主要考查概率的基本知识与分类思想,考查运用数学知识分析问题/解愉问题的能力.满分12分. 解:设“科目A第一次考试合格”为事件A1 ，“科目A补考合格”为事件A2；“科目B第一次考试合格”为事件B1 ，“科目B补考合格”为事件B2. (Ⅰ)不需要补考就获得证书的事件为A1·B1,注意到A1与B1相互独立， 则 . 答：该考生不需要补考就获得证书的概率为 . (Ⅱ)由已知得， ＝2，3，4，注意到各事件之间的独立性与互斥性，可得 故 答：该考生参加考试次数的数学期望为 . (21)本小题主要考查直线与椭圆的位置关系、不等式的解法等基本知识，考查分类与整合思想，考查运算能力和综合解题能力.满分12分. 解法一：(Ⅰ)设M，N为短轴的两个三等分点， 因为△MNF为正三角形， 所以 , 即1＝ 因此，椭圆方程为 (Ⅱ)设 (ⅰ)当直线 AB与x轴重合时， (ⅱ)当直线AB不与x轴重合时， 设直线AB的方程为： 整理得 所以 因为恒有 ，所以 AOB恒为钝角. 即 恒成立. 又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对m R恒成立， 即a2b2m2> a2 -a2b2+b2对m R恒成立. 当m R时，a2b2m2最小值为0，所以a2- a2b2+b2<0. a20,b>0,所以a0, 解得a> 或a< (舍去)，即a> , 综合（i）(ii)，a的取值范围为（ ，+ ）. 解法二： （Ⅰ）同解法一， （Ⅱ）解：（i）当直线l垂直于x轴时， x=1代入 . 因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2, 2(1+yA2)<4 yA2, yA2>1，即 >1, 解得a> 或a< (舍去)，即a> . （ii）当直线l不垂直于x轴时，设A（x1， y1）, B（x2，y2）. 设直线AB的方程为y=k(x-1)代入 得(b2+a2k2)x2-2a2k2x+ a2 k2- a2 b2=0, 故x1+x2= 因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2, 所以x21+y21+ x22+ y22<( x2-x1)2+(y2-y1)2, 得x1x2+ y1y2<0恒成立. x1x2+ y1y2= x1x2+k2(x1-1) (x2-1)=(1+k2) x1x2-k2(x1+x2)+ k2 =(1+k2) . 由题意得（a2- a2 b2+b2）k2- a2 b2<0对k R恒成立. ①当a2- a2 b2+b2>0时，不合题意； ②当a2- a2 b2+b2=0时，a= ; ③当a2- a2 b2+b2<0时，a2- a2(a2-1)+ (a2-1)<0，a4- 3a2 +1>0, 解得a2> 或a2> （舍去），a> ，因此a EMBED Equation.DSMT4 . 综合（i）（ii），a的取值范围为（ ，+ ）. （22）本小题主要考查函数的单调性、最值、不等式、数列等基本知识，考查运用导数研究函数性质的方法，考查分析问题和解决问题的能力，满分14分. 解法一： （I）因为f(x)=ln(1+x)-x，所以函数定义域为（-1,+ ）,且f′(x)= -1= . 由f′(x)>0得-10，f(x)的单调递增区间为（0，+ ）. (II)因为f(x)在[0,n]上是减函数，所以bn=f(n)=ln(1+n)-n, 则an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n. (i) EMBED Equation.DSMT4 > 又lim , 因此c<1，即实数c的取值范围是（- ，1]. （II）由（i）知 因为[ ]2 所以 ＜ (n N*), 则 ＜ N*） 解法二： （Ⅰ）同解法一. （Ⅱ）因为f(x)在 上是减函数，所以 　　　则 （i）因为 对n∈N*恒成立.所以 对n∈N*恒成立. 　则 对n∈N*恒成立. 　　设 n∈N*，则c＜g(n)对n∈N*恒成立. 　　考虑 　　因为 ＝0， 　　所以 内是减函数；则当n∈N*时，g(n)随n的增大而减小， 又因为 ＝1. 所以对一切 因此c≤1,即实数c的取值范围是(-∞，1]. (ⅱ) 由(ⅰ)知 下面用数学归纳法证明不等式 ①当n=1时，左边＝ ，右边＝ ，左边<右边.不等式成立. ②假设当n=k时,不等式成立.即 当n=k+1时， = 即n＝k＋1时，不等式成立 综合①、②得，不等式 成立. 所以 即 . 2009年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷） 数学（理工农医类） 选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 函数 最小值是 A．-1 B. C. D.1 2.已知全集U=R，集合 ，则 等于 A． { x ∣0 x 2} B { x ∣02} D { x ∣x 0或x 2} 3.等差数列 的前n项和为 ，且 =6， =4， 则公差d等于 A．1 B C.- 2 D 3 4. 等于 A． B. 2 C. -2 D. +2 5.下列函数 中，满足“对任意 ， EMBED Equation.DSMT4 （0， ），当 < 时，都有 > 的是 A． = B. = C . = D 6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A．2 B .4 C. 8 D .16 7.设m，n是平面 内的两条不同直线， ， 是平面 内的两条相交直线，则 // 的一个充分而不必要条件是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A.m // 且l // B. m // l 且n // l C. m // 且n // D. m // 且n // l 8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%。现采用随机模拟的方法估计该运动 员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数， 指定1，2，3，4表示命中，5，6，，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 A．0.35 B 0.25 C 0.20 D 0.15 9.设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线， a c ∣a∣=∣c∣,则∣b • c∣的值一定等于w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A． 以a，b为两边的三角形面积 B 以b，c为两边的三角形面积 C．以a，b为邻边的平行四边形的面积 D 以b，c为邻边的平行四边形的面积 10.函数 的图象关于直线 对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程 的解集都不可能是 A. B C D 第二卷 （非选择题共100分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。 11.若 （i为虚数单位， ）则 _________ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 12．某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示。记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算的平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清。若记分员计算无误，则数字 应该是___________ 13.过抛物线 的焦点F作倾斜角为 的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则 ________________ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 14.若曲线 存在垂直于 轴的切线，则实数 取值范围是_____________. 15.五位同学围成一圈依序循环报数， 规定 关于下班后关闭电源的规定党章中关于入党时间的规定公务员考核规定下载规定办法文件下载宁波关于闷顶的规定 ： ①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和； ②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次 已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________. 三解答题w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 16.（13分） 从集合 的所有非空子集中，等可能地取出一个。 记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率； 记所取出的非空子集的元素个数为 ，求 的分布列和数学期望E 17（13分） 如图，四边形ABCD是边长为1的正方形， ， ，且MD=NB=1，E为BC的中点 求异面直线NE与AM所成角的余弦值 在线段AN上是否存在点S，使得ES 平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 18、（本小题满分13分） 如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动 赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数 y=Asin x(A>0, >0) x [0,4]的图象，且图象的最高点为 S(3，2 )；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛 运动员的安全，限定 MNP=120 （I）求A , 的值和M，P两点间的距离； （II）应如何 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 ，才能使折线段赛道MNP最长？ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 19、（本小题满分13分） 已知A,B 分别为曲线C： + =1（y 0,a>0）与x轴 的左、右两个交点，直线 过点B,且与 轴垂直，S为 上 异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T. (1)若曲线C为半圆，点T为圆弧 的三等分点，试求出点S的坐标； （II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在 ,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 20、（本小题满分14分） 已知函数 ,且 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (1) 试用含 的代数式表示b,并求 的单调区间； （2）令 ,设函数 在 处取得极值，记点M ( , )，N( , )，P( ), ,请仔细观察曲线 在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题： （I）若对任意的m ( , x )，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定