第一章 集合与简易逻辑
一、基础知识
定义1 一般地,一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合,简称集,用大写字母来表示;集合中的各个对象称为元素,用小写字母来表示,元素
在集合A中,称
属于A,记为
,否则称
不属于A,记作
。例如,通常用N,Z,Q,B,Q+分别表示自然数集、整数集、有理数集、实数集、正有理数集,不含任何元素的集合称为空集,用
来表示。集合分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法:将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示集合的方法,如{1,2,3};描述法:将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法。例如{有理数},
分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集:对于两个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素,则A叫做B的子集,记为
,例如
。规定空集是任何集合的子集,如果A是B的子集,B也是A的子集,则称A与B相等。如果A是B的子集,而且B中存在元素不属于A,则A叫B的真子集。
定义3 交集,
定义4 并集,
定义5 补集,若
称为A在I中的补集。
定义6 差集,
。
定义7 集合
记作开区间
,集合
记作闭区间
,R记作
定理1 集合的性质:对任意集合A,B,C,有:
(1)
(2)
;
(3)
(4)
【证明】这里仅证(1)、(3),其余由读者自己完成。
(1)若
,则
,且
或
,所以
或
,即
;反之,
,则
或
,即
且
或
,即
且
,即
(3)若
,则
或
,所以
或
,所以
,又
,所以
,即
,反之也有
定理2 加法原理:做一件事有
类办法,第一类办法中有
种不同的方法,第二类办法中有
种不同的方法,…,第
类办法中有
种不同的方法,那么完成这件事一共有
种不同的方法。
定理3 乘法原理:做一件事分
个步骤,第一步有
种不同的方法,第二步有
种不同的方法,…,第
步有
种不同的方法,那么完成这件事一共有
种不同的方法。
二、方法与例
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
1.利用集合中元素的属性,检验元素是否属于集合。
例1 设
,求证:
(1)
;
(2)
;
(3)若
,则
[证明](1)因为
,且
,所以
(2)假设
,则存在
,使
,由于
和
有相同的奇偶性,所以
是奇数或4的倍数,不可能等于
,假设不成立,所以
(3)设
,则
EMBED Equation.3
(因为
)。
2.利用子集的定义证明集合相等,先证
,再证
,则A=B。
例2 设A,B是两个集合,又设集合M满足
,求集合M(用A,B表示)。
【解】先证
,若
,因为
,所以
,所以
;
再证
,若
,则
1)若
,则
;2)若
,则
。所以
综上,
3.分类讨论思想的应用。
例3
,若
,求
【解】依题设,
,再由
解得
或
,
因为
,所以
,所以
,所以
或2,所以
或3。
因为
,所以
,若
,则
,即
,若
,则
或
,解得
综上所述,
或
;
或
。
4.计数原理的应用。
例4 集合A,B,C是I={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的子集,(1)若
,求有序集合对(A,B)的个数;(2)求I的非空真子集的个数。
【解】(1)集合I可划分为三个不相交的子集;A\B,B\A,
中的每个元素恰属于其中一个子集,10个元素共有310种可能,每一种可能确定一个满足条件的集合对,所以集合对有310个。
(2)I的子集分三类:空集,非空真子集,集合I本身,确定一个子集分十步,第一步,1或者属于该子集或者不属于,有两种;第二步,2也有两种,…,第10步,0也有两种,由乘法原理,子集共有
个,非空真子集有1022个。
5.配对方法。
例5 给定集合
的
个子集:
,满足任何两个子集的交集非空,并且再添加I的任何一个其他子集后将不再具有该性质,求
的值。
【解】将I的子集作如下配对:每个子集和它的补集为一对,共得
对,每一对不能同在这
个子集中,因此,
;其次,每一对中必有一个在这
个子集中出现,否则,若有一对子集未出现,设为C1A与A,并设
,则
,从而可以在
个子集中再添加
,与已知矛盾,所以
。综上,
。
6.竞赛常用方法与例问题。
定理4 容斥原理;用
表示集合A的元素个数,则
,需要xy此结论可以推广到
个集合的情况,即
EMBED Equation.3
定义8 集合的划分:若
,且
,则这些子集的全集叫I的一个
-划分。
定理5 最小数原理:自然数集的任何非空子集必有最小数。
定理6 抽屉原理:将
个元素放入
个抽屉,必有一个抽屉放有不少于
个元素,也必有一个抽屉放有不多于
个元素;将无穷多个元素放入
个抽屉必有一个抽屉放有无穷多个元素。
例6 求1,2,3,…,100中不能被2,3,5整除的数的个数。
【解】 记
,
,由容斥原理,
EMBED Equation.3 ,所以不能被2,3,5整除的数有
个。
例7 S是集合{1,2,…,2004}的子集,S中的任意两个数的差不等于4或7,问S中最多含有多少个元素?
【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可知每相邻两个数至多有一个属于S,将这11个数按连续两个为一组,分成6组,其中一组只有一个数,若S含有这11个数中至少6个,则必有两个数在同一组,与已知矛盾,所以S至多含有其中5个数。又因为2004=182×11+2,所以S一共至多含有182×5+2=912个元素,另一方面,当
时,恰有
,且S满足题目条件,所以最少含有912个元素。
例8 求所有自然数
,使得存在实数
满足:
【解】 当
时,
;当
时,
;当
时,
。下证当
时,不存在
满足条件。
令
,则
所以必存在某两个下标
,使得
,所以
或
,即
,所以
或
,
。
(ⅰ)若
,考虑
,有
或
,即
,设
,则
,导致矛盾,故只有
考虑
,有
或
,即
,设
,则
,推出矛盾,设
,则
,又推出矛盾, 所以
故当
时,不存在满足条件的实数。
(ⅱ)若
,考虑
,有
或
,即
,这时
,推出矛盾,故
。考虑
,有
或
EMBED Equation.3 ,即
=3,于是
,矛盾。因此
,所以
,这又矛盾,所以只有
,所以
。故当
时,不存在满足条件的实数。
例9 设A={1,2,3,4,5,6},B={7,8,9,……,n},在A中取三个数,B中取两个数组成五个元素的集合
,
求
的最小值。
【解】
设B中每个数在所有
中最多重复出现
次,则必有
。若不然,数
出现
次(
),则
在
出现的所有
中,至少有一个A中的数出现3次,不妨设它是1,就有集合{1,
}
,其中
,为满足题意的集合。
必各不相同,但只能是2,3,4,5,6这5个数,这不可能,所以
20个
中,B中的数有40个,因此至少是10个不同的,所以
。当
时,如下20个集合满足要求:
{1,2,3,7,8}, {1,2,4,12,14}, {1,2,5,15,16}, {1,2,6,9,10},
{1,3,4,10,11}, {1,3,5,13,14}, {1,3,6,12,15}, {1,4,5,7,9},
{1,4,6,13,16}, {1,5,6,8,11}, {2,3,4,13,15}, {2,3,5,9,11},
{2,3,6,14,16}, {2,4,5,8,10}, {2,4,6,7,11}, {2,5,6,12,13},
{3,4,5,12,16}, {3,4,6,8,9}, {3,5,6,7,10}, {4,5,6,14,15}。
例10 集合{1,2,…,3n}可以划分成
个互不相交的三元集合
,其中
,求满足条件的最小正整数
【解】 设其中第
个三元集为
则1+2+…+
所以
。当
为偶数时,有
,所以
,当
为奇数时,有
,所以
,当
时,集合{1,11,4},{2,13,5},{3,15,6},{9,12,7},{10,14,8}满足条件,所以
的最小值为5。
三、基础训练题
1.给定三元集合
,则实数
的取值范围是___________。
2.若集合
中只有一个元素,则
=___________。
3.集合
的非空真子集有___________个。
4.已知集合
,若
,则由满足条件的实数
组成的集合P=___________。
5.已知
,且
,则常数
的取值范围是___________。
6.若非空集合S满足
,且若
,则
,那么符合要求的集合S有___________个。
7.集合
之间的关系是___________。
8.若集合
,其中
,
且
,若
,则A中元素之和是___________。
9.集合
,且
,则满足条件的
值构成的集合为___________。
10.集合
,则
___________。
11.已知S是由实数构成的集合,且满足1)
)若
,则
。如果
,S中至少含有多少个元素?
说明
关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书
理由。
12.已知
,又C为单元素集合,求实数
的取值范围。
四、高考水平训练题
1.已知集合
,且A=B,则
___________,
___________。
2.
,则
___________。
3.已知集合
,当
时,实数
的取值范围是___________。
4.若实数
为常数,且
___________。
5.集合
,若
,则
___________。
6.集合
,则
中的最小元素是___________。
7.集合
,且A=B,则
___________。
8.已知集合
,且
,则
的取值范围是___________。
9.设集合
EMBED Equation.3 ,问:是否存在
,使得
,并证明你的结论。
10.集合A和B各含有12个元素,
含有4个元素,试求同时满足下列条件的集合C的个数:1)
且C中含有3个元素;2)
。
11.判断以下命题是否正确:设A,B是平面上两个点集,
,若对任何
,都有
,则必有
,证明你的结论。
五、联赛一试水平训练题
1.已知集合
,则实数
的取值范围是___________。
2.集合
的子集B满足:对任意的
,则集合B中元素个数的最大值是___________。
3.已知集合
,其中
,且
,若P=Q,则实数
___________。
4.已知集合
,若
是平面上正八边形的顶点所构成的集合,则
___________。
5.集合
,集合
,则集合M与N的关系是___________。
6.设集合
,集合A满足:
,且当
时,
,则A中元素最多有___________个。
7.非空集合
,≤则使
成立的所有
的集合是___________。
8.已知集合A,B,aC(不必相异)的并集
, 则满足条件的有序三元组(A,B,C)个数是___________。
9.已知集合
,问:当
取何值时,
为恰有2个元素的集合?说明理由,若改为3个元素集合,结论如何?
10.求集合B和C,使得
,并且C的元素乘积等于B的元素和。
11.S是Q的子集且满足:若
,则
恰有一个成立,并且若
,则
,试确定集合S。
12.集合S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的若干个五元子集满足:S中的任何两个元素至多出现在两个不同的五元子集中,问:至多有多少个五元子集?
六、联赛二试水平训练题
1.
是三个非空整数集,已知对于1,2,3的任意一个排列
,如果
,
,则
。求证:
中必有两个相等。
2.求证:集合{1,2,…,1989}可以划分为117个互不相交的子集
,使得(1)每个
恰有17个元素;(2)每个
中各元素之和相同。
3.某人写了
封信,同时写了
个信封,然后将信任意装入信封,问:每封信都装错的情况有多少种?
4.设
是20个两两不同的整数,且整合
中有201个不同的元素,求集合
中不同元素个数的最小可能值。
5.设S是由
个人组成的集合。求证:其中必定有两个人,他们的公共朋友的个数为偶数。
6.对于整数
,求出最小的整数
,使得对于任何正整数
,集合
的任一个
元子集中,均有至少3个两两互质的元素。
7.设集合S={1,2,…,50},求最小自然数
,使S的任意一个
元子集中都存在两个不同的数a和b,满足
。
8.集合
,试作出X的三元子集族&,满足:
(1)X的任意一个二元子集至少被族&中的一个三元子集包含;
(2)
。
9.设集合
,求最小的正整数
,使得对A的任意一个14-分划
,一定存在某个集合
,在
中有两个元素a和b满足
。
_1259419021.unknown
_1259433135.unknown
_1259485041.unknown
_1259485758.unknown
_1259486591.unknown
_1259487003.unknown
_1259487426.unknown
_1259487566.unknown
_1259487762.unknown
_1259487822.unknown
_1259487947.unknown
_1259488122.unknown
_1259678582.unknown
_1259678599.unknown
_1259678822.unknown
_1259488123.unknown
_1259488018.unknown
_1259488120.unknown
_1259488119.unknown
_1259487991.unknown
_1259487853.unknown
_1259487864.unknown
_1259487833.unknown
_1259487778.unknown
_1259487794.unknown
_1259487772.unknown
_1259487636.unknown
_1259487728.unknown
_1259487751.unknown
_1259487712.unknown
_1259487586.unknown
_1259487612.unknown
_1259487578.unknown
_1259487483.unknown
_1259487530.unknown
_1259487552.unknown
_1259487501.unknown
_1259487462.unknown
_1259487473.unknown
_1259487456.unknown
_1259487175.unknown
_1259487299.unknown
_1259487328.unknown
_1259487341.unknown
_1259487307.unknown
_1259487229.unknown
_1259487266.unknown
_1259487221.unknown
_1259487056.unknown
_1259487110.unknown
_1259487132.unknown
_1259487096.unknown
_1259487030.unknown
_1259487038.unknown
_1259487021.unknown
_1259486795.unknown
_1259486890.unknown
_1259486930.unknown
_1259486955.unknown
_1259486908.unknown
_1259486815.unknown
_1259486824.unknown
_1259486804.unknown
_1259486707.unknown
_1259486748.unknown
_1259486776.unknown
_1259486728.unknown
_1259486624.unknown
_1259486649.unknown
_1259486599.unknown
_1259486150.unknown
_1259486353.unknown
_1259486483.unknown
_1259486526.unknown
_1259486558.unknown
_1259486505.unknown
_1259486434.unknown
_1259486447.unknown
_1259486408.unknown
_1259486281.unknown
_1259486333.unknown
_1259486341.unknown
_1259486294.unknown
_1259486209.unknown
_1259486240.unknown
_1259486159.unknown
_1259485960.unknown
_1259486056.unknown
_1259486104.unknown
_1259486137.unknown
_1259486097.unknown
_1259486026.unknown
_1259486049.unknown
_1259485992.unknown
_1259485870.unknown
_1259485883.unknown
_1259485940.unknown
_1259485876.unknown
_1259485827.unknown
_1259485846.unknown
_1259485766.unknown
_1259485405.unknown
_1259485557.unknown
_1259485667.unknown
_1259485706.unknown
_1259485732.unknown
_1259485690.unknown
_1259485607.unknown
_1259485627.unknown
_1259485588.unknown
_1259485505.unknown
_1259485521.unknown
_1259485533.unknown
_1259485513.unknown
_1259485437.unknown
_1259485493.unknown
_1259485413.unknown
_1259485219.unknown
_1259485348.unknown
_1259485376.unknown
_1259485390.unknown
_1259485365.unknown
_1259485267.unknown
_1259485281.unknown
_1259485239.unknown
_1259485138.unknown
_1259485173.unknown
_1259485207.unknown
_1259485154.unknown
_1259485129.unknown
_1259485131.unknown
_1259485112.unknown
_1259485128.unknown
_1259485047.unknown
_1259482983.unknown
_1259484527.unknown
_1259484912.unknown
_1259484958.unknown
_1259485016.unknown
_1259485022.unknown
_1259484994.unknown
_1259484926.unknown
_1259484932.unknown
_1259484913.unknown
_1259484637.unknown
_1259484670.unknown
_1259484911.unknown
_1259484910.unknown
_1259484659.unknown
_1259484604.unknown
_1259484622.unknown
_1259484572.unknown
_1259483295.unknown
_1259483338.unknown
_1259483362.unknown
_1259483391.unknown
_1259483353.unknown
_1259483313.unknown
_1259483326.unknown
_1259483306.unknown
_1259483240.unknown
_1259483276.unknown
_1259483289.unknown
_1259483250.unknown
_1259483064.unknown
_1259483239.unknown
_1259483007.unknown
_1259480361.unknown
_1259482814.unknown
_1259482888.unknown
_1259482933.unknown
_1259482966.unknown
_1259482915.unknown
_1259482864.unknown
_1259482880.unknown
_1259482848.unknown
_1259482725.unknown
_1259482783.unknown
_1259482802.unknown
_1259482754.unknown
_1259480396.unknown
_1259482703.unknown
_1259480387.unknown
_1259433338.unknown
_1259433434.unknown
_1259480295.unknown
_1259480314.unknown
_1259480248.unknown
_1259433370.unknown
_1259433396.unknown
_1259433360.unknown
_1259433295.unknown
_1259433309.unknown
_1259433322.unknown
_1259433296.unknown
_1259433178.unknown
_1259433293.unknown
_1259433294.unknown
_1259433202.unknown
_1259433292.unknown
_1259433157.unknown
_1259420243.unknown
_1259432831.unknown
_1259432986.unknown
_1259433071.unknown
_1259433099.unknown
_1259433123.unknown
_1259433090.unknown
_1259433015.unknown
_1259433034.unknown
_1259433008.unknown
_1259432897.unknown
_1259432938.unknown
_1259432961.unknown
_1259432922.unknown
_1259432852.unknown
_1259432874.unknown
_1259432847.unknown
_1259420594.unknown
_1259420890.unknown
_1259432742.unknown
_1259432824.unknown
_1259420974.unknown
_1259420816.unknown
_1259420862.unknown
_1259420645.unknown
_1259420294.unknown
_1259420474.unknown
_1259420569.unknown
_1259420333.unknown
_1259420265.unknown
_1259420281.unknown
_1259420251.unknown
_1259419684.unknown
_1259419831.unknown
_1259420084.unknown
_1259420166.unknown
_1259420212.unknown
_1259420136.unknown
_1259419939.unknown
_1259419949.unknown
_1259419866.unknown
_1259419755.unknown
_1259419788.unknown
_1259419815.unknown
_1259419770.unknown
_1259419727.unknown
_1259419745.unknown
_1259419708.unknown
_1259419472.unknown
_1259419577.unknown
_1259419657.unknown
_1259419665.unknown
_1259419642.unknown
_1259419523.unknown
_1259419533.unknown
_1259419506.unknown
_1259419119.unknown
_1259419268.unknown
_1259419408.unknown
_1259419120.unknown
_1259419040.unknown
_1259419050.unknown
_1259419071.unknown
_1259419030.unknown
_1259417799.unknown
_1259418504.unknown
_1259418834.unknown
_1259418910.unknown
_1259418955.unknown
_1259418987.unknown
_1259419004.unknown
_1259418968.unknown
_1259418933.unknown
_1259418943.unknown
_1259418922.unknown
_1259418873.unknown
_1259418892.unknown
_1259418901.unknown
_1259418881.unknown
_1259418856.unknown
_1259418868.unknown
_1259418848.unknown
_1259418656.unknown
_1259418732.unknown
_1259418768.unknown
_1259418819.unknown
_1259418763.unknown
_1259418700.unknown
_1259418711.unknown
_1259418664.unknown
_1259418568.unknown
_1259418611.unknown
_1259418648.unknown
_1259418592.unknown
_1259418536.unknown
_1259418550.unknown
_1259418522.unknown
_1259418105.unknown
_1259418229.unknown
_1259418375.unknown
_1259418415.unknown
_1259418444.unknown
_1259418404.unknown
_1259418254.unknown
_1259418343.unknown
_1259418240.unknown
_1259418163.unknown
_1259418188.unknown
_1259418203.unknown
_1259418182.unknown
_1259418136.unknown
_1259418153.unknown
_1259418124.unknown
_1259417910.unknown
_1259418048.unknown
_1259418078.unknown
_1259418094.unknown
_1259418063.unknown
_1259417990.unknown
_1259418018.unknown
_1259417923.unknown
_1259417881.unknown
_1259417897.unknown
_1259417907.unknown
_1259417888.unknown
_1259417830.unknown
_1259417845.unknown
_1259417829.unknown
_1259416883.unknown
_1259417465.unknown
_1259417639.unknown
_1259417698.unknown
_1259417773.unknown
_1259417783.unknown
_1259417733.unknown
_1259417667.unknown
_1259417681.unknown
_1259417650.unknown
_1259417584.unknown
_1259417618.unknown
_1259417630.unknown
_1259417608.unknown
_1259417564.unknown
_1259417565.unknown
_1259417476.unknown
_1259417563.unknown
_1259417128.unknown
_1259417409.unknown
_1259417416.unknown
_1259417447.unknown
_1259417293.unknown
_1259417368.unknown
_1259417374.unknown
_1259417322.unknown
_1259417340.unknown
_1259417178.unknown
_1259416919.unknown
_1259417068.unknown
_1259416912.unknown
_1259416587.unknown
_1259416742.unknown
_1259416845.unknown
_1259416869.unknown
_1259416814.unknown
_1259416643.unknown
_1259416706.unknown
_1259416597.unknown
_1259416372.unknown
_1259416429.unknown
_1259416535.unknown
_1259416380.unknown
_1259416352.unknown
_1259416359.unknown
_1259416340.unknown