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2008 年中华人民共和国普通高等学校
联合招收华侨、港澳地区、台湾省学生入学考试
数 学
本试卷共 10 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟.
三
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
号
一 二
2
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
6
2
7
总
分
考生注意：这份试卷共三个大题，所有考生做第一、二题，在第三（21、22、23）题中任选两题；报考理
工农医类的考生做第三（24、25）题，报考文史类的考生做第三（26、27）题.
一、选择题：本大题共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母
填在题后括号内.
（1）设 sin 210 , cos 210 , tan 210 ,a b c° ° °= = = 则( )
（A）a
函
关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函
数，当 0x ≥ 时， 2( ) lg(1 ),f x x x= + + 则当 0x < 时， ( )f x = ( )
(A) 3 lg(1 )x x− − − (B) 3 lg(1 )x x+ −
(C) 3 1lg
(1 )
x
x
+ − (D)
3 1lg
(1 )
x
x
− − −
（6）函数 3( ) 12 3( 3 3)f x x x x= − + − ≤ ≤ 的值域为区间( )
(A) [ ]13,19− (B) [ ]13, 21− (C) [ ]6,12− (D)[ ]6,19−
（7）从 1，2,···，8，9 这九个数中,任取两个不同的数，其乘积为奇数的概率为( )
(A) 5
9
(B) 5
18
(C) 1
3
(D) 2
7
（8）在公比大于 1 的等比数列{ }na 中，若 1 9 72a a = 2 8, 27a a+ = ，则 10a = ( )
(A) 48 (B) 38 (C) 32 (D) 26
（9）若椭圆的焦距等于短轴长的 2 倍，则该椭圆的离心率为( )
(A) 2 5
5
(B) 4
5
(C) 3
3
(D) 1
3
（10）在极坐标系中，以点 (4,0)N 为圆心，且与圆 6sinρ θ= 外切的圆的方程为( )
(A) 2 8 cos 12ρ ρ θ= + (B) 2 8 cos 12ρ ρ θ= −
(C) 2 8 sin 12ρ ρ θ= + (D) 2 8 sin 12ρ ρ θ= −
（11）若抛物线 2y ax= 的焦点在直线 2 3y x= + 上，则 a = ( )
(A) 12 (B) 6 (C) 1
6
(D) 1
12
（12）给定两点 (1,2)A 、 (3,4)B ，若点 P 在 x 轴上移动，则使 APB∠ 达到最大的点 P 的横坐
标为( )
(A) 5− (B) 1 (C) 3 (D) 5
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二、填空题：本大题共八小题；每小题 4 分，共 32 分.把答案填在
题中横线上.
（13）双曲线
2 2
1
2 7
x y− = 两条准线的距离为__________________.
（14） 设 2sin 2
3
θ = ，则 tanθ +cotθ的值为___________________.
（15） 2
(2 1)lim
3 4n
n n
n→∞
+ =+ ______________________.
（16）函数 ( ) ( )
22 1
0
( 1)(4 1)
x
y x
x x
+= ≥+ + 的最小值为_____________________.
（17）在空间直角坐标系o xyz− 中，经过点 (3,1,0)p 且与直线{ 2 22 4x yx y z+ =− + = 垂直
的平面的方程为_________.
（18）用 ( 2)( 1)x x+ − 除多项式 6 5 3 2( ) 2 3p x x x x x= + + − + 所得的余式为________.
(19)设球面上的三个点 A,B 和 C，每两点间的球面距离都等于该球大圆周长的 1
6
.
若经过这三个点的圆的半径为 2cm,则该球的直径为_________________cm.
(20)一个正五棱柱有 10个顶点，以其中的 4点为顶点的不同三棱锥，总共有____________ 个.
得 分 评卷人
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三．解答题：在第 21、22、23 题三个题目中任选两题作答.在第 24、25、26、27 这四个题目
中按考生报考专业的类别完成两题.
（21）（本题满分 14 分）
如图，在 ABCΔ 中，点 D、E 分别在边 AB、BC 上，且 5 3
12 4
DE BA AC= + .求 DBEΔ 与 ABCΔ
的面积比.
得 分 评卷人
A
B C
D
E
A
B C
D
E
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（22）（本题满分 14 分）
如图，三棱锥P ABC− 的底面是正三角形，侧棱PA ⊥底面 ABC , D是 AC 中点，PD=BD= a ,
（I） 证明BD PC⊥ ；
（II）求三棱锥 P ABC− 的体积.
得 分 评卷人
P
A
B
CD
P
A
B
CD
P
A
B
CD
P
A
B
CD
P
A
B
CD
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（23）（本题满分 14 分）
求函数 ( ) cos sin 2(cos sin )( )f x x x x x x R= + + ∈ 的值域.
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（24）（本题满分 15 分，文史类考生不做）
设 1
1
, , 1, 2,3
nn
n n kn
k
a xdx S a n
+
=
= = =∑∫ ···.
（I）求 na 和 nS ；
（II）设 1
1
1(3 )
n
k
n
k k
T
S
−
=
= −∑ .证明：当 4n ≥ 时，都有 2 22 1nTn n< <+ + .
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（25）（本题满分 15 分，文史类考生不做）
设椭圆
2 2
1
4 3
x y+ = 的右焦点为 F，经过点 F 的直线 l与椭圆相交于 A、
B 两点，与椭圆的右准线相交于点 C，且 3AC AB= .求点 F 分有向线段 AB 所成的比，以及坐
标原点O到直线 l的距离.
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（26）（本题满分 15 分，理工类类考生不做）
设函数 3( ) ln( )( 0)
3
xf x x x= − > ，数列{ }na 的首项 1a >0 且 1 0a ≠ ，当
2n ≥ 时， 13 ( )n na f a −=
（I）求函数 ( )f x 的最小值以及对应的 x 值；
（II）证明：当 2n ≥ 时，都有 1 1n na a +> > .
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（27）（本题满分 15 分，理工类类考生不做）
设椭圆
2 2
1
4 3
x y+ = 的右焦点为 F，经过点 F 的直线 l与椭圆相交于 A、
B 两点，与椭圆的右准线相交于点 C，且 B 是 AC 的中点，求点 F 分有向线段 AB 所成的比，
以及点 C 的坐标.
得 分 评卷人
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