苏教版高中数学(必修2)测试试卷及答案

苏教版数学（必修2）测试试卷 苏教版高中数学（必修2）测试试卷及答案 一、选择题（每小题5分，共50分，每小题只有一个正确答案） 1、正方体 中，与面 的对角线 异面的棱有（B ） A．4条 B.6条 C.8条 D.10条 2、有下列四个命题： 1）过三点确定一个平面 2）矩形是平面图形 3）三条直线两两相交则确定一个平面 4）两个相交平面把空间分成四个区域，其中错误命题的序号是（B ）． （A）1）和2） （B）1）和3） （C）2）和4） （D）2）和3） 3、如图，将无盖正方体纸盒展开，直线AB,CD 在原正方体中的位置关系是（ D ） A．平行 B．相交且垂直 C． 异面 D．相交成60° 4．给出下列关于互不相同的直线 和平面 的四个命题： ① 则 与m不共面； ② 、m是异面直线， ； ③若 ； ④若 ，则 其中真命题个数是（C ） A．1 B．2 C．3 D．4 5、在直角坐标系中，已知两点 ，沿 轴把直角坐标平面折成直二面角后， 两点的距离为 （ C ） A、 B、 C、 D、 6、直线 的倾斜角是(A ) （A）30° （B）120° （C）60° （D）150° 7.已知直线 与直线 平行，则它们之间的距离是（D ） A． B． C．8 D．2 8．点 在直线 上的射影是 ，则 的值依次为（ A ） A． B． C． D． 9．过点P(2，1)且被圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0 截得弦长最长的直线l的方程是（A ） A．3x－y－5＝0 B．3x＋y－7＝0 C．x＋3y－5＝0 D．x－3y＋5＝0 10．若直线ax+by=1与圆 相交，则点P(a,b)与圆的位置关系是（ B ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 二、填空题（每小题5分，共6小题30分） 11．设点M是点 关于坐标平面 的对称点，则线段MN的长度等于 。 12．设 表示两条不同的直线， 表示一个平面，从“ 、 ”中选择适当的符号填入下列空格，使其成立真命题： 13.已知圆 ，过点A(1，0)与圆 相切的直线方程为 ． 14．用一张圆弧长等于12 分米，半径是10分米的扇形胶片制作一个圆锥体模型，这个圆锥体的体积等于　 　 立方分米。 15.已知球内接正方体的表面积为 ，那么球的体积等于 16. 正三棱锥P－ABC侧棱长为a,∠APB=30o，D、E分别在PB、PC上，则△ADE的周长的最小值为 . 14、在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，∠BDC＝90°，E、F分别是AD、BC的中点，若EF＝CD，则EF与平面ABD所成的角为___________． 15、已知长方体ABCDA'B'C'D'中棱AA'=5，AB=12，那么直线B'C'与平面A'BCD'的距离为_________． 16、经过（2，4）且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为___________. 三、解答题（共5大题，共70分） 17、(12 分 )写出过两点A(5,0)、B(0,-3) 的直线方程的两点式、点斜式、斜截式、截距式和一般式方程． 18、(12 分 )如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形 的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗? 请用你的计算数据说明理由． 20、本题满分12分 在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB= ， B1B=BC=1， （1）求D D1与平面ABD1所成角的大小； （2）求面B D1C与面A D1D所成二面角的大小； （3）求AD的中点M到平面D1B C的距离． 21、已知：如图，△ABC中，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，P是平面ABC外一点，且PA=PB=PC=6cm． (1) 平面ABC⊥平面ＰBC (２)求点P到平面ABC的距离； (３)求PA与平面ABC所成角的余弦． 22、直三棱柱中ABC-A1B1C1中,B1C1=A1C1,AC1⊥A1B,M,N分别为A1B1,AB中点，求证： 平面AMC1∥平面NB1C C1M⊥平面AB B1A1 A1B⊥AM 22．（本小题满分14分）如图，正三棱柱 的底面边长为 ，侧棱长为 ，点 在棱 上． （1） 若 ，求证：直线 平面 ； （2）是否存点 ， 使平面 ⊥平面 ，若存在，请确定点 的位置，若不存在，请说明理由； （3）请指出点 的位置，使二面角 平面角的正切值的大小为2,并证明你的结论。 19、本题满分14分 如图，圆 与圆 的半径都是1， =4，过动点P分别作圆 、圆 的切线PM、PN（M、N分别为切点），使得 ，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程。 21、本题满分12分 已知圆C：x2+y2－2x+4y－4=0，是否存在斜率为1的直线m，使以m被圆C截得的弦 AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由。 参考答案 一、选择题 1.B.解析：棱AB、BC、CD、AD、AA1、CC1与AC共面，其余6条棱与AC异面，故选B。 2.B.解析：三点共线时不能确定一个平面，故1）不正确；三条直线两两相交，所确定的平面个数为1个或3个，故3）不正确；故选B。 3. D.解析：将平面展开图还原成立体图形，如下图所示，其中无上底面，连接 AC，易知，△ABC为等边三角形，∴AB与CD相交成600，故选D 4. C.解析：由异面直线判定定理，知①正确； ∵ ，过 作平面 ，∴ 　 ∵ ，过 作平面 ，∴ 是异面直线， 与 相交，又 ，故②正确； 由两个平面平行的判定定理知④正确，而两个平行平面中的任意两条直线的位置关系为平行或异面，故③错误。综上知选C。 5. C.解析： 沿 轴把直角坐标平面折成直二面角后，线段MN可看成长方体的对角线，此长方体的过同一顶点的三条棱长分别为2、3、3，由长方体的对角线公式，得 ，故选C。 6. A.解析：直线 的斜率 ，设直线的倾斜角为 则由 ，得 ，故选A。 7. D.解析： ∵直线 与直线 平行，∴ ， ∴直线 即为 ，∴此两平行直线间的距离 ，故选D。 8．A.解析：∵ ，且与直线 垂直的直线为 ，∴直线 的斜率为 ，∴ ，而点 在直线 上，∴ ，即 ．故选A． 9．A.解析：过点P(2，1)且被圆C：x2＋y2－2x＋4y＝0 截得弦长最长的直线l必过圆C的圆心，而圆心C的坐标为C（1，-2），易求得过P、C两点的直线方程为3x－y－5＝0，故选A。 10．B.解析：∵直线ax+by=1与圆 相交，∴圆心到直线的距离小于圆的半径，即 ，即点P到圆心（0，0）的距离大于圆的半径，∴点P在圆外，故选B。 二、填空题 11.10 解析：易知，M点的坐标为（2，－3，－5），所以MN＝10 12． 13． 或 。 解析：过点A（1，0）且直线的斜率存在时，圆 ，则过点A(1，0)与圆 相切的直线方程可设为 ，即 。 由圆心到切线的距离等于圆的半径，得 ，故此时过点A(1，0)与圆 相切的直线方程为 ，又易知，过点A(1，0)且直线的斜率不存在时，其方程为 也是圆 的切线。 14. . 解析:设此圆锥体模型的底面半径为 ,则 ,又易知此圆锥体模型的母线长为10,所以此圆锥体模型的高 ,因此其体积为 立方分米. 15. . 解析: 设球内接正方体的棱长为 ，则 。又球内接正方体的对角线是球的直径，设球的半径为R，则 所以球的体积 . 16. 解析: 将正三棱锥P－ABC的侧面展开,得三个相邻的全等的等腰三角形,其顶角为 ,腰长为a,要使△ADE的周长的取得最小值,则A-D-E-A共线,其长度为 三、解答题 17.解析：两点式方程： ； 点斜式方程： ，即 ； 斜截式方程： ，即 ； 截距式方程： ； 一般式方程： ． 18．解析：因为 因为 所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子． 19.解析：以 的中点O为原点， 所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则 （-2，0）， （2，0），由已知 ，得 。因为两圆的半径均为1，所以 。设 ，则 ，即 ， 所以所求轨迹方程为 。（或 ） 20. 解析：（1）连接A1D交AD1于O，∵ABCD-A1B1C1D1为长方体，而B1B=BC，则四边形A1ADD1为正方形，∴A1DAD1， 又∵AB面A1ADD1，A1D 面A1ADD1，∴ABA1D，∴A1D面ABD1， ∴DD1O是D D1与平面ABD1所成角， 2分 ∵四边形A1ADD1为正方形，∴DD1O=450，则D D1与平面ABD1所成角为450．4分 （2）连接A1B，∵A1A面D1DCC1，D1D、DC 面D1DCC1，∴A1A D1D、A1ADC， ∴DD1C是面B D1C与面A D1D所成二面角的平面角， 6分 在直角三角形D1DC中，∵DC=AB= ，D1D=B1B =1，∴DD1C=600， 即DD1C是面B D1C与面A D1D所成的二面角为600． 8分 （3）∵AD//BC，∴AD//面BCD1，则AD的中点M到平面D1B C的距离即为A点到平面D1B C的距离，∵BC面A1ABB1，∴面BCD1A1面A1ABB1， 过A作AHA1B，垂足为H，由AH面BCD1A1可得，AH即为所求． 10分 在直角三角形A1AB中，∵AB= ，A1A=B1B =1，∴A1B =2， ， ∴AD的中点M到平面D1B C的距离为 ． 12分 （评分说明：第（3）问也可以用等体积法求M到平面D1B C的距离，一样给分） 21. 解析：设这样的直线存在，其方程为 ，它与圆C的交点设为A 、B ， 则由 得 （＊）， ∴ .∴ = . 由OA⊥OB得 ，∴ ， 即 ， ，∴ 或 . 容易验证 或 时方程（＊）有实根.故存在这样的直线，有两条，其方程是 或 22． （1）证明：连接 交 于 点， 在平行四边形 中，有 ，又 ……（2分） ∴ 为 的中位线，从而 ， 又 平面 ， ，∴直线 平面 ； ……（4分） （2）解：假设存在点 ，使平面 ⊥平面 ， 过点 作 于 ，则 平面 ， 又过 作 于 ，则 平面 ， ……（6分） 而过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直，故 、 应重合于 点，此时应有 ，故 ， ……（7分） 又点 在棱 上，故 ， 显然矛盾，故不存在这样的点 ，使平面 ⊥平面 ． ……（9分） （3）解：连接 ，过 作 于 ． 由（2）中的作法可知： 为二面角 平面角， ……（10分） 设 ，则 ， 则可得 ， ， ， ……（12分） ∴ ．∴ 即点 在棱 上，且 时， 二面角 平面角的正切值的大小为2。 ……（14分） 21．证明：１）取BC中点D PA=PB=PC P在平面ABC中的射影为 ABC的外心 由AB=6,BC=10,AC=8 得 ABC为直角三角形,且AB AC 则D为 ABC的外心,故PD 平面ABC 又PＤ 平面PBC, 平面PBC 平面ABC ２）由１知PD 平面ABC，故ＰＤ即为Ｐ到平面ABC 的距离　ＰＤ＝ 　３）连接AD,则AD＝５ 由PD 平面ABC　　知 即为PA与平面ABC所成的角 22．证明：１）连接MN Ｍ,N为中点 M NA BN,四边形 M AN为平行四边形, 四边形 M NB为平行四边形 N//MA, B MN N//平面 ＭＡ，ＭＮ Ｃ 四边形Ｃ ＭＮ为平行四边形， Ｍ//CN, CN//平面 ＭＡ, CN N=N 平面 ＭＡ//平面CN 2） Ａ 面 得 Ａ Ｍ ＝ ，Ｍ为中点得 Ｍ 故 Ｍ 面 3）由2知 Ｍ ,又 得 面 ＭA AM