13.3 合情推理与演绎推理

nullnull§13.3 合情推理与演绎推理 要点梳理 1.合情推理主要包括 和 . 合情推理的过程 从具体问 题出发观察、分析、 比较、联想归纳、类比提出猜想归纳推理类比推理基础知识 自主学习null（1）归纳推理：由某类事物的 具有某些 特征，推出该类事物的 都具有这些特征 的推理，或者由 概括出 的推理, 称为归纳推理（简称归纳）.简言之，归纳推理是 由 到 、由个别到 的推理. 归纳推理的基本模式: ， 结论:d∈M，d也具有某属性. （2）类比推理：由 具有某些类似特征和 其中 的某些已知特征，推出 也 具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）， 简言之，类比推理是由 的推理.a、b、c∈M且a、b、c具有某属性两类对象一类对象另一类对象特殊到特殊部分对象全部对象个别事实一般结论部分整体一般null 类比推理的基本模式:A:具有属性a,b,c,d； B:__________ ； 结论:B具有属性d′. （a,b,c,d与a′,b′,c′,d′相似或相同） 2.演绎推理：从 的原理出发，推出某个 的结论，我们把这种推理称为演绎推理. 简言之，演绎推理是由 到 的推理.具有属性a′,b′,c′一般性特殊情况下一般特殊null（1）“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理,对特殊情况做出的判断. （2）“三段论”可以表示为 ①大前提：M是P； ②小前提：S是M； ③结论：S是P. 用集合说明：即若集合M的所有元素都具有性质P， S是M的一个子集，那么S中所有元素也都具有性质P.null基础自测 1.下面几种推理是合情推理的是( ) ①由圆的性质类比出球的有关性质； ②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的 内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都 是180°； ③张军某次考试成绩是100分，由此推出全班同 学的成绩都是100分； ④三角形内角和是180°,四边形内角和是360°, 五边形内角和是540°，由此得凸n边形内角和 是（n-2）·180°. A.①② B.①③ C.①②④ D.②④ 解析 ①是类比推理，②是归纳推理，④是归纳 推理，所以①②④为合情推理.Cnull2.下面几种推理过程是演绎推理的是( ) A.两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A和∠B 是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B=180° B.某校高三(1)班有55人,(2)班有54人,(3)班有 52人，由此得高三所有班人数超过50人 C.由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质 D.在数列{an}中，a1=1， （n≥2），由此归纳出{an}的通项公式 解析 两条直线平行，同旁内角互补 大前提 ∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角 小前提 ∠A+∠B=180° 结论Anull3.某同学在电脑上打下了一串黑白圆,如图所示, ○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律 往下排，那么第36个圆的颜色应是( ) A.白色 B.黑色 C.白色可能性大 D.黑色可能性大 解析 由图知，图形是三白二黑的圆周而复始 相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列， 因为36÷5=7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜 色相同，即白色.Anull4.给出下列三个类比结论. ①(ab)n=anbn与(a+b)n类比,则有(a+b)n=an+bn; ②loga(xy)=logax+logay与sin(α+β)类比，则 有sin(α+β)=sin αsin β; ③(a+b)2=a2+2ab+b2与(a+b)2类比，则有(a+b)2 =a2+2a·b+b2. 其中结论正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 ③正确.Bnull5.若数列{an}中，a1=1,a2=3+5,a3=7+9+11,a4=13+ 15+17+19，…，则a8= . 解析 由a1,a2,a3,a4的形式可归纳， ∵1+2+3+4+…+7= ∴a8的首项应为第29个正奇数，即2×29-1=57. ∴a8=57+59+61+63+65+67+69+71 512null 题型一 归纳推理 在数列{an}中,a1=1,an+1= n∈N*, 猜想这个数列的通项公式，这个猜想正确吗？ 请说明理由. 根据已知条件和递推关系,先求出数 列的前几项,然后总结归纳其中的规律,写出其 通项公式. 解 在{an}中,a1=1,a2= 所以猜想{an}的通项公式思维启迪题型分类 深度剖析null这个猜想是正确的，证明如下:null 通过归纳推理得出的结论可能正确,也 可能不正确,它的正确性需通过严格的证明,猜想 所得结论可用演绎推理给出证明,虽然由归纳推理 所得出的结论未必是正确的,但它所具有的由特殊 到一般、由具体到抽象的认识过程，对于科学的 发明是十分有用的.通过观察实验，对有限的资料 作归纳整理，提出带有规律性的猜想，也是数学 研究的基本方法之一，归纳推理的一般步骤是： （1）通过观察个别情况发现某些相同的性质； （2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一 般性命题（猜想）.null知能迁移1 设 先分别求f(0)+f(1), f(-1)+f(2),f(-2)+f(3),然后归纳猜想一般性结 论，并给出证明. 解 并注意到在这三个特殊式子中,自变量之和均等 于1.归纳猜想得:当x1+x2=1时,均有f(x1)+f(x2) null证明：设x1+x2=1,null题型二 类比推理 在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D， 求证： 那么在四面体A—BCD 中，类比上述结论,你能得到怎样的猜想？并说明 理由. 首先利用综合法证明结论正确，然后 依据直角三角形与四面体之间形状的对比猜想 结论，并予以证明.null解 如图①所示，由射影定理知 AD2=BD·DC，AB2=BD·BC， AC2=BC·DC，四面体A—BCD中，AB、AC、AD两两垂直,图①null 如图②，连接BE交CD于F， 连接AF. ∵AB⊥AC，AB⊥AD， ∴AB⊥平面ACD. 而AF平面ACD，∴AB⊥AF， 在Rt△ABF中，AE⊥BF图②null 类比推理是根据两个对象有一部分属 性类似，推出这两个对象其他属性亦类似的一种 推理方法.例如分式与分数类比、平面几何与立体 几何的某些对象类比等.当然类比时有可能出现 错误，如：在平面内，直线a、b、c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c；在空间内，三个平面α、β、γ， 若α⊥β,β⊥γ，但α与γ之间可能平行，也可 能相交.null知能迁移2 已知O是△ABC内任意一点,连结AO、 BO、CO并延长交对边于A′,B′,C′,则 这是一道平面几何题，其 证明常采用“面积法”. 请运用类比思想，对于空间中的四面体V—BCD， 存在什么类似的结论？并用体积法证明. 证明 在四面体V—BCD中，任取一点O,连结VO、 DO、BO、CO并延长分别交四个面于E、F、G、 H点，nullnull题型三 演绎推理 （12分）（1）证明函数f(x)=-x2+2x在 （-∞，1］上是增函数； （2）判断函数f（x）在区间［-5，-2］上的单 调性，并加以说明. （1）证明本题的大前提是增函数的 定义，即增函数f(x)满足:在给定区间内任取自 变量的两个值x1,x2，且x10, ∴f′(x)>0在x∈(-∞,1)上恒成立. 6分 故f(x)在(-∞，1］上是增函数. 8分null(2)∵f(x)在（-∞，1］上是增函数， 9分 而［-5，-2］是区间（-∞，1］的子区间， 11分 ∴f（x）在［-5，-2］上是增函数. 12分 三段论推理的依据用集合论的观点来讲 就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的 子集，那么S中所有元素都具有性质P.三段论推理 中包含三个判断：第一个判断称为大前提,它提供 了一个一般的原理；第二个判断叫小前提,它指出 了一个特殊情况；这两个判断联合起来,揭示了一 般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个 判断：结论.null知能迁移3 已知函数 （x∈R）， （1）判定函数f（x）的奇偶性； （2）判定函数f（x）在R上的单调性，并证明. 解 （1）对x∈R有-x∈R， 所以f（x）是奇函数. （2）f(x)在R上单调递增，证明如下： 任取x1,x2∈R，并且x1>x2,null∵x1>x2,∴2x1>2x2>0, 即2x1-2x2>0,又∵2x1+1>0,2x2+1>0.∴f(x1)>f(x2). ∴f(x)在R上为单调递增函数.null思想方法 感悟提高 方法与技巧 1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研 究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜 测和发现结论,在证明一个数学结论之前,合情 推理常常能为证明提供思路与方向. 2.合情推理的过程概括为:从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想null3.演绎推理是从一般的原理出发，推出某个特殊 情况的结论的推理方法，是由一般到特殊的推 理，常用的一般模式是三段论.数学问题的证明 主要通过演绎推理来进行. 4.合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的 结论不一定正确.但合情推理常常帮助我们猜测 和发现新的规律,为我们提供证明的思路和方法. 而演绎推理得到的结论一定正确（前提和推理 形式都正确的前提下）.null失误与防范 1.合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发 现与猜想的结论都要经过进一步严格证明. 2.演绎推理是由一般到特殊的证明，它常用来证 明和推理数学问题，注意推理过程的严密性， 书写格式的规范性. 3.合情推理中运用猜想时不能凭空想象，要有猜 想或拓展依据.null一、选择题 1.下面使用类比推理恰当的是 ( ) A.“若a·3=b·3，则a=b”类推出“若a·0 =b·0，则a=b” B.“(a+b)c=ac+bc”类推出“ ” C.“(a+b)c=ac+bc”类推出“ (c≠0)” D.“（ab）n=anbn”类推出“（a+b）n=an+bn” 解析 由类比推理的特点可知.C定时检测null2.（2009·湖北文，10）古希腊人常用小石头在 沙滩上摆成各种形状来研究数，比如： 他们研究过图（1）中的1，3，6，10，…，由 于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；null类似的，称图（2）中的1，4，9，16，…这样的 数为正方形数. 下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ) A.289 B.1 024 C.1 225 D.1 378 解析 设图（1）中数列1,3,6,10,…的通项公式 为an, 其解法如下：a2-a1=2,a3-a2=3,a4-a3=4,…, an-an-1=n. 故an-a1=2+3+4+…+n, 而图（2）中数列的通项公式为bn=n2,因此所给的 选项中只有1 225满足Cnull3.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数 集,C为复数集): ①“若a,b∈R,则a-b=0a=b”类比推出“若 a,b∈C，则a-b=0a=b”； ②“若a,b,c,d∈R,则复数a+bi=c+dia=c,b=d” 类比推出“若a,b,c,d∈Q，则a+b =c+d  a=c,b=d”; ③若“a,b∈R，则a-b>0a>b”类比推出“若 a,b∈C，则a-b>0a>b”.其中类比结论正确的个 数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 ①②正确，③错误.因为两个复数如果不全 是实数，不能比较大小.Cnull4.（2009·山东理，10）定义在R上的函数f(x)满足 则f(2 009)的值 为( ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析 当x＞0时，∵f(x)=f(x-1)-f(x-2), ∴f(x+1)=f(x)-f(x-1). ∴f(x+1)=-f(x-2)，即f(x+3)=-f(x) ∴f(x+6)=f(x). 即当x＞0时，函数f(x)的周期是6. 又∵f(2 009)=f(334×6+5)=f(5), ∴由已知得f(-1)=log22=1，f(0)=0,f(1)=f(0)-f(-1)= -1,f(2)=f(1)-f(0)=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-(-1)=0, f(4)=f(3)-f(2)=0-(-1)=1,f(5)=f(4)-f(3)=1.Cnull5.定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图 中的(1)、(2)、(3)、(4)，那么下图中的(A)、(B) 所对应的运算结果可能是 ( ) A.B*D,A*D B.B*D,A*C C.B*C,A*D D.C*D,A*Dnull解析 由（1）（2）（3）（4）图得A表示|，B表 示□，C表示—，D表示○，故图（A）（B）表示 B*D和A*C. 答案 Bnull6.设 又记f1(x)=f(x),fk+1(x)=f(fk(x)), k=1,2,…,则f2 009(x)等于 ( ) A. B.x C. D. 解析 Dnull二、填空题 7.考察下列一组不等式： 23+53>22·5+2·52, 24+54>23·5+2·53, 25+55>23·52+22·53,……. 将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下 加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的 特例，则推广的不等式可以是 . 注：填2m+n+5m+n>2m5n+2n5m(m,n为正整数)也对.am+n+bm+n>ambn+anbm(a,b>0,a≠b,m,n>0)(或a,b>0,a≠b,m,n为正整数)null8.（2009·江苏，8）在平面上，若两个正三角形 的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类 似地，在空间中,若两个正四面体的棱长比为 1∶2,则它们的体积比为 . 解析 ∵两个正三角形是相似的三角形，∴它 们的面积之比是相似比的平方.同理，两个正四 面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的 立方，所以它们的体积比为1∶8.1∶8null9.现有一个关于平面图形的命题： 如图所示，同一个平面内有两个 边长都是a的正方形,其中一个的 某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的 面积恒为 .类比到空间,有两个棱长均为a的正方 体，其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正 方体重叠部分的体积恒为 . 解析 在已知的平面图形中，中心O 到两边的距离相等（如右图），即 OM=ON.null四边形OPAR是圆内接四边形，所以Rt△OPN≌Rt△ORM， 因此S四边形OPAR=S正方形OMAN= . 同样地，类比到空间，如下图. 两个棱长均为a的正方体重叠部分的体积为 . 答案null三、解答题 10.把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比, 试由“平行四边形对边相等”得出平行六面体的 相关性质. 解 如图所示， 由平行四边形的性质可知AB=DC，AD=BC， 于是类比平行四边形的性质, 在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，null我们猜想： SABCD=S ,S =S , S =S , 且由平行六面体对面是全等的平行四边形知， 此猜想是正确的. null11.用三段论的形式写出下列演绎推理. (1)若两角是对顶角，则两角相等，所以若两角 不相等，则两角不是对顶角； (2)矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以， 正方形的对角线相等； (3)0.332是有理数； (4)y=sin x（x∈R）是周期函数. 解 (1)若两个角是对顶角,则两角相等,(大前提) ∠1和∠2不相等， (小前提) ∠1和∠2不是对顶角. (结论). . . null(2)每一个矩形的对角线相等， (大前提) 正方形是矩形， (小前提) 正方形的对角线相等. (结论) (3)所有的循环小数是有理数， (大前提) 0.332是循环小数， (小前提) 所以0.332是有理数. (结论) (4)三角函数是周期函数， (大前提) y=sin x是三角函数， (小前提) y=sin x是周期函数. (结论) . . . . . . null12.已知椭圆具有性质：若M、 N是椭圆C上关于原 点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线 PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么 kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值.试对双曲 线 写出具有类似特性的性质,并加以证 明. 解 类似的性质为：若M、N是双曲线 上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意 一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPM， kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的 定值.null证明如下： 设点M、P的坐标分别为（m，n），（x，y），则 N（-m，-n）. 因为点M（m,n）在已知双曲线上， 返回