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13.3 合情推理与演绎推理.ppt

13.3 合情推理与演绎推理

zhujhag
2011-10-18 0人阅读 举报 0 0 暂无简介

简介:本文档为《13.3 合情推理与演绎推理ppt》,可适用于高中教育领域

§合情推理与演绎推理要点梳理合情推理主要包括和合情推理的过程从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想归纳推理类比推理基础知识自主学习()归纳推理:由某类事物的具有某些特征推出该类事物的都具有这些特征的推理或者由概括出的推理,称为归纳推理(简称归纳)简言之归纳推理是由到、由个别到的推理归纳推理的基本模式:结论:d∈Md也具有某属性()类比推理:由具有某些类似特征和其中的某些已知特征推出也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)简言之类比推理是由的推理a、b、c∈M且a、b、c具有某属性两类对象一类对象另一类对象特殊到特殊部分对象全部对象个别事实一般结论部分整体一般类比推理的基本模式:A:具有属性a,b,c,dB:结论:B具有属性d′(a,b,c,d与a′,b′,c′,d′相似或相同)演绎推理:从的原理出发推出某个的结论我们把这种推理称为演绎推理简言之演绎推理是由到的推理具有属性a′,b′,c′一般性特殊情况下一般特殊()“三段论”是演绎推理的一般模式包括:①大前提已知的一般原理②小前提所研究的特殊情况③结论根据一般原理,对特殊情况做出的判断()“三段论”可以表示为①大前提:M是P②小前提:S是M③结论:S是P用集合说明:即若集合M的所有元素都具有性质PS是M的一个子集那么S中所有元素也都具有性质P基础自测下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是°归纳出所有三角形的内角和都是°③张军某次考试成绩是分由此推出全班同学的成绩都是分④三角形内角和是°,四边形内角和是°,五边形内角和是°由此得凸n边形内角和是(n)·°A①②B①③C①②④D②④解析①是类比推理②是归纳推理④是归纳推理所以①②④为合情推理C下面几种推理过程是演绎推理的是()A两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A和∠B是两条平行直线的同旁内角,则∠A∠B=°B某校高三()班有人,()班有人,()班有人由此得高三所有班人数超过人C由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质D在数列{an}中a=(n≥)由此归纳出{an}的通项公式解析两条直线平行同旁内角互补大前提∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角小前提∠A∠B=°结论A某同学在电脑上打下了一串黑白圆,如图所示,○○○●●○○○●●○○○…按这种规律往下排那么第个圆的颜色应是()A白色B黑色C白色可能性大D黑色可能性大解析由图知图形是三白二黑的圆周而复始相继排列是一个周期为的三白二黑的圆列因为÷=余所以第个圆应与第个圆颜色相同即白色A给出下列三个类比结论①(ab)n=anbn与(ab)n类比,则有(ab)n=anbn②loga(xy)=logaxlogay与sin(αβ)类比则有sin(αβ)=sinαsinβ③(ab)=aabb与(ab)类比则有(ab)=aa·bb其中结论正确的个数是()ABCD解析③正确B若数列{an}中a=,a=,a=,a=…则a=解析由a,a,a,a的形式可归纳∵…=∴a的首项应为第个正奇数即×=∴a=题型一归纳推理在数列{an}中,a=,an=n∈N*,猜想这个数列的通项公式这个猜想正确吗?请说明理由根据已知条件和递推关系,先求出数列的前几项,然后总结归纳其中的规律,写出其通项公式解在{an}中,a=,a=所以猜想{an}的通项公式思维启迪题型分类深度剖析这个猜想是正确的证明如下:通过归纳推理得出的结论可能正确,也可能不正确,它的正确性需通过严格的证明,猜想所得结论可用演绎推理给出证明,虽然由归纳推理所得出的结论未必是正确的,但它所具有的由特殊到一般、由具体到抽象的认识过程对于科学的发明是十分有用的通过观察实验对有限的资料作归纳整理提出带有规律性的猜想也是数学研究的基本方法之一归纳推理的一般步骤是:()通过观察个别情况发现某些相同的性质()从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想)知能迁移设先分别求f()f(),f()f(),f()f(),然后归纳猜想一般性结论并给出证明解并注意到在这三个特殊式子中,自变量之和均等于归纳猜想得:当xx=时,均有f(x)f(x)证明:设xx=,题型二类比推理在Rt△ABC中AB⊥ACAD⊥BC于D求证:那么在四面体ABCD中类比上述结论,你能得到怎样的猜想?并说明理由首先利用综合法证明结论正确然后依据直角三角形与四面体之间形状的对比猜想结论并予以证明解如图①所示由射影定理知AD=BD·DCAB=BD·BCAC=BC·DC四面体ABCD中AB、AC、AD两两垂直,图①如图②连接BE交CD于F连接AF∵AB⊥ACAB⊥AD∴AB⊥平面ACD而AF平面ACD∴AB⊥AF在Rt△ABF中AE⊥BF图②类比推理是根据两个对象有一部分属性类似推出这两个对象其他属性亦类似的一种推理方法例如分式与分数类比、平面几何与立体几何的某些对象类比等当然类比时有可能出现错误如:在平面内直线a、b、c若a⊥bb⊥c则a∥c在空间内三个平面α、β、γ若α⊥β,β⊥γ但α与γ之间可能平行也可能相交知能迁移已知O是△ABC内任意一点,连结AO、BO、CO并延长交对边于A′,B′,C′,则这是一道平面几何题其证明常采用“面积法”请运用类比思想对于空间中的四面体VBCD存在什么类似的结论?并用体积法证明证明在四面体VBCD中任取一点O,连结VO、DO、BO、CO并延长分别交四个面于E、F、G、H点题型三演绎推理(分)()证明函数f(x)=xx在(∞]上是增函数()判断函数f(x)在区间[]上的单调性并加以说明()证明本题的大前提是增函数的定义即增函数f(x)满足:在给定区间内任取自变量的两个值x,x且x<x,f(x)<f(x),小前提是函数f(x)=xxx∈(∞]结论是满足增函数定义()关键是看[]与f(x)的增区间或减区间的关系解()方法一任取x,x∈(∞],x<x,则f(x)f(x)=(xx)(xx),分∵x<x≤,∴xx<,∴f(x)f(x)<,f(x)<f(x),分于是根据“三段论”可知f(x)=xx在(∞]上是增函数分方法二∵f′(x)=x=(x),分当x∈(∞,)时x<,∴(x)>,∴f′(x)>在x∈(∞,)上恒成立分故f(x)在(∞]上是增函数分()∵f(x)在(∞]上是增函数分而[]是区间(∞]的子区间分∴f(x)在[]上是增函数分三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是:若集合M的所有元素都具有性质PS是M的子集那么S中所有元素都具有性质P三段论推理中包含三个判断:第一个判断称为大前提,它提供了一个一般的原理第二个判断叫小前提,它指出了一个特殊情况这两个判断联合起来,揭示了一般原理和特殊情况的内在联系,从而产生了第三个判断:结论知能迁移已知函数(x∈R)()判定函数f(x)的奇偶性()判定函数f(x)在R上的单调性并证明解()对x∈R有x∈R所以f(x)是奇函数()f(x)在R上单调递增证明如下:任取x,x∈R并且x>x,∵x>x,∴x>x>,即xx>,又∵x>,x>∴f(x)>f(x)∴f(x)在R上为单调递增函数思想方法感悟提高方法与技巧合情推理主要包括归纳推理和类比推理数学研究中,在得到一个新结论前,合情推理能帮助猜测和发现结论,在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向合情推理的过程概括为:从具体问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜想演绎推理是从一般的原理出发推出某个特殊情况的结论的推理方法是由一般到特殊的推理常用的一般模式是三段论数学问题的证明主要通过演绎推理来进行合情推理仅是“合乎情理”的推理它得到的结论不一定正确但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律,为我们提供证明的思路和方法而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)失误与防范合情推理是从已知的结论推测未知的结论发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明演绎推理是由一般到特殊的证明它常用来证明和推理数学问题注意推理过程的严密性书写格式的规范性合情推理中运用猜想时不能凭空想象要有猜想或拓展依据一、选择题下面使用类比推理恰当的是()A“若a·=b·则a=b”类推出“若a·=b·则a=b”B“(ab)c=acbc”类推出“”C“(ab)c=acbc”类推出“(c≠)”D“(ab)n=anbn”类推出“(ab)n=anbn”解析由类比推理的特点可知C定时检测(·湖北文)古希腊人常用小石头在沙滩上摆成各种形状来研究数比如:他们研究过图()中的…由于这些数能够表示成三角形将其称为三角形数类似的称图()中的…这样的数为正方形数下列数中既是三角形数又是正方形数的是()ABCD解析设图()中数列,,,,…的通项公式为an,其解法如下:aa=,aa=,aa=,…,anan=n故ana=…n,而图()中数列的通项公式为bn=n,因此所给的选项中只有满足C给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集,R为实数集,C为复数集):①“若a,b∈R,则ab=a=b”类比推出“若a,b∈C则ab=a=b”②“若a,b,c,d∈R,则复数abi=cdia=c,b=d”类比推出“若a,b,c,d∈Q则ab=cda=c,b=d”③若“a,b∈R则ab>a>b”类比推出“若a,b∈C则ab>a>b”其中类比结论正确的个数是()ABCD解析①②正确③错误因为两个复数如果不全是实数不能比较大小C(·山东理)定义在R上的函数f(x)满足则f()的值为()ABCD解析当x>时∵f(x)=f(x)f(x),∴f(x)=f(x)f(x)∴f(x)=f(x)即f(x)=f(x)∴f(x)=f(x)即当x>时函数f(x)的周期是又∵f()=f(×)=f(),∴由已知得f()=log=f()=,f()=f()f()=,f()=f()f()=,f()=f()f()=()=,f()=f()f()=()=,f()=f()f()=C定义A*BB*CC*DD*A的运算分别对应下图中的()、()、()、()那么下图中的(A)、(B)所对应的运算结果可能是()AB*D,A*DBB*D,A*CCB*C,A*DDC*D,A*D解析由()()()()图得A表示|B表示□C表示D表示○故图(A)(B)表示B*D和A*C答案B设又记f(x)=f(x),fk(x)=f(fk(x)),k=,,…,则f(x)等于()ABxCD解析D二、填空题考察下列一组不等式:>··,>··,>··,……将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广使以上的不等式成为推广不等式的特例则推广的不等式可以是注:填mnmn>mnnm(m,n为正整数)也对amnbmn>ambnanbm(a,b>,a≠b,m,n>)(或a,b>,a≠b,m,n为正整数)(·江苏)在平面上若两个正三角形的边长比为∶则它们的面积比为∶类似地在空间中,若两个正四面体的棱长比为∶,则它们的体积比为解析∵两个正三角形是相似的三角形∴它们的面积之比是相似比的平方同理两个正四面体是两个相似几何体体积之比为相似比的立方所以它们的体积比为∶∶现有一个关于平面图形的命题:如图所示同一个平面内有两个边长都是a的正方形,其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方形重叠部分的面积恒为类比到空间,有两个棱长均为a的正方体其中一个的某顶点在另一个的中心,则这两个正方体重叠部分的体积恒为解析在已知的平面图形中中心O到两边的距离相等(如右图)即OM=ON四边形OPAR是圆内接四边形所以Rt△OPN≌Rt△ORM因此S四边形OPAR=S正方形OMAN=同样地类比到空间如下图两个棱长均为a的正方体重叠部分的体积为答案三、解答题把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比,试由“平行四边形对边相等”得出平行六面体的相关性质解如图所示由平行四边形的性质可知AB=DCAD=BC于是类比平行四边形的性质,在平行六面体ABCDABCD中我们猜想:SABCD=S,S=S,S=S,且由平行六面体对面是全等的平行四边形知此猜想是正确的用三段论的形式写出下列演绎推理()若两角是对顶角则两角相等所以若两角不相等则两角不是对顶角()矩形的对角线相等正方形是矩形所以正方形的对角线相等()是有理数()y=sinx(x∈R)是周期函数解()若两个角是对顶角,则两角相等,(大前提)∠和∠不相等(小前提)∠和∠不是对顶角(结论)()每一个矩形的对角线相等(大前提)正方形是矩形(小前提)正方形的对角线相等(结论)()所有的循环小数是有理数(大前提)是循环小数(小前提)所以是有理数(结论)()三角函数是周期函数(大前提)y=sinx是三角函数(小前提)y=sinx是周期函数(结论)已知椭圆具有性质:若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点点P是椭圆上任意一点当直线PM、PN的斜率都存在并记为kPMkPN时那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值试对双曲线写出具有类似特性的性质,并加以证明解类似的性质为:若M、N是双曲线上关于原点对称的两个点点P是双曲线上任意一点,当直线PM、PN的斜率都存在,并记为kPMkPN时那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值证明如下:设点M、P的坐标分别为(mn)(xy)则N(mn)因为点M(m,n)在已知双曲线上返回

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