8.7 立体几何中的向量方法

nullnull§8.7 立体几何中的向量方法 要点梳理 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 （1）直线的方向向量：在直线上任取一 向 量作为它的方向向量. （2）平面的法向量可利用方程组求出：设a,b是 平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量， 则求法向量的方程组为非零 .基础知识 自主学习null2.空间向量与空间角的关系 (1)设异面直线l1,l2的方向向量分别为m1,m2， 则l1与l2所成的角θ满足 . (2)设直线l的方向向量和平面α的法向量分别 为m,n，则直线l与平面α所成角θ满足 . (3)求二面角的大小 ①如图①，AB、CD是二面角α—l—β的两个面 内与棱l垂直的直线,则二面角的大小θ= .cos θ=|cos〈m1,m2〉|sin θ=|cos〈m,n〉|null ② 如图②③，n1，n2分别是二面角α—l—β的两 个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足 cos θ= . cos〈n1,n2〉或-cos〈n1,n2〉null3.点面距的求法 如图,设AB为平面α的一条斜线段,n为平面α的 法向量,则B到平面α的距离d= .null基础自测 1.若直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,4,-4),b= (-6,9,6)，则( ) A.l1∥l2 B.l1⊥l2 C.l1与l2相交但不垂直 D.以上均不正确 解析 ∵a·b=-12+36-24=0，∴a⊥b， ∴l1⊥l2.Bnull2.已知平面α内有一个点M（1，-1，2），平面α 的一个法向量是n=（6，-3，6），则下列点P中 在平面α内的是( ) A.P（2，3，3） B.P（-2，0，1） C.P（-4，4，0） D.P（3，-3，4） 解析 ∵n=（6，-3，6）是平面α的法向量， ∴n⊥ ，在选项A中， =（1，4，1）， ∴n· =0.Anull3.已知两平面的法向量分别为m=（0，1，0）， n=（0，1，1）,则两平面所成的二面角为( ) A.45° B.135° C.45°或135° D.90° 解析 即〈m,n〉=45°，其补角为135°. ∴两平面所成二面角为45°或135°.Cnull4.如图所示，在空间直角坐标系中， 有一棱长为a的正方体ABCO— A′B′C′D′，A′C的中点E 与AB的中点F的距离为( ) A. B. C.a D. 解析 由图易知A（a,0,0）,B（a,a,0）, C（0，a，0），A′(a,0,a).Bnull5.已知a=(1,1,1),b=(0,2,-1),c=ma+nb+(4,-4,1). 若c与a及b都垂直，则m,n的值分别为( ) A.-1,2 B.1,-2 C.1,2 D.-1,-2 解析 由已知得c=(m+4,m+2n-4,m-n+1), 故a·c=3m+n+1=0，b·c=m+5n-9=0. Anull 题型一 利用空间向量证明平行与垂直 如图所示，在四棱锥P—ABCD中， PA⊥底面ABCD，AB⊥AD， AC⊥CD,∠ABC=60°,PA=AB=BC, E是PC的中点.证明： (1)AE⊥CD; (2)PD⊥平面ABE.题型分类 深度剖析null（1）建立空间直角坐标系确定 的坐标计算AE⊥CD （2）求面ABE的法向量n判断满足 =kn(k∈R） ⊥平面ABE或确定 坐标计算PD⊥AE PD⊥ABPD⊥平面ABE null证明 AB、AD、AP两两垂直，建立如图 所示的空间直角坐标系，设PA=AB=BC=1， 则P（0，0，1）. (1)∵∠ABC=60°， ∴△ABC为正三角形.null(2)方法一null方法二 null 证明线面平行和垂直问题，可以用几 何法，也可以用向量法.用向量法的关键在于构造 向量，再用共线向量定理或共面向量定理及两向 量垂直的判定定理.若能建立空间直角坐标系，其 证法较为灵活方便.null知能迁移1 如图所示,平面PAD⊥平面 ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直 角三角形，且PA=AD=2，E、F、G分 别是线段PA、PD、CD的中点. 求证：PB∥平面EFG. 证明 ∵平面PAD⊥平面ABCD且ABCD为正方形, ∴AB、AP、AD两两垂直，以A为坐标原点， 建立如图所示的空间直角坐标系A—xyz， 则A(0,0,0)、B(2,0,0)、C(2,2,0)、D(0,2,0)、 P(0,0,2)、E(0,0,1)、F(0,1,1)、G(1,2,0).null 即(2,0,-2)=s(0,-1,0)+t(1,1,-1)， null题型二 利用向量求空间角 （2008·海南理，18）如图所 示，已知点P在正方体ABCD—A′B′ C′D′的对角线BD′上,∠PDA=60°. (1)求DP与CC′所成角的大小; (2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小. 建立空间直角坐标系，利用空间向 量方法求解. null解 如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立 空间直角坐标系D—xyz. 则 =（1，0，0）， =(0,0,1). 连接BD,B′D′. 在平面BB′D′D中, 延长DP交B′D′于H. 设 =(m,m,1) (m>0), 由已知〈 〉=60°, nullnull （1）异面直线的夹角与向量的夹角有所 不同，应注意思考它们的区别与联系. （2）直线与平面的夹角可以转化成直线的方向向 量与平面的法向量的夹角，由于向量方向的变化, 所以要注意它们的区别与联系.null知能迁移2 （2009·天津理，19） 如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥ 平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥ AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE= . (1)求异面直线BF与DE所成的角的大小； (2)证明平面AMD⊥平面CDE; (3)求二面角A—CD—E的余弦值. (1)解 如图所示，建立空间直 角坐标系，点A为坐标原点，设 AB=1，依题意得B(1,0,0), C(1,1,0)，D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1)，null所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.(2)证明又AM∩AD=A，故CE⊥平面AMD.而CE平面 CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.null(3)解 设平面CDE的法向量为u=（x,y,z)， 令x=1,可得u=(1,1,1). 又由题设，平面ACD的一个法向量v=(0,0,1). 因为二面角A—CD—E为锐角，所以其余弦值为 null题型三 利用向量求空间距离 （12分）在三棱锥S—ABC中， △ABC是边长为4的正三角形，平面 SAC⊥平面ABC，SA=SC= ，M、 N分别为AB、SB的中点，如图所示. 求点B到平面CMN的距离. 由平面SAC⊥平面ABC,SA=SC,BA= BC,可知本题可以取AC中点O为坐标原点，分别 以OA，OB，OS所在直线为x轴，y轴,z轴建立空 间直角坐标系，用向量法求解.null解 取AC的中点O，连接OS、 OB.∵SA=SC，AB=BC， ∴AC⊥SO，AC⊥BO. ∵平面SAC⊥平面ABC， 平面SAC∩平面ABC=AC， ∴SO⊥平面ABC， ∴SO⊥BO. 4分 如图所示，建立空间直角坐标系O—xyz， 则B(0,2 ,0),C(-2,0,0),S(0,0,2 ), M（1， ，0），N（0， ， ）. 6分null 设n=(x,y,z)为平面CMN的一个法向量， 点到平面的距离，利用向量法求解比较 简单，它的理论基础仍出于几何法.如本题,事实上，作BH⊥平面CMN于H.8分10分12分null知能迁移3 如图所示，已知两个正四 棱锥P—ABCD与Q—ABCD的高分别 为1，2，AB=4. （1）证明PQ⊥面ABCD； （2）求异面直线AQ与PB所成角的余弦值； （3）求点P到面QAD的距离. （1）证明 如图，连结AC，BD，设AC∩BD=O， ∵P—ABCD与Q—ABCD都是正四棱锥， ∴PO⊥面ABCD， QO⊥面ABCD， 从而P、O、Q三点在一条直线上. ∴PQ⊥面ABCD. null（2）解 由题设知，ABCD是正方形， ∴AC⊥BD. 由（1）知，PQ⊥面ABCD，故可分别以CA，DB, QP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，由条件得 P（0，0，1）,A（2 ，0，0）,Q（0，0，-2）, B（0，2 ，0）， null(3)解 由(2)得D(0,-2 ,0)， =（0，0，-3），设n=（x，y，z）是面QAD的 一个法向量， null 方法与技巧 1.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路: 一种是用向量表示几何量，利用向量的运算进 行判断；另一种是用向量的坐标表示几何量， 共分三步:（1）建立立体图形与空间向量的联 系，用空间向量（或坐标）表示问题中所涉及 的点、线、面，把立体几何问题转化为向量问 题；（2）通过向量运算，研究点、线、面之间 的位置关系；（3）根据运算结果的几何意义来 解释相关问题.思想方法 感悟提高null2.若利用向量求角，各类角都可以转化为向量的 夹角来运算. (1)求两异面直线a、b的夹角θ，须求出它们的 方向向量a，b的夹角,则cos θ=|cos〈a,b〉|. (2)求直线l与平面α所成的角θ 可先求出平面α的法向量n与直线l的方向向量a 的夹角.则sin θ=|cos〈n,a〉|. (3)求二面角α—l—β的大小θ，可先求出两个 平面的法向量n1,n2所成的角，则θ=〈n1,n2〉或 π-〈n1,n2〉. 3.求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开 以该点为端点的平面的斜线段.null失误与防范 1.用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立 体几何中的定理.如要证明线面平行，只需要证 明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行, 即化归为证明线线平行，用向量方法证直线 a∥b，只需证明向量a=λb（λ∈R）即可.若用 直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面 平行，仍需强调直线在平面外. 2.利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为 各空间角.因为向量夹角与各空间角的定义、范 围不同.null一、选择题 1.已知 =（1，5，-2）， =（3，1，z），若 ⊥ ， =（x-1， y，-3），且BP⊥平面 ABC，则实数x，y，z分别为 ( ) A. B. C. D. 定时检测null解析 即3+5-2z=0， 得z=4， 又BP⊥平面ABC，∴BP⊥AB，BP⊥BC， =（3，1，4），则 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 Bnull2.长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=1， E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余 弦值为 ( ) A. B. C. D. 解析 建立坐标系如图. 则A(1,0,0),E(0,2,1)， B(1,2,0)，C1(0,2,2）. Bnull3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,M是AB的中点,则 的值等于 ( ) A. B. C. D. 解析 以D为原点,DA、DC、DD1分 别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标 系，设正方体棱长为1，易知 Bnull4.设正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到 平面A1BD的距离是 ( ) A. B. C. D. 解析 如图建立空间直角坐标系， 则D1（0，0，2），A1（2，0，2）， D（0，0，0），B（2，2，0）， =（2，0，0）， =（2，0，2）， =（2，2，0）， 设平面A1BD的法向量n=（x，y，z），null 令x=1,则n=(1,-1,-1), ∴点D1到平面A1BD的距离答案 Dnull5.P是二面角α—AB—β棱上的一点，分别在α、β 平面上引射线PM、PN，如果∠BPM=∠BPN=45°, ∠MPN=60°，那么二面角α—AB—β的大小为 ( ) A.60° B.70° C.80° D.90° 解析 不妨设PM=a，PN=b,如图, 作ME⊥AB于E，NF⊥AB于F， ∵∠EPM=∠FPN=45°，null答案 Dnull6.如图所示，在长方体ABCD—A1B1C1 D1中,已知B1C,C1D与上底面A1B1C1D1 所成的角分别为60°和45°,则异面直 线B1C和C1D所成的余弦值为 ( ) Dnull二、填空题 7.设平面α与向量a=(-1,2,-4)垂直，平面β与向量 b=(2,3,1)垂直，则平面α与β的位置关系 是 . 解析 由已知a,b分别是平面α，β的法向量. ∵a·b=-2+6-4=0,∴a⊥b，∴α⊥β.垂直null 8.正四棱锥S—ABCD中,O为顶点在底面上的射 影,P为侧棱SD的中点,且SO=OD,则直线BC与平 面PAC所成的角是 . 解析 如图所示,以O为原点建立空间直角坐标 系O—xyz. 设OD=SO=OA=OB=OC=a, 则A(a,0,0),B(0,a,0), C(-a,0,0), 设平面PAC的法向量为n,可求得n=(0,1,1),null ∴直线BC与平面PAC所成的角为90°-60°=30°. 答案 30°null9.如图所示，PD垂直于正方形ABCD 所在平面，AB=2，E为PB的中点， 若以DA，DC， DP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则点E的坐标为 . 解析 设PD=a，则A（2，0，0）， B（2，2，0），P（0，0，a）， ∴E的坐标为（1，1，1）.（1,1,1）null三、解答题 10.如图所示，已知正方形ABCD和矩形 ACEF所在的平面互相垂直,AB= ， AF=1，M是线段EF的中点.求证： (1)AM∥平面BDE； (2)AM⊥平面BDF. 证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系, 设AC∩BD=N，连接NE. 则点N、E的坐标分别为nullMnull11.如图所示，边长为2的等边△PCD所 在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面， BC=2 ，M为BC的中点. (1)证明：AM⊥PM； (2)求二面角P—AM—D的大小； (3)求点D到平面AMP的距离. (1)证明 以D点为原点，分别以直 线DA、DC为x轴、y轴，建立如图 所示的空间直角坐标系D—xyz， null依题意，可得 D(0,0,0),P(0,1, ),C(0,2,0),A(2 ,0,0)， M( ,2,0). ∴ =( ,2,0)-(0,1, )=( ,1,- )， =( ,2,0)-(2 ,0,0)=(- ,2,0)， =( ,1,- )·(- ,2,0)=0， 即 ∴AM⊥PM. （2）解 设n=(x,y,z)，且n⊥平面PAM，则null取p=(0,0,1),显然p⊥平面ABCD，结合图形可知，二面角P—AM—D为45°. （3）解 设点D到平面PAM的距离为d，null12.如图所示，在棱长为2的正方体 ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为 A1D1和CC1的中点. (1)求证：EF∥平面ACD1； (2)求异面直线EF与AB所成角的余弦值； (3)在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角 P—AC—B的大小为30°？若存在,求出BP的长, 若不存在，请说明理由. null解 如图所示，分别以DA、DC、 DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴 建立空间直角坐标系D—xyz，由 已知得D(0,0,0)，A(2,0,0), B(2,2,0),C(0,2,0)，B1(2,2,2)，D1(0,0,2)， E(1,0,2)，F(0,2,1). (1)证明 易知平面ACD1的一个法向量是 (2)解 ∵ =（0，2，0），null(3)解 设点P（2，2，t） （0