1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

nullnull 要点梳理 1.简单的逻辑联结词 （1）命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 中的“___”、“___”、“___”叫做逻辑 联结词.§1.3 简单的逻辑联结词、全称 量词与存在量词 或且非基础知识 自主学习null2.全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有:“任意一个”、“一切”、 “每一个”、“任给”、“所有的”等. (2)常见的存在量词有:“存在一个”、“至少有一 个”、“有些”、“有一个”、“某个”、“有 的”等. (3)全称量词用符号“____” 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示；存在量词用符号 “____”表示. (4)全称命题与特称命题 ①_____________的命题叫全称命题. ②_____________的命题叫特称命题.含有全称量词含有存在量词null3.命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是 全称命题. (2)p或q的否定为：非p且非q; p且q的否定为：非p或非q. null基础自测 1.下列命题： ①有的实数是无限不循环小数； ②有些三角形不是等腰三角形； ③有的菱形是正方形； ④2x+1 (x∈R)是整数； ⑤对所有的x∈R,x>3; ⑥对任意一个x∈Z,2x2+1为奇数 其中假命题的个数为 （ ） A.1 B.2 C.3 D.5 解析 ①②③⑥为真命题，④⑤为假命题，故选B.Bnull2.已知： 且q为真，则下列命题中的假命题是 （ ） ①p;②p或q;③p且q;④ A.①④ B.①②③ C.①③④ D.②③④ 解析 ∵ 且q为真， ∴ 为真且q也为真， 即p为假，q为真. Cnull3.命题“对任意实数x∈R,x4-x3+x2+5≤0”的否定是 ( ) A.不存在x∈R,x4-x3+x2+5≤0 B.存在x∈R,x4-x3+x2+5≤0 C.存在x∈R,x4-x3+x2+5>0 D.对任意x∈R,x4-x3+x2+5>0 解析 命题的否定是“ x∈R, x4-x3+x2+5>0”. Cnull4.如果命题 为假命题,则 （ ） A.p,q均为真命题 B.p,q均为假命题 C.p,q中至少有一个为真命题 D.p,q中至多有一个为真命题 解析 由题意知p或q为真命题， ∴p、q中至少有一个为真命题，故选C. Cnull5.（2009·浙江文，8）若函数 (a∈R), 则下列结论正确的是 （ ） A.a∈R,f(x)在(0，+∞)上是增函数 B.a∈R,f(x)在(0，+∞)上是减函数 C.a∈R,f(x)是偶函数 D.a∈R,f(x)是奇函数 解析 故只有当a≤0时，f(x)在 (0，+∞)上是增函数，因此A、B不对，当a=0时， f(x)=x2是偶函数，因此C对，D不对. Cnull 题型一 用“或”、“且”、“非” 联结简单命题并判断其真假 【例1】写出由下列各组命题构成的“p∨q”、 “p∧q”、“ ”形式的复合命题，并判断真假. （1）p:1是质数；q：1是方程x2+2x-3=0的根； （2）p:平行四边形的对角线相等；q：平行四边形的 对角线互相垂直； （3）p：0∈；q：{x|x2-3x-5<0}R； （4）p：5≤5；q：27不是质数.题型分类 深度剖析null思维启迪 (1)利用“或”、“且”、“非”把两个 命题联结成新命题； (2)根据命题p和命题q的真假判断复合命题的真假. 解 （1）p为假命题，q为真命题. p∨q:1是质数或是方程x2+2x-3=0的根.真命题. p∧q:1既是质数又是方程x2+2x-3=0的根.假命题. :1不是质数.真命题. （2）p为假命题，q为假命题. p∨q:平行四边形的对角线相等或互相垂直.假命题. p∧q:平行四边形的对角线相等且互相垂直.假命题. :有些平行四边形的对角线不相等.真命题. null(3)∵0，∴p为假命题， 又∵x2-3x-5<0， ∴{x|x2-3x-5<0}=  成立. ∴q为真命题. ∴p∨q：0∈或{x|x2-3x-5<0}R,真命题， p∧q：0∈且{x|x2-3x-5<0}R,假命题， ：0，真命题.null(4)显然p：5≤5为真命题， q：27不是质数为真命题， ∴p∨q：5≤5或27不是质数，真命题， p∧q：5≤5且27不是质数，真命题， ：5>5，假命题. “p∨q”、“p∧q”、“ ”形式命题 真假的判断步骤： （1）确定命题的构成形式； （2）判断其中命题p、q的真假； （3）确定“p∨q”、“p∧q”、“ ”形式命题的 真假. 探究提高null知能迁移1 写出由下列各组命题构成的“p q” “p q”“ p”形式的复合命题，并判断真假. (1)p:6<6,q:6=6. (2)p：函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点. q:方程x2+x+2=0没有实根. 解 （1）p q：6<6且6=6，假命题. p q：6<6或6=6，真命题. p：6≥6，真命题. （2）p q：函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共 点，且方程x2+x+2=0没有实根，真命题. p q：函数y=x2+x+2的图象与x轴没有公共点，或 方程x2+x+2=0没有实根，真命题. p：函数y=x2+x+2的图象与x轴有公共点，假命题.null题型二 含有一个量词的命题 及其真假的判断 【例2】 (2009·辽宁文，11)下列4个命题： p1: p2: p3: p4: 其中的真命题是 （ ） A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4null思维启迪 明确变量x的范围,判断不等式是否成立, 从而得到命题的真假. 解析 当x∈(0,+∞)恒有 故p1为假； 故p2为真； 故p3为假； 故p4为真. 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 Dnull探究提高 （1）要判断一个全称命题是真命题，必 须对限定的集合M中的每一个元素x,验证p(x)成立. （2）要判断一个全称命题是假命题，只要能举出集 合M中的一个x=x0，使p（x0）不成立即可. （3）要判断一个特称命题是真命题，只要在限定的 集合M中，至少能找到一个x=x0，使p（x0）成立即 可，否则这一特称命题就是假命题. null知能迁移2 (2009·海南，宁夏文，4)有四个关于 三角函数的命题： p1: p2:x,y∈R,sin(x-y)=sin x-sin y p3: p4: 其中的假命题是 （ ） A.p1,p4 B.p2,p4 C.p1,p3 D.p2,p3 null解析 对任意x∈R,均有 而不是 故p1为假命题.当x,y,x-y有一个为 (k∈Z)时, sin x-sin y=sin(x-y)成立，故p2是真命题. ∵cos 2x=1-2sin2x， 又x∈[0， ]时，sin x≥0,∴对任意x∈［0, ］,null均有 因此p3是真命题. 当sin x=cos y,即 答案 A null题型三 含有一个量词的命题的否定 【例3】写出下列命题的否定，并判断命题的否定的 真假，指出命题的否定属全称命题还是特称命题. （1）所有的有理数是实数； （2）有的三角形是直角三角形； （3）每个二次函数的图象都与y轴相交； （4）x∈R,x2-2x>0. → → →否定量词否定判断词写出命题的否定判断命题真假思维启迪null解 (1) :存在一个有理数不是实数,为假命题， 属特称命题. (2) :所有的三角形都不是直角三角形,为假命题, 属全称命题. ：存在一个二次函数的图象与y轴不相交,为假 命题，属特称命题. ： 为真命题,属特称命题. 在对含有一个量词的命题的否定中，全 称命题的否定是特称命题,而特称命题的否定是全称 命题. 探究提高null知能迁移3 写出下列命题的“否定”，并判断其真 假. （1）p： （2）q：所有的正方形都是矩形； （3）r： x∈R，x2+2x+2≤0； （4）s：至少有一个实数x，使x3+1=0. null解 （1） : 这是假命题， 因为 恒成立. （2） :至少存在一个正方形不是矩形，是假命题. （3） :x∈R,x2+2x+2>0，是真命题， 这是由于x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0成立. （4） :x∈R,x3+1≠0,是假命题，这是由于x=-1 时，x3+1=0.null题型四 与逻辑联结词、量词有关的参数问题 【例4】（12分）已知命题p:“x∈［1，2］，x2-a ≥0”，命题q:“ ”,若 命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围. （1）由全称命题p和特称命题q分别确定 a的取值范围. （2）由“p且q”是真命题来确定a的不等式，从而求 出a的取值范围. 思维启迪 null解 由“p且q”是真命题,则p为真命题,q也为真命 题. 3分 若p为真命题，a≤x2恒成立， ∵x∈［1，2］,∴a≤1. 6分 若q为真命题，即x2+2ax+2-a=0有实根， Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a≥1或a≤-2, 10分 综上,实数a的取值范围为a≤-2或a=1. 12分 含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题 的（一个或两个）命题的真假,求出此时参数成立的 条件，再求出含逻辑联结词的命题成立的条件. 探究提高null知能迁移4 已知命题p:对m∈[-1,1],不等式a2-5a -3≥ 恒成立；命题q:不等式x2+ax+2<0有解. 若p是真命题，q是假命题,求a的取值范围. 解 ∵m∈［-1，1］， ∵对m∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥ 恒成立, 可得a2-5a-3≥3, ∴a≥6或a≤-1. 故命题p为真命题时，a≥6或a≤-1.null又命题q:不等式x2+ax+2<0有解， ∴Δ=a2-8>0. 从而命题q为假命题时， ∴命题p为真命题，q为假命题时， a的取值范围为 null 1.同一个全称命题或特称命题，不同的表述形式， 列表如下： 方法与技巧思想方法 感悟 新教师成长感悟个人成长改革开放40年感悟美术教师的幸福人生感悟入党感悟师德修养的感悟 提高null 2.一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如 下：null 1.p∨q为真命题，只需p、q有一个为真即可，p∧q 为真命题，必须p、q同时为真. 2.p或q的否定为：非p且非q；p且q的否定为：非p或 非q. 3.全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全 称命题. 失误与防范null 一、选择题 1.下列有关命题的说法正确的是 （ ） A.命题“若x2=1,则x=1”的否命题为：“若x2=1,则 x≠1” B.“x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条件 C.命题“x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是:“x∈ R,均有x2+x+1<0” D.命题“若x=y，则sin x=sin y”的逆否命题为真命 题定时检测null解析 A中，否命题应为若x2≠1，则x≠1;B中，x=-1 x2-5x-6=0，应为充分条件； C中，命题的否定应为x∈R，均有x2+x+1≥0. 答案 Dnull2.下列命题:①x∈R,x2≥x;②x∈R,x2≥x； ③4≥3;④“x2≠1”的充要条件是“x≠1,或x≠-1” 中,其中正确命题的个数是 （ ） A.0 B.1 C.2 D.3 解析 ②③正确，故选C. Cnull3.（2008·广东理，6）已知命题p:所有有理数都是 实数；命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中 为真命题的是 （ ） A. B.p∧q C. D. 解析 不难判断命题p为真命题，命题q为假命题， 从而上述叙述中只有 为真命题. Dnull4.已知命题p:a2≥0(a∈R),命题q:函数f(x)=x2-x在 区间［0，+∞）上单调递增，则下列命题为真命题 的是 （ ） A.p∨q B.p∧q C.( p)∧( q) D.( p)∨q 解析 p真，q假，∴p∨q为真，故选A. Anull5.命题“存在x∈Z 使x2+2x+m≤0”的否定是( ) A.存在x∈Z使x2+2x+m>0 B.不存在x∈Z使x2+2x+m>0 C.对任意x∈Z使x2+2x+m≤0 D.对任意x∈Z使x2+2x+m>0 解析 由定义知选D. Dnull6.已知命题p:x∈R,2x2+2x+ <0;命题q:x∈R, sin x-cos x= 则下列判断正确的是 （ ） A.p是真命题 B.q是假命题 C. 是假命题 D. 是假命题 解析 2x2+2x+ <0 (2x+1)2<0,p为假; sin x-cos x= 故q为真. ∴ 为假,故选D. Dnull二、填空题 7.若命题p:x∈R,x2-1>0,则命题p的否定是 ________________. 8.已知命题p:x∈R,x3-x2+1≤0，则命题 是 ___________________. 9.命题“x∈R,x≤1或x2>4”的否定是 ___________________. 解析 已知命题为特称命题,故其否定应是全称命 题.null三、解答题 10.已知p(x)：x2+2x-m>0,且p(1)是假命题，p(2)是 真命题，求实数m的取值范围. 解 p(1)：3-m>0,即m<3. p(2):8-m>0,即m<8. ∵p（1）是假命题，p（2）是真命题， ∴3≤m<8. null11.写出由下列各组命题构成的“p或q”,“p且q”, “非p”形式的新命题，并判断其真假. （1）p:2是4的约数，q:2是6的约数； （2）p:矩形的对角线相等，q：矩形的对角线互相 平分； （3）p：方程x2+x-1=0的两实根的符号相同，q:方程 x2+x-1=0的两实根的绝对值相等. 解 （1）p或q:2是4的约数或2是6的约数,真命题; p且q:2是4的约数且2也是6的约数，真命题； 非p:2不是4的约数，假命题. null(2)p或q:矩形的对角线相等或互相平分,真命题； p且q：矩形的对角线相等且互相平分，真命题； 非p：矩形的对角线不相等，假命题. (3)p或q:方程x2+x-1=0的两个实数根符号相同或绝对 值相等，假命题； p且q:方程x2+x-1=0的两个实数根符号相同且绝对值 相等，假命题； 非p:方程x2+x-1=0的两实数根符号不同,真命题. null12.已知两个命题r(x):sin x +cos x>m，s(x):x2+mx +1>0.如果对x∈R,r(x)与s(x)有且仅有一个是真 命题，求实数m的取值范围. 解 ∵sin x+cos x= ∴当r(x)是真命题时， 又∵对x∈R,s(x)为真命题，即x2+mx+1>0恒成立, 有Δ=m2-4<0,∴-2