2018年高考数学二轮复习第一部分专题五解析几何第三讲第一课时圆锥曲线的最值、范围、证明问题习题Word版含答案

第三讲第一课时圆锥曲线的最值、范围、证明问题限时 规范 编程规范下载gsp规范下载钢格栅规范下载警徽规范下载建设厅规范下载 训练A组——高考热点强化练一、选择题1．已知双曲线C：x2－A.C.解析：其最小距离是焦点到渐近线的距离为b＝ 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 ：D2．(2017·上海浦东新区模拟)方程kx2＋4y2＝4k表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　)A．k>4B．k＝4C．k<4D．0<k<4解析：椭圆方程为答案：D3．已知圆C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，抛物线y2＝8x的准线为l，设抛物线上任意一点P到直线l的距离为m，则m＋|PC|的最小值为(　　)A．5B.C.解析：由题得，圆C的圆心坐标为(－3，－4)，抛物线的焦点为F(2,0)．根据抛物线的定义，得m＋|PC|＝|PF|＋|PC|≥|FC|＝答案：B4．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(　　)A．1B.C．2D．2解析：设椭圆C：则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，所以S＝所以a2≥2.所以a≥所以长轴长2a≥2答案：D5．已知M(x0，y0)是双曲线C：A.C.解析：由题意知a2＝2，b2＝1，所以c2＝3，不妨设F1(－所以所以－答案：A6．(2017·河南适应性模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，A，B是抛物线上横坐标不相等的两点，若AB的垂直平分线与x轴的交点是(4,0)，则|AB|的最大值为(　　)A．2B．4C．6D．10解析：本题考查直线和抛物线的位置关系以及焦点弦长公式．因为F(1，0)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(4,0)，由|MA|2＝|MB|2得(4－x1)2＋y答案：C7．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)A．16B．14C．12D．10解析：因为F为y2＝4x的焦点，所以F(1,0)．由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－故直线l1，l2的方程分别为y＝k(x－1)，y＝－由设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝所以|AB|＝同理可得|DE|＝4(1＋k2)．所以|AB|＋|DE|＝当且仅当k2＝答案：A8．(2017·高考全国卷Ⅰ)设A，B是椭圆C：A．(0,1]∪[9，＋∞)B．(0，C．(0,1]∪[4，＋∞)D．(0，解析：法一：设焦点在x轴上，点M(x，y)．过点M作x轴的垂线，交x轴于点N，则N(x,0)．故tan∠AMB＝tan(∠AMN＋∠BMN)＝又tan∠AMB＝tan120°＝－则又0＜|y|≤对于焦点在y轴上的情况，同理亦可得m≥9.则m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.法二：当0＜m＜3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则当m＞3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则故m的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．故选A.答案：A二、填空题9．已知过双曲线解析：由题意可知双曲线的渐近线y＝答案：(1,10．(2017·云南昆明质检)椭圆解析：记椭圆的两个焦点分别为F1，F2，有|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.则m＝|PF1|·|PF2|≤当且仅当|PF1|＝|PF2|＝5，即点P位于椭圆的短轴的顶点处时，m取得最大值25.∴点P的坐标为(－3,0)或(3,0)．答案：(－3,0)或(3,0)11．(2017·德阳模拟)已知椭圆：解析：由椭圆的方程可知a＝2，由椭圆的定义可知，|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，所以|AB|＝8－(|AF2|＋|BF2|)≥3，由椭圆的性质可知过椭圆焦点的弦中，通径最短，则答案：12．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，△ABC的顶点都在抛物线上，且满足解析：由题易知F由故y1＋y2＋y3＝0，∵∴答案：0三、解答题13．(2017·高考浙江卷)如图，已知抛物线x2＝y，点A(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．解析：(1)设直线AP的斜率为k，k＝因为－(2)联立直线AP与BQ的方程因为|PA|＝所以|PA|·|PQ|＝－(k－1)(k＋1)3.令f(k)＝－(k－1)(k＋1)3，因为f′(k)＝－(4k－2)(k＋1)2，所以f(k)在区间因此当k＝14．若椭圆(1)求椭圆的离心率；(2)过点C(－1,0)的直线l交椭圆于不同两点A，B，且解析：(1)由题意知c＋(2)设直线l：x＝ky－1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵由(1)知a2＝2b2，∴椭圆方程为x2＋2y2＝2b2.由y1y2＝由①②知y2＝－∵S△AOB＝∴S＝3·当且仅当|k|2＝2，即k＝±又当|k|2＝2时，y1y2＝∴由y1y2＝15．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆．(1)证明：坐标原点O在圆M上；(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．解析：(1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l：x＝my＋2，由又x1＝因此OA的斜率与OB的斜率之积为故坐标原点O在圆M上．(2)由(1)可得y1＋y2＝2m，x1＋x2＝m(y1＋y2)＋4＝2m2＋4，故圆心M的坐标为(m2＋2，m)，圆M的半径r＝故(x1－4)(x2－4)＋(y1＋2)(y2＋2)＝0，即x1x2－4(x1＋x2)＋y1y2＋2(y1＋y2)＋20＝0.由(1)可知y1y2＝－4，x1x2＝4，所以2m2－m－1＝0，解得m＝1或m＝－当m＝1时，直线l的方程为x－y－2＝0，圆心M的坐标为(3,1)，圆M的半径为圆M的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝10.当m＝－圆M的方程为B组——高考能力提速练一、选择题1．过双曲线x2－A．10B．13C．16D．19解析：由题意可知，|PM|2－|PN|2＝(|PC1|2－4)－(|PC2|2－1)＝|PC1|2－|PC2|2－3＝(|PC1|－|PC2|)·(|PC1|＋|PC2|)－3＝2(|PC1|＋|PC2|)－3≥2|C1C2|－3＝13，故选B.答案：B2．(2017·湖南师大附中月考)设双曲线C：A.C．(1，解析：联立所以1<e<答案：C3．如图，已知点B是椭圆A．(0,3)B．(0,3]C.解析：因为P(0，t)，B(0，－b)，所以M(t＋b，t)．所以因为答案：C4．已知椭圆E：A．0，C.解析：根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A，B两点到椭圆左、右焦点的距离为4a＝2(|AF|＋|BF|)＝8，所以a＝2.又d＝答案：A5．(2017·南昌调研)已知圆O1：(x－2)2＋y2＝16与圆O2：x2＋y2＝r2(0<r<2)，动圆M与圆O1、圆O2都相切，动圆圆心M的轨迹为两个椭圆，这两个椭圆的离心率分别为e1，e2(e1>e2)，则e1＋2e2的最小值是(　　)A.C.解析：①当动圆M与圆O1、O2都相内切时，|MO2|＋|MO1|＝4－r＝2a，∴e1＝②当动圆M与圆O1相内切，与圆O2相外切时，|MO1|＋|MO2|＝4＋r＝2a′，∴e2＝令12－r＝t(10<t<12)，∴e1＋2e2＝2×故选A.答案：A6．(2017·浙江六校联考)已知双曲线A．(1，C．(1，解析：设P(m，n)，则设F1(－c,0)，F2(c,0)，则则则即答案：B7．如图，已知双曲线A．[C．[解析：设双曲线的左焦点为F′，连接AF′，令|AF|＝r1，|AF′|＝r2，则|BF|＝|F′A|＝r2，∴r2－r1＝2a，∵点A关于原点O的对称点为B，AF⊥BF，∴|OA|＝|OB|＝|OF|＝c，∴r∴r1r2＝2c2sin2α，∴c2sin2α＝c2－a2，∴e2＝∵α＝∴e2＝答案：B8．(2017·湖北华师一附中联考)已知F是抛物线x2＝4y的焦点，P为抛物线上的动点，且A的坐标为(0，－1)，则A.C.解析：抛物线的准线为l：y＝－1，过点P作PD⊥l于D，则|PD|＝|PF|，且点A在准线上，如图所示，所以由y＝此时∠PAD＝答案：C二、填空题9．已知双曲线解析：∵双曲线渐近线的斜率为k＝∴e＝答案：[2，＋∞)10．(2017·河北武邑中学模拟)已知直线l：y＝kx＋t与圆：x2＋(y＋1)2＝1相切，且与抛物线C：x2＝4y交于不同的两点M，N，则实数t的取值范围是________．解析：因为直线l与圆相切，所以x2－4kx－4t＝0，于是由Δ＝16k2＋16t＝16(t2＋2t)＋16t>0，得t>0或t<－3.答案：t>0或t<－311．已知点P是椭圆解析：采用特殊点法，当点P在椭圆短轴端点，垂足M与原点重合时，|当点P在椭圆长轴端点，垂足M与F1重合时，此时|所以|答案：(0,212．(2017·安庆模拟)已知抛物线C：x2＝8y的焦点为F，动点Q在C上，圆Q的半径为1，过点F的直线与圆Q切于点P，则解析：如图，由抛物线的定义知：|∴|答案：3三、解答题13．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：2x2－y2＝1.(1)设F是C的左焦点，M是C右支上一点．若|MF|＝2(2)过C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积；(3)设斜率为k(|k|＜解析：(1)双曲线C：设M(x，y)，则|MF|2＝由M点是右支上一点，知x≥所以M(2)左顶点A过点A与渐近线y＝解方程组所求平行四边形的面积为S＝|OA||y|＝(3)证明：设直线PQ的方程是y＝kx＋b.因直线PQ与已知圆相切，故由设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则所以由(*)知，14．已知椭圆(1)求椭圆方程；(2)求△BPQ面积的最大值．解析：(1)依题意b＝1，(2)设l：y＝kx＋m代入由Δ＝(18km)2－4(9k2＋1)(9m2－9)>0，得9k2＋1－m2>0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1＋x2＝BP⊥BQ⇒(k2＋1)x1x2＋k(m－1)(x1＋x2)＋(m－1)2＝0，(k2＋1)整理得5m2－m－4＝0，m＝－直线l：y＝kx＋m过定点MS＝＝此时△BPQ面积的最大值为15．(2017·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：(1)求椭圆C的方程；(2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M.点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．解析：(1)由椭圆的离心率为所以a2＝4，b2＝2.因此椭圆方程为(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程，得由Δ＞0得m2＜4k2＋2.(*)且x1＋x2＝－因此y1＋y2＝所以D所以|ND|2＝整理得|ND|2＝因为|NF|＝|m|，所以令t＝8k2＋3，t≥3，故2k2＋1＝所以令y＝t＋当t≥3时，y′＞0，从而y＝t＋因此t＋所以由(*)得－设∠EDF＝2θ，则sinθ＝从而∠EDF的最小值为综上所述，当k＝0，m∈(－