考点19 解三角形相关的综合问题-2018版典型高考数学试题解读与变式（解析版）

解三角形相关的综合问题【考纲要求】（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形试题问题；（2）能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．【命题规律】以选择题、填空题的形式考查，主要利用正弦定理与余弦定理实现边角互化、与数列、解析几何等综合，属基础题；以解答题的形式考查，主要的题型有两类：一是以实际生活为背景，常与试题工件、测量距离和高度及工程建筑等生产相结合，通过巧妙设计和整合，命制新颖别致的考题，该类问题重在考查学生分析问题并能用数学工具解决实际问题的能力，属中档题；二是与平面向量、三角恒等变换等知识交汇命题，考查三角形的有关知识．学-科网预计2018年高考在解答题考查解三角形与三角恒等变换相结合，考查学生综合分析与解决问题的能力．【典型高考试题变式】（一）与三角函数的综合例1　【2017课标II】的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，的面积为，求．【答案】（1）；（2）．【方法技巧归纳】三角恒等变换与正、余弦定理在高考中经常交汇出现.根据正、余弦定理可以计算内角的正、余弦值,再结合和、差、倍、半角公式可以求解问题中出现的三角函数值,恒等变换公式与正、余弦定理公式往往交替使用,具体的选择要结合条件及待求量灵活处理．【变式1】【例题中条件给出方式没变，（1）问求解角没变，（2）变为了知边求面积】锐角三角形中，角所对的边分别为，若．（1）求角的大小；（2）若线段上存在一点，使得，且,，求．【答案】（1），（2）【解析】（法一）（1）在中，，，，（法二）（1）在中，，，，，，．【变式2】【例题中条件的给出方式没变，（1）问求解角，（2）改为知边求三角形边的中线】在中，角所对的边分别为，且．（1）求角A的大小；（2）若，D是BC的中点，求AD的长．【答案】（1）（2）【解析】（1）由正弦定理可得，，从而可得．又为三角形的内角，所以，于是，又为三角形内角，∴．（2）由余弦定理得：，又∵，∴是直角三角形，，∴，∴．（二）与平面向量的综合例2　【2014辽宁卷】在中，内角的对边，且，已知，，，求：（1）和的值；（2）的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由得，．又．所以．由余弦定理，得．又．所以．解得或．因为．所以．【方法技巧归纳】解三角形与平面向量的交汇在高考中越来越受到重视，这是因为此类试题既新颖精巧，又符合在知识的“交汇处”构题．这类试题解答主要有两种途径：（1）首先利用正弦定理或余弦定理转化边或角的关系，然后利用平面向量的知识求解；（2）首先利用向量的平行、垂直、夹角、模、数量积等知识将向量转化为三角形的边或角的关系，然后选用正弦定理与余弦定理进行求解．【变式1】【例题条件中的数量积改为所求，两题都是利用正弦定理与余弦定理求解】在中，的对边分别为，且．（1）求角的大小；[来源:学科网ZXXK]（2）设，为垂足，若，，求的值．【答案】（1）（2）【解析】（1），由正弦定理，得,又在中，，，即，又，，又，．（2）由余弦定理，得，EMBEDEquation.DSMT4，，，．EMBEDEquation.DSMT4，即，∴，∴．【变式2】【例题中条件边与角的大小改为面积，所求还是求角和求边】已知中,分别是内角的对边,若，．(1)求角的大小；(2)若边长,求边长和大小．【答案】（1）（2）或【解析】(1),,．(2),又,得,解之得或．（三）解三角形的实际应用问题例3　【2014新课标Ⅰ】如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点.从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高，则山高________．【答案】150【方法技巧归纳】应用正弦定理、余弦定理解决实际问题的步骤及流程：（1）读题：分析题意，准确理解题意，分析已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、和方位角等；（2）图解：根据题意画出示意图，并将已知条件在图中标出；（3）建模：将所求解的问题归结到一个或几个三角形，通过合理运算正弦定理、余弦定理等有关的知识求解；（4）验证：检验解出的结果是否具有实际意义，并对结果进行取舍，得出正确答案．【变式1】【例题中测高度没有改变，改变的是测量的个别量的数据】如图,无人机在离地面高的处,观测到山顶处的仰角为、山脚处的俯角为,已知，则山的高度MN为_________．【答案】300【解析】由条件，,所以,,,所以,,这样在中，,在中，，解得,中，．【变式2】【例题中测山的高度改变为测海上两岛屿的距离，解答同时利用正弦与余弦定理】5．如图所示，为了测量处岛屿的距离，小明在处观测，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则两处岛屿间的距离为（　　　）A．海里　　　　B．海里　　　　C．海里　　　D．40海里【答案】A【解析】在中，，所以，由正弦定理可得，在中，，所以，在中，由余弦定理可得＝，解得．【数学思想】1．函数与方程思想在解三角形与三角变换、平面向量综合问题中，常常会涉及到求边的长及相关几何量的最值，这时常常会用到方程思想与函数的思想来解决；在实际应用中，由于涉及到几何量较为分散、直接联系不明显，常常要通过建立方程来处理．2．转化的思想[来源:学+科+网]在解三角形与平面向量综合问题中，解答时常常是先利用向量知识将所涉及到向量关系转化为三角函数知识，再利用相关知识求解；在解三角形与三角函数综合的问题中，常常会利用它们的联系点（角）作桥梁，进行相互转化进行处理．学-科网3．数形结合思想对于某些解三角形的问题，常常要根据条件画出示意图，并在图中标注出相关的边和角，然后尽量集中些量到一个或几个三角形中，根据图形结构正确选用正弦定理与余弦定理．【注意事项】1．注意不要忽视解的多种情况，如已知三角形的两边和一边所对的角利用正弦定理求另一角，或利用余弦定理求第三边时，可能有多种情况，须注意进行取舍，2．求解与三角形内角有关的综合问题时，注意不要忽视角的取值范围，否则造成多解或扩大结果的取值范围．3．解决实际问题应注意的问题：（1）首先明确题中所给各个角的含义，然后分析题意，分析已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键最主要的一步；（2）在解决与角度有关的题目时，要搞清仰角、俯角、坡角、方位角和方向角的含义，合理的构造三角形把实际问题转化为数学问题加以解决（3）利用正弦定理与余弦定理解决实际问题，要注意考查解得的结果与实际是否相吻合【典例试题演练】1．【湖南省长沙市雅礼中学2017届高考模拟】已知为的三个角所对的边，若，则（　　　）A．2：3　　　B．4：3　　　C．3：1　　　D．3：2【答案】C【解析】由正弦定理可得,则＝，整理可得，故选C．2．【2017届四川省资阳市高三上学期期末】在中，，若，则向量　在上的投影是（　　　）A．　　　B．　　　C．　　　D．【答案】B【解析】由正弦定理得，,由余弦定理得，,则，故选B．3．【四川省成都市龙泉一中、新都一中等九校2017学年高三4月联考】在中,角所对的边分别为,且成等差数列,则的最小值为（　　　）A．　　　B．　　　C．　　　D．【答案】D【解析】成等比数列，，当且仅当时，取等号，的最小值为，故选D．4．【河北省武邑中学2017届高三下学期第四次模拟】在平行四边形中，，则（　　　）A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．【答案】B【解析】由题意可知，点D为线段AD上靠近点D的三等分点，点F为线段BC上靠近点B的三等分点，取AE的中点G，则，结合余弦定理可得，故选B．5．【2017届陕西省渭南市高三下学期第二次教学质量检测（二模）】已知的三边长为，满足直线与圆相离，则是（　　　）A．直角三角形　　　B．锐角三角形　　　C．钝角三角形　　　D．以上情况都有可能【答案】C【解析】圆心到直线的距离,所以，在中，，所以为钝角。为钝角三角形，选C．6．【四川省成都市第七中学2017届高三6月1日高考热身】已知为双曲线的左右焦点，过的直线与圆相切于点，且，则直线的斜率是（　　　）A．　　　B．　　　C．　　　D．【答案】C【解析】由题意得，∴．由余弦定理得，∴，故选C．7．【2017届湖南师大附中高三下学期高考模拟】如图，位于处的海面观测站获悉，在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，并在原地等待营救．在处南偏西30°且相距20海里的处有一艘救援船，该船接到观测站通告后立即前往处求助，则（）A．　　　　B．　　　　C．　　　D．【答案】A8．【2017届江西省南昌市高三第一次模拟】抛物线的焦点为，设，是抛物线上的两个动点，，则的最大值为（　　　）A．　　　B．　　　C．　　　D．【答案】D【解析】由抛物线定义得则,因此＝≥，所以，故选D．9．【安徽省黄山市2017届高三第二次模拟】将函数的图象向左平移个单位，得函数的图象(如图)，点分别是函数图象上轴两侧相邻的最高点和最低点，设，则的值为（　　　）A．　　　B．　　　C．　　　D．【答案】D【解析】平移后所得函数，得，由图可知：,中，利用余弦定理可得：,,所以=，故选D．10．【福建省泉州市2017届高三高考考前适应性模拟（一）】在直四棱柱中，底面为菱形，分别是的中点，为的中点且，则的面积的最大值为（　　　）A．　　　　B．3　　　　C．　　　　D．【答案】B11．【安徽省滁州市九校-2017年高三下学期联考】已知的面积为，，则__________．【答案】【解析】由题意可得：，两式作比值可得：．12．【安徽省淮北市第一中学2017届高三最后一卷】在中，分别为角的对边，若函数有极值点，则的范围是__________．【答案】【解析】由题意知有两个不等实根，所以，，所以，所以．13．【安徽省江淮十校2017届高三下学期第三次联】已知向量，与的夹角为，则最大值为________．【答案】4【解析】设，则，则在△AOB中，∠OBA=30°，|OA|=2，设∠OAB=θ，由正弦定理有，当且仅当θ=90°时等号成立．14．【2017届广西省高三上学期教育质量诊断性联合考试】(数学（文）卷·2017届湖南省百所重点中学高三上学期阶段性诊断考试第16题)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里．里法三百步．欲知为田几何．”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里，14里，15里，假设1里按500米计算，则该沙田的面积为__________平方千米．【答案】21【解析】设的对应边边长分别里，里，里15．【2017届安徽省宣城市高三下学期第二次调研】在中，，，若最大边长为63，则最小边长为__________．【答案】25【解析】由可得，．而，∴，所以为锐角，．于是，最大，则，由正弦定理，得，即最小边长为25．16．【山西省孝义市2017届高三下学期考前热身训练】已知锐角三角形的内角的对边分别为，且满足（1）求角；（2）若，求三角形的边长的值及三角形的面积．【答案】（1），，（2）【解析】（1）因为均为锐角，,,为锐角，,则的大小为，在中,,,,EMBEDEquation.DSMT4，（2）根据正弦定理,得，17．【福建省莆田第六中学2017届高三下学期第一次模拟】已知中，，，．（1）求边的长；（2）设是边上一点，且的面积为，求的正弦值．【答案】（1）;（2）．【解析】（1）因为，所以，由得．即，从而，又，所以，，所以．[来源:Zxxk.Com]（2）由已知得，所以．在中，由余弦定理得，，再由正弦定理得，故．18．【2017届云南省高三第二次统一检测】的内角对的边分别为,与垂直．（1）求的值；（2）若,求的面积的最大值．【答案】(1)；(2)．[来源:学&科&网Z&X&X&K]（2）由（1）知．．又．∵的面积的面积最大值为．19．【2017届湖南省长浏宁三一中高三5月模拟】已知且．设函数（1）求函数的解析式；（2）若在锐角中，，边，求周长的最大值．【答案】（1）（2）【解析】（1）因为，所以，所以．（2）因为，所以，[来源:学科网]因为，所以．又，由正弦定理知，，得，所以，，所以得周长为=．因为，所以，则，所以，所以周长的最大值为．20．【福建省2017届高三4月单科质量检测】如图，有一码头和三个岛屿，，，．（1）求两个岛屿间的距离；（2）某游船拟载游客从码头前往这三个岛屿游玩，然后返回码头．问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程．【答案】（1）（2）（2）因为，所以，在中，，由余弦定理得，，根据“两点之间线段最短”可知，最短航线是“”或“”，其航程为．所以应按航线“”或“”航行，其航程为．_1234568017.unknown_1234568145.unknown_1234568209.unknown_1234568273.unknown_1234568305.unknown_1234568337.unknown_1234568353.unknown_1234568369.unknown_1234568377.unknown_1234568385.unknown_1234568389.unknown_1234568393.unknown_1234568395.unknown_1234568396.unknown_1234568397.unknown_1234568394.unknown_1234568391.unknown_1234568392.unknown_1234568390.unknown_1234568387.unknown_1234568388.unknown_1234568386.unknown_1234568381.unknown_1234568383.unknown_1234568384.unknown_1234568382.unknown_1234568379.unknown_1234568380.unknown_1234568378.unknown_1234568373.unknown_1234568375.unknown_1234568376.unknown_1234568374.unknown_1234568371.unknown_1234568372.unknown_1234568370.unknown_1234568361.unknown_1234568365.unknown_1234568367.unknown_1234568368.unknown_1234568366.unknown_1234568363.unknown_1234568364.unknown_1234568362.unknown_1234568357.unknown_1234568359.unknown_1234568360.unknown_1234568358.unknown_1234568355.unknown_1234568356.unknown_1234568354.unknown_1234568345.unknown_1234568349.unknown_1234568351.unknown_1234568352.unknown_1234568350.unknown_1234568347.unknown_1234568348.unknown_1234568346.unknown_1234568341.unknown_1234568343.unknown_1234568344.unknown_1234568342.unknown_1234568339.unknown_1234568340.unknown_1234568338.unknown_1234568321.unknown_1234568329.unknown_1234568333.unknown_1234568335.unknown_1234568336.unknown_1234568334.unknown_1234568331.unknown_1234568332.unknown_1234568330.unknown_1234568325.unknown_1234568327.unknown_1234568328.unknown_1234568326.unknown_1234568323.unknown_1234568324.unknown_1234568322.unknown_1234568313.unknown_1234568317.unknown_1234568319.unknown_1234568320.unknown_1234568318.unknown_1234568315.unknown_1234568316.unknown_1234568314.unknown_1234568309.unknown_1234568311.unknown_1234568312.unknown_1234568310.unknown_1234568307.unknown_1234568308.unknown_1234568306.unknown_1234568289.unknown_1234568297.unknown_1234568301.unknown_1234568303.unknown_1234568304.unknown_1234568302.unknown_1234568299.unknown_1234568300.unknown_1234568298.unknown_1234568293.unknown_1234568295.unknown_1234568296.unknown_1234568294.unknown_1234568291.unknown_1234568292.unknown_1234568290.unknown_1234568281.unknown_1234568285.unknown_1234568287.unknown_1234568288.unknown_1234568286.unknown_1234568283.unknown_1234568284.unknown_1234568282.unknown_1234568277.unknown_1234568279.unknown_1234568280.unknown_1234568278.unknown_1234568275.unknown_1234568276.unknown_1234568274.unknown_1234568241.unknown_1234568257.unknown_1234568265.unknown_1234568269.unknown_1234568271.unknown_1234568272.unknown_1234568270.unknown_1234568267.unknown_1234568268.unknown_1234568266.unknown_1234568261.unknown_1234568263.unknown_1234568264.unknown_1234568262.unknown_1234568259.unknown_1234568260.unknown_1234568258.unknown_1234568249.unknown_1234568253.unknown_1234568255.unknown_1234568256.unknown_1234568254.unknown_1234568251.unknown_1234568252.unknown_1234568250.unknown_1234568245.unknown_1234568247.unknown_1234568248.unknown_1234568246.unknown_1234568243.unknown_1234568244.unknown_1234568242.unknown_1234568225.unknown_1234568233.unknown_1234568237.unknown_1234568239.unknown_1234568240.unknown_1234568238.unknown_1234568235.unknown_1234568236.unknown_1234568234.unknown_1234568229.unknown_1234568231.unknown_1234568232.unknown_1234568230.unknown_1234568227.unknown_1234568228.unknown_1234568226.unknown_1234568217.unknown_1234568221.unknown_1234568223.unknown_1234568224.unknown_1234568222.unknown_1234568219.unknown_1234568220.unknown_1234568218.unknown_1234568213.unknown_1234568215.unknown_1234568216.unknown_1234568214.unknown_1234568211.unknown_1234568212.unknown_1234568210.unknown_1234568177.unknown_1234568193.unknown_1234568201.unknown_1234568205.unknown_1234568207.unknown_1234568208.unknown_1234568206.unknown_1234568203.unknown_1234568204.unknown_1234568202.unknown_1234568197.unknown_1234568199.unknown_1234568200.unknown_1234568198.unknown_1234568195.unknown_1234568196.unknown_1234568194.unknown_1234568185.unknown_1234568189.unknown_1234568191.unknown_1234568192.unknown_1234568190.unknown_1234568187.unknown_1234568188.unknown_1234568186.unknown_1234568181.unknown_1234568183.unknown_1234568184.unknown_1234568182.unknown_1234568179.unknown_1234568180.unknown_1234568178.unknown_1234568161.unknown_1234568169.unknown_1234568173.unknown_1234568175.unknown_1234568176.unknown_1234568174.unknown_1234568171.unknown_1234568172.unknown_1234568170.unknown_1234568165.unknown_1234568167.unknown_1234568168.unknown_1234568166.unknown_1234568163.unknown_1234568164.unknown_1234568162.unknown_1234568153.unknown_1234568157.unknown_1234568159.unknown_1234568160.unknown_1234568158.unknown_1234568155.unknown_1234568156.unknown_1234568154.unknown_1234568149.unknown_1234568151.unknown_1234568152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