高中数学 2.4《线性回归方程》素材 苏教版必修3

线性回归方程导学　　一、学法指导　　利用样本数据的情况估计总体数据的情况，这是统计的基本思想．线性回归方程是从样本中各个数据之间的相关关系入手，来分析验证样本中各个数据的特点规律，进而对总体数据的相关关系作出估计．因此学好线性回归方程，要在进一步体会统计的基本思想和方法的基础上，还要回忆我们已学过的两个变量之间存在的函数关系（即确定性关系）．学习本节时，首先要知道变量相互关系有两种：一类是确定性的函数关系，如正方形的边长与面积的关系；另一类是变量确实存在关系，但又不具备函数关系所要求的确定性，它们的关系是带有随机性的．例如，某位同学的“物理成绩”与“数学成绩”之间的关系，我们称它们为相关关系；其次是如何判断和分析具有相关关系的两个或多个变量，也就是如何寻找具有相关关系的两个变量中非确定性关系的某种确定性．　　本节的难点问题是建立回归直线方程的思想方法，其关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看各点与直线的距离最小”，即最贴近已知的数据点，最能代 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 变量x与y之间的关系，这就是“最小二乘法”的思想．另外还要注意，进行回归分析，通常先进行相关性检验，若能确定两个变量具有线性相关性，再去求其线性回归方程，否则所求方程毫无意义．　　二、知识点概要　　1．相关关系　　所谓相关关系是自变量取值一定时，因变量的取值带有一定的随机性．　　对相关关系的理解应注意以下几点：　　（1）相关关系与函数关系不同．因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系．而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系．因此，不能把相关关系等同于函数关系．　　（2）函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，它也可能是伴随关系．　　（3）在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用．变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断．　　2．回归分析　　对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析．通俗地讲，回归分析就是寻找相关关系中非确定性关系的某种确定性．　　3．散点图　　我们把一组具有相关关系的两个变量的数据对应的点（即样本点）画在坐标系内，得到的图形叫做散点图．　　利用散点图可以判断变量之间有无相关关系，所以判断两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手．　　画出散点图，可以作出如下判断：　　（1）如果所有的样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即说明变量之间具有函数关系；　　（2）如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近，则说明变量之间具有相关关系；　　（3）如果所有的样本点都落在某一直线附近，则变量之间具有线性相关关系．　　4．正相关、负相关　　线性相关关系又分为正相关和负相关．　　正相关是指两个变量具有相同的变化趋势，即从整体上来看一个变量会随另一个变量变大而变大．从散点图可以看出因变量随自变量的增大而增大，图中的点分布在左下角到右上角的区域．　　负相关是指两个变量具有相反的变化趋势，即从整体上来看一个变量会随另一个变量变大而变小．负相关的散点图中的点分布在左上角到右下角的区域．　　由此，我们得出判断两个变量之间到底是不是具有线性相关关系，可以用“数据”说话，画出散点图更具有说服力．　　5．回归直线和回归直线方程　　如果散点图中的点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两变量之间具有线性相关关系．这条直线叫做这两个变量的回归直线，回归直线的方程叫做回归方程．　　这里注意，只有散点图中的点呈条状集中在某一直线周围的时候，才可以说两个变量之间具有线性相关关系，才有两个变量的正线性相关和负线性相关的概念，才可以用回归直线来描述这两个变量之间的关系．　　（1）求回归直线方程的思想方法　　观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近．类似图中的直线可画出不止一条，比如可以连接最左侧点和最右侧点得到一条直线，也可以让画出的直线上方的点和下方的点数目相等，……，但这些能保证各点与此直线在整体上是最接近的吗？它们虽然都有一定的道理，却总让人感到可靠性不强．那么，其中的哪一条直线最能代表变量x与y之间的关系呢？　　实际上求回归直线方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看各点与此直线的距离最小”，即最贴近已知的数据点，最能代表变量x与y之间的关系．　　最能代表变量x与y之间关系的直线的特征是直线与这n个点的离差的平方和最小．　　（2）回归直线方程的求法　　根据最小二乘法的思想和公式，利用计算器或计算机，可以方便地求出回归方程．　　利用计算机求回归方程（Excel软件）：在Excel的工作表中添加“图表”得到散点图后，用鼠标选中散点，单击鼠标右键，单击“添加趋势线”，在出现的对话框中单击类型标签，选择“线性”，单击“选项”标签，选中“显示公式”单选框，最后点击“确定”即可．　　利用科学计算器求回归方程：大多科学计算器都有回归计算（REG模式），但不同的计算器参数可能不同，这里不作详细介绍．一般在输入数据后按相应按键可直接得到a和b，这样就可以写出回归方程，非常简便，同学们在使用前一定要看懂计算器的 使用说明 爱威a9效果器使用图word使用说明在哪儿钻床数控系统用户手册玻璃钢风机使用说明书控制器用户说明书 书．　　回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用．应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并且可根据情况进行估测、补充．因此，学过回归直线方程以后，应能积极应用回归直线方程解决一些相关的实际问题，并进一步体会回归直线的应用价值．　　（3）相关系数与相关性检验　　给定，只要不全相等，就能求出一条回归直线，但它有无意义可是一个大问题．由于根据散点图看数据点是否大致在一直线附近主观性太强，为此可以利用样本相关系数来衡量两个变量之间线性关系的强弱．　　样本相关系数：叫做变量y与x之间的样本相关系数，简称相关系数，用它来衡量它们之间的线性相关程度．，且|r|越接近于1，相关程度越高；越接近于0，相关程度越低．　　统计学认为，相关变量的相关系数：　　时，两变量负相关很强；　　时，两变量正相关很强；　　或时，两变量相关性一般；　　时，两变量相关程度很弱．　　三、特别提示　　1．相关关系的理解．借助实例（如数学成绩与物理成绩之间的关系，粮食产量与施肥量之间的关系，吸烟与健康之间的关系，父母身高与子女身高之间的关系等）明确相关关系与函数关系不同，它是一种非确定性的关系，即一个变量取值一定时，另一个变量的取值带有一定的随机性．相关关系包括正相关和负相关．　　2．相关关系的研究方法：散点图法和写出回归直线方程，其中　　3．线性回归思想：把相关关系（不确定性关系）转化为函数关系（确定性关系）．当两个具有相关关系的变量近似满足一次函数关系时，所进行的回归分析又叫线性回归分析，所求的函数关系就是线性回归方程．　　4．求线性回归直线方程前应对数据进行线性相关分析，其关键是求，由于计算量大，因此计算过程要注意分层次、按步骤进行．www.ks5u.com高考资源网线性回归中的相关系数　　线性回归问题在生活中应用广泛，求解回归直线方程时，应该先判断两个变量是否是线性相关，若相关再求其直线方程，判断两个变量有无相关关系的一种常用的简便方法是绘制散点图；另外一种方法是量化的检验法，即相关系数法．下面为同学们介绍相关系数法．　　一、关于相关系数法　　统计中常用相关系数r来衡量两个变量之间的线性相关的强弱，当不全为零，yi也不全为零时，则两个变量的相关系数的计算公式是：　　r就叫做变量y与x的相关系数（简称相关系数）．　　说明：（1）对于相关系数r，首先值得注意的是它的符号，当r为正数时，表示变量x，y正相关；当r为负数时，表示两个变量x，y负相关；　　（2）另外注意r的大小，如果，那么正相关很强；如果，那么负相关很强；如果或，那么相关性一般；如果，那么相关性较弱．　　下面我们就用相关系数法来分析身边的问题，确定两个变量是否相关，并且求出两个变量间的回归直线．　　二、典型例题剖析　　例1　测得某国10对父子身高（单位：英寸）如下：父亲身高（）60626465666768707274儿子身高（）63.565.26665.566.967.167.468.370.170　　（1）对变量y与x进行相关性检验；　　（2）如果y与x之间具有线性相关关系，求回归直线方程；　　（3）如果父亲的身高为73英寸，估计儿子身高．　　解：（1），，，，，，，，　　所以，　　所以y与x之间具有线性相关关系．　　（2）设回归直线方程为，则，．　　故所求的回归直线方程为．　　（3）当英寸时，，　　www.ks5u.com高考资源网所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸．　　点评：回归直线是对两个变量线性相关关系的定量描述，利用回归直线，可以对一些实际问题进行分析、预测，由一个变量的变化可以推测出另一个变量的变化．这是此类问题常见题型．　　例2　10名同学在高一和高二的数学成绩如下表：7471726876736770657476757170767965776272　　其中x为高一数学成绩，y为高二数学成绩．　　（1）y与x是否具有相关关系；　　（2）如果y与x是相关关系，求回归直线方程．　　解：（1）由已知表格中的数据，利用计算器进行计算得　　，，，，．，．．　　由于，由知，有很大的把握认为x与y之间具有线性相关关系．　　（2）y与x具有线性相关关系，设回归直线方程为，则　　，．　　所以y关于x的回归直线方程为．　　点评：通过以上两例可以看出，回归方程在生活中应用广泛，要明确这类问题的计算公式、解题步骤，并会通过计算确定两个变量是否具有相关关系．www.ks5u.com高考资源网方方面面评说回归直线方程　　一、回归分析　　对于线性回归分析，我们要注意以下几个方面：　　（1）回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法．两个变量具有相关关系是回归分析的前提．　　（2）对于关系不明确的两组数据，可先作散点图，在图上看它们有无关系，关系的密切程度，然后再进行回归分析．　　（3）通过散点图的观察，一般地，若图中数据大致分布在一条直线附近，那么这两个变量近似成线性相关关系．　　（4）求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大至呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则，求出的回归直线方程毫无意义．　　二、回归直线方程　　一般地，设x与y是具有相关关系的两个变量，且对应于n组观测值的n个点大致分布在一条直线的附近，求在整体上与这n个点最接近的一条直线，记此直线方程为　（1）　　这里在y的上方加记号“＾”，是为了区分的实际值y，表示当x取值时，相应的观察值为，而直线上对应于的纵坐标是．（1）式叫做对x的回归直线方程，a，b叫做回归系数．　　三、求回归直线方程的思想方法　　在观察散点图特征时，我们会发现有时各点大致分布在一条直线的附近，且画出不止一条类似的直线，而最能代表变量x与y之间关系的直线的特征，即为n个离差的平方和最小．设所求直线方程为，其中a，b是待定系数，则．　　于是得到各个离差．　　显然，离差的符号有正有负，若将它们相加会造成相互抵消，故采用n个离差的平方和，采用最小二乘法可求出使为最小值时的a和b．　　，　　，　　其中，．　　四、求回归直线方程的一般步骤　　（1）作出散点图，判断散点是否在一条直线附近；　　（2）如果散点在一条直线附近，用公式求出a，b，并写出回归直线方程．　　注：计算a，b时由于计算量较大,所以在计算时应借助技术手段（如计算器或计算机），认真细致，谨防计算中产生错误．　　例　在10年期间，某城市居民收入与某种商品的销售额之间的关系见下表．第几年城市居民收入（亿元）某商品销售额（万元）132.225.0231.130.0332.934.0435.837.0537.139.0638.041.0739.042.0843.044.0944.648.01046.051.0　　（1）画出散点图；　　（2）如果散点图中各点大致分布在一条直线的附近，求x与y之间的回归直线方程；　　（3）试预测居民年收入50亿元时这种商品的销售额．　　解题指导：只有散点图大致表现为线性时，求回归直线方程才有实际意义．　　解：（1）散点图如图所示：　　（2）通过观察散点图可知各点大致分布在一条直线的附近．列出下表，利用计算器进行计算．序号132.225.01036.84625805231.130.0967.21900933332.934.01082.4111561118.6435.837.01281.6413691324.6537.139.01376.4115211446.9638.041.0144416811558739.042.01521176451638843.044.0184919361892944.648.01989.1623042140.81046.051.0211626012346379.739114663.671585715202.9。。所以所求回归直线方程为：。（3）根据上面求得的回归直线方程，当居民年收入50亿元时，（万元），即这种商品销售额大约为56.51万元．评注与反思：计算a，b时应仔细谨慎、分层进行，避免因计算错误产生误差．用心爱心专心